Dénombrement et Probabilités

Exercice 1 — Arrangements et permutations

On note $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ le nombre d'arrangements de $k$ éléments parmi $n$.

1. Calculer $5!$, $A_8^3$, $A_5^5$.

2. De combien de façons peut-on placer 6 élèves en file indienne ?

3. Un code PIN de 4 chiffres distincts choisis parmi $\{0,1,\ldots,9\}$ : combien de codes possibles ?

4. Dans une classe de 10 élèves, de combien de façons choisit-on un président, un vice-président et un secrétaire (tous distincts) ?

Exercice 2 — Combinaisons et binôme

$\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ · Formule de Pascal : $\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}=\dbinom{n+1}{k+1}$

1. Calculer $\dbinom{6}{2}$, $\dbinom{10}{3}$, $\dbinom{8}{8}$.

2. Dans une classe de 30 élèves, de combien de façons forme-t-on un groupe de 4 ?

3. Développer $(a+b)^4$ avec la formule du binôme de Newton.

4. Montrer que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}=2^n$. Vérifier pour $n=4$.

Exercice 3 — Probabilités et événements

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes.

Soit $A$ = "obtenir un as" et $B$ = "obtenir un cœur".

1. $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$.  2. $P(A\cup B)$ par la formule d'inclusion-exclusion.  3. $P(\bar{A})$, $P(\bar{B})$.  4. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $A$ et $B$ sont deux ensembles finis avec $\text{card}(A)=20$, $\text{card}(B)=15$, $\text{card}(A\cap B)=5$. Alors $\text{card}(A\cup B)$ vaut :
a) $35$   b) $30$   c) $40$   d) $10$

2) Dans un ensemble $E$ de cardinal $40$, une partie $A$ vérifie $\text{card}(A)=28$. Le cardinal du complémentaire $\overline A$ vaut :
a) $68$   b) $12$   c) $-12$   d) $40$

3) $E$ et $F$ sont deux ensembles finis, $\text{card}(E)=6$, $\text{card}(F)=4$. Le cardinal de $E\times F$ vaut :
a) $10$   b) $2$   c) $24$   d) $6^4$

4) $E$ est un ensemble à $7$ éléments. Le nombre de parties de $E$ (l'ensemble $\mathcal P(E)$) vaut :
a) $128$   b) $14$   c) $49$   d) $64$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $5!$ vaut :
a) $20$   b) $120$   c) $25$   d) $100$

2) $A_6^2$ vaut :
a) $30$   b) $15$   c) $12$   d) $36$

3) Le nombre de façons de ranger $4$ personnes en file indienne vaut :
a) $24$   b) $16$   c) $12$   d) $4$

4) Pour tout entier $n\geqslant1$, $A_n^n$ est égal à :
a) $n$   b) $n!$   c) $n^n$   d) $1$

Exercice 4 — Test médical et formule de Bayes

Une maladie touche 1% de la population ($P(M)=0{,}01$). Un test détecte la maladie avec :

$P(+|M)=0{,}99$ (sensibilité) · $P(-|\bar{M})=0{,}95$ (spécificité), donc $P(+|\bar{M})=0{,}05$.

1. Compléter l'arbre des probabilités.

2. $P(+)$ par la loi des probabilités totales.

3. $P(M|+)$ par la formule de Bayes — commenter.

Exercice 5 — Jeu de dés

On lance deux dés équilibrés. Soit $X$ = valeur absolue de la différence des faces.

1. Dresser le tableau de la loi de $X$ (valeurs de 0 à 5).

2. Calculer $E(X)$ et $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.

3. Le jeu est-il équitable si on gagne $X$ FCFA par lancé et qu'on paye 2 FCFA pour jouer ?

Exercice 6 — Loi binomiale

$X\sim\mathcal{B}(n,p)$ : $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ · $E(X)=np$ · $V(X)=np(1-p)$

Un examen a 10 QCM avec 4 choix dont 1 seul correct. Un élève répond au hasard.

1. Loi de $X$ = nombre de bonnes réponses.  2. $P(X=3)$.  3. $P(X\geq6)$.  4. $E(X)$ et $V(X)$.  5. Tracer la loi.

Exercice 7 — Loi des grands nombres

On lance une pièce équilibrée $n$ fois. Soit $f_n$ la fréquence d'apparition de Face.

1. Quelle est la loi de $X$ = nombre de Face en $n$ lancers ?

2. $E(f_n)$ et $V(f_n)$.

3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(|f_n-0{,}5|\geq\varepsilon)\leq\dfrac{1}{4n\varepsilon^2}$. Pour $\varepsilon=0{,}05$, quelle valeur minimale de $n$ assure $P(|f_n-0{,}5|\geq0{,}05)\leq0{,}01$ ?

