Terminale L · Leçon 5
Limites et continuité
Exercices corrigés
Domaine de définition d'une fonction
Exercice 1 — Domaine de définition d'une fonction
Déterminer le domaine de définition $D_f$ de chacune des fonctions suivantes :
1. $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$
2. $g(x) = \sqrt{2x - 6}$
Voir le corrigé
- Domaine de $f(x) = \dfrac{3x+1}{x-2}$ : Le dénominateur ne doit pas s'annuler : $$x - 2 \neq 0 \iff x \neq 2$$ $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} = \left]-\infty\,;\,2\right[ \cup \left]2\,;\,+\infty\right[$$
- Domaine de $g(x) = \sqrt{2x-6}$ : La racine est définie seulement si l'expression sous le radical est $\geq 0$ : $$2x - 6 \geq 0 \iff x \geq 3$$ $$D_g = \left[3\,;\,+\infty\right[$$
Limite d'un polynôme
Exercice 1 — Limite d'un polynôme
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (5x^3-2x+1)$.
Voir le corrigé
- Facteur dominant
$$5x^3-2x+1 = x^3\left(5-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right).$$ - Résultat
$x^3\to+\infty$ et le facteur entre parenthèses $\to5$, donc la limite vaut $+\infty$.
Limite d'une fraction rationnelle
Exercice 2 — Limite d'une fraction rationnelle
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{3x-2}{x+5}$.
Voir le corrigé
- Division par $x$
$$\frac{3x-2}{x+5} = \frac{3-2/x}{1+5/x}.$$ - Résultat
Quand $x\to+\infty$, $2/x\to0$ et $5/x\to0$, donc la limite vaut $\dfrac{3}{1}=3$.
Quantité conjuguée
Exercice 3 — Quantité conjuguée
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+4}-\sqrt{x}\right)$.
Voir le corrigé
- Multiplication par l'expression conjuguée
$$\sqrt{x+4}-\sqrt{x} = \frac{(x+4)-x}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}} = \frac{4}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}.$$ - Résultat
Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc la limite vaut $0$.
Limites à gauche et à droite d'un pôle
Exercice 4 — Limites à gauche et à droite
Soit $f(x)=\dfrac{1}{2x-3}$. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{+}} f(x)$, puis conclure sur l'existence d'une limite globale en $\dfrac32$.
Limite en $-\infty$ d'une expression irrationnelle
Exercice 6 — Limite en $-\infty$
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)$.
Limite d'une suite rationnelle
Exercice 6 — Limite d'une suite rationnelle
Soit $u_n = \dfrac{n^2+1}{n+2}$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ en réécrivant $u_n$ sous une forme adaptée.