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un lycée organise une kermesse de fin d'année. Sur les $200$ élèves de l'établissement, $120$ participent à l'atelier théâtre, $85$ à l'atelier musique, et $40$ participent aux deux ateliers à la fois.

Le comité d'organisation doit commander un tee-shirt pour chaque élève participant à au moins un atelier (sans doublon pour ceux qui font les deux), plus une réserve correspondant à $10\%$ des élèves ne participant à aucun atelier, qui seront mobilisés comme bénévoles le jour J.

Consigne : Déterminer le nombre d'élèves participant à au moins un atelier, le nombre d'élèves ne participant à aucun des deux, puis le nombre total de tee-shirts à commander (réserve bénévoles arrondie à l'entier supérieur).

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole compte $10$ membres candidats à un bureau de $3$ postes bien distincts : président, trésorier et secrétaire.

La coopérative doit ensuite afficher, dans l'ordre du meilleur au moins bon, le classement des $5$ producteurs les plus performants (en tonnage de coton) parmi les $12$ producteurs de la coopérative, sans aucun ex-æquo possible.

Consigne : Déterminer le nombre de bureaux différents possibles, puis le nombre de classements différents possibles pour les $5$ meilleurs producteurs parmi les $12$.

Exercice 8 — Loi normale et intervalle de confiance

Les notes au Bac d'une grande ville suivent une loi normale $\mathcal{N}(11,2{,}5^2)$.

1. Courbe de densité. Interprétation de $\mu=11$ et $\sigma=2{,}5$.

2. Calculer $P(8{,}5\leq X\leq13{,}5)$ (règle des 68%). Interpréter.

3. Quelle fraction d'élèves a une note entre 6 et 16 (règle des 95%) ?

4. Théorème central limite : si on prend un échantillon de $n=100$ élèves, quelle est la loi approchée de $\bar{X}$ ?

5. Intervalle de confiance à 95% pour $\mu$.

Exercice 9 — Problème type Bac

Un lycée compte 12 élèves : 7 filles et 5 garçons.

Partie A — Dénombrement

1. Combien de délégations de 4 élèves sont possibles ?

2. Combien de délégations contiennent exactement 2 filles et 2 garçons ?

3. Combien de délégations contiennent au moins une fille ?

Partie B — Probabilités

On tire une délégation de 4 élèves au hasard.

4. Probabilité d'avoir exactement 2 filles.  5. Probabilité d'avoir la majorité de filles ($\geq3$).  6. Probabilité qu'il y ait au moins une fille, sachant qu'il y a au moins un garçon.

Problème — Codes, digicode et parties d'un ensemble.

Partie A. Un cadenas de vélo utilise un code à $4$ chiffres choisis parmi $\{0,1,\dots,9\}$, les répétitions étant autorisées. 1) Combien de codes différents existe-t-il au total ? 2) Combien de ces codes ont leurs $4$ chiffres deux à deux distincts ?

Partie B. Le digicode d'un immeuble utilise un code de $3$ caractères, chacun choisi parmi les $10$ chiffres et les $26$ lettres de l'alphabet ($36$ symboles au total), répétitions autorisées. Combien de codes différents sont possibles ?

Partie C. Un technicien dispose d'un ensemble $E$ de $8$ clés USB numérotées. Il doit constituer un lot à prêter à un collègue (n'importe quel sous-ensemble de $E$, y compris ne rien prêter ou tout prêter). Combien de lots différents peut-il constituer ?

Problème.

Partie A. Développer $(x-1)^5$ à l'aide de la ligne $n=5$ du triangle de Pascal.

Partie B. Vérifier la relation $\binom62+\binom63=\binom73$.

Partie C. Une coopérative compte $12$ membres. Elle doit former un comité de $5$ membres, sans distinction de rôle entre eux. Combien de comités différents peut-elle former ?

Un sac contient neuf jetons indiscernables au toucher : quatre rouges, trois verts et deux bleus. On tire simultanément trois jetons du sac ; tous les tirages ont la même probabilité.

1) Combien y a-t-il de tirages possibles ? Justifie le choix de l'outil de dénombrement.

2) On note \(A\) l'événement « les trois jetons sont de la même couleur » et \(B\) l'événement « les trois jetons sont de trois couleurs différentes ». Calcule \(p(A)\) et \(p(B)\).

3) On note \(C\) l'événement « le tirage comporte exactement deux couleurs ». Justifie que \(A\), \(B\) et \(C\) sont deux à deux incompatibles et que leur réunion est l'univers, puis déduis-en \(p(C)\).

4) On note \(D\) l'événement « le tirage contient au moins un jeton rouge ». Calcule \(p(D)\) à l'aide de l'événement contraire, puis \(p(A\cap D)\) et \(p(A\cup D)\). Les événements \(A\) et \(D\) sont-ils indépendants ?

5) On note \(X\) le nombre de jetons rouges tirés. Détermine la loi de probabilité de \(X\), puis calcule son espérance, sa variance et son écart-type. Interprète l'espérance.

Un groupement de producteurs de maïs a observé, sur de nombreuses campagnes, que la saison des pluies s'installe de façon précoce avec la probabilité \(0{,}2\), à la date habituelle avec la probabilité \(0{,}5\) et de façon tardive avec la probabilité \(0{,}3\). La récolte est jugée bonne avec la probabilité \(0{,}9\) si la saison est précoce, \(0{,}75\) si elle s'installe à la date habituelle et \(0{,}65\) si elle est tardive. Pour une campagne, on note \(P\), \(H\) et \(T\) les événements « la saison est précoce », « la saison s'installe à la date habituelle », « la saison est tardive », et \(R\) l'événement « la récolte est bonne ».

1) Décris l'arbre pondéré qui représente la situation, puis calcule \(p(P\cap R)\), \(p(H\cap R)\) et \(p(T\cap R)\).

2) Les événements \(P\), \(H\) et \(T\) forment une partition de l'univers. Écris \(R\) comme réunion de trois événements deux à deux incompatibles, puis calcule \(p(R)\) et \(p(\overline{R})\).

3) Cette année, la récolte a été bonne. En revenant à la définition d'une probabilité conditionnelle, calcule la probabilité \(p_R(T)\) que la saison ait été tardive. Calcule de même \(p_{\overline{R}}(T)\), puis compare ces deux nombres à \(p(T)\) et interprète.

4) Les événements \(H\) et \(R\) sont-ils indépendants ? Et les événements \(P\) et \(R\) ? Interprète ces deux résultats.

5) On considère quatre campagnes, supposées indépendantes et soumises aux mêmes conditions, et on note \(X\) le nombre de bonnes récoltes. Justifie que \(X\) suit une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres, puis calcule \(p(X=3)\), la probabilité d'avoir au moins une bonne récolte, et l'espérance de \(X\).

La ligne d'indice 5 du triangle de Pascal est formée des nombres 1, 5, 10, 10, 5, 1, qui sont les coefficients \(C_5^0\), \(C_5^1\), …, \(C_5^5\).

1) Rappelle la relation de Pascal, puis construis la ligne d'indice 6 du triangle.

2) Écris le développement de \((1+x)^6\), où \(x\) est un réel. En choisissant deux valeurs de \(x\), calcule les sommes \(S=C_6^0+C_6^1+C_6^2+\dots+C_6^6\) et \(T=C_6^0-C_6^1+C_6^2-\dots+C_6^6\).

3) Soit \(E\) un ensemble à 6 éléments. Interprète \(C_6^k\), puis \(S\), en termes de parties de \(E\). Démontre que \(E\) possède autant de parties ayant un nombre pair d'éléments que de parties ayant un nombre impair d'éléments, et donne ce nombre.

4) À l'aide de la formule du binôme, écris le nombre complexe \((1+i)^6\) sous forme algébrique.

5) Retrouve ce résultat avec la forme trigonométrique de \(1+i\) et la formule de Moivre. Déduis-en la valeur de \((1+i)^{12}\).

6) Pour \(x\) réel non nul, détermine le terme qui ne dépend pas de \(x\) dans le développement de \(\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^6\).

Pour financer l'achat de livres, le club de mathématiques d'un lycée tient un stand de jeu. Une urne contient cinq jetons indiscernables au toucher : deux jetons dorés et trois jetons blancs. Le joueur verse une mise de 300 francs, puis tire successivement et sans remise deux jetons de l'urne. Chaque jeton doré tiré lui rapporte 500 francs. On note \(X\) le gain algébrique du joueur, en francs : la somme reçue diminuée de la mise.

1) En distinguant les cinq jetons et en tenant compte de l'ordre, combien y a-t-il de tirages possibles ? Combien y en aurait-il si le premier jeton était remis dans l'urne avant le second tirage ?

2) On note \(D_1\) l'événement « le premier jeton tiré est doré » et \(D_2\) l'événement « le second jeton tiré est doré ». Décris l'arbre pondéré de l'expérience, puis calcule la probabilité de tirer deux jetons dorés, exactement un jeton doré, aucun jeton doré. Contrôle ces résultats par un dénombrement.

3) Démontre que \(p(D_2)=p(D_1)\). Les événements \(D_1\) et \(D_2\) sont-ils indépendants ?

4) Détermine la loi de probabilité de \(X\), puis sa fonction de répartition \(F\), définie par \(F(x)=p(X\leq x)\).

5) Calcule l'espérance de \(X\) et interprète-la du point de vue du club. Quelle mise faudrait-il demander pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire d'espérance nulle ?

6) Le club fixe finalement la mise à 400 francs. Calcule la variance et l'écart-type du gain du joueur.