Terminale L · Leçon 11
Calcul intégral
Ce que dit le programme officiel (3 points)
- Primitives ; propriétés ; primitives de 0, a, ax, axⁿ, a/x, a/x², a/√x, eax
- Intégrale d’une fonction sur un segment : définition, propriétés
- Calcul d’aires
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Primitives : définition, primitives usuelles
Dériver, c'est passer d'une fonction à sa vitesse de variation ; chercher une primitive, c'est faire le chemin inverse : retrouver une fonction dont on connaît la dérivée. Il n'y a pas de formule automatique, mais une habitude : lire chaque fonction comme le résultat d'une dérivation, en reconnaissant la dérivée d'une fonction composée.
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\). Alors \(f\) admet des primitives sur \(I\) (résultat admis). Si \(F\) est l'une d'elles :
- les primitives de \(f\) sur \(I\) sont exactement les fonctions \(x\mapsto F(x)+C\), où \(C\) est un réel ;
- pour tout \(x_0\in I\) et tout réel \(y_0\), il existe une unique primitive \(G\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(G(x_0)=y_0\) : c'est \(G(x)=F(x)-F(x_0)+y_0\).
Démonstration du premier point. Si \(G\) est une autre primitive, \((G-F)'=f-f=0\) sur l'intervalle \(I\), donc \(G-F\) est constante sur \(I\). Réciproquement, \((F+C)'=F'=f\). Pour le second point, la condition \(F(x_0)+C=y_0\) donne une seule valeur, \(C=y_0-F(x_0)\).
Le mot intervalle compte : sur \(]-\infty\,;0[\cup]0\,;+\infty[\), une fonction de dérivée nulle peut prendre une constante sur chaque morceau.
\(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\in I\).
Toutes les primitives de \(f\) sont de la forme \(F(x)+C\) où \(C\in\mathbb{R}\).
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Condition |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | |
| \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\) | \(a\neq 0\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(x>0\) |
\(\displaystyle\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C\) — vérification : \(\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)'=e^{2x}\)
| Forme | Primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\cdot u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u\neq 0\) |
| \(u'\cdot e^u\) | \(e^u\) | |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u>0\) |
\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C\qquad\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\qquad\int\frac{3}{3x-1}\,dx=\ln|3x-1|+C\]
Après avoir trouvé \(F(x)\), dérivez toujours pour vérifier \(F'(x)=f(x)\). 10 secondes de vérification = 2 points assurés.
Dans ce tableau, \(u\) et \(v\) sont dérivables sur l'intervalle \(I\) ; chaque ligne se vérifie en dérivant la colonne de droite.
| Fonction | Une primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\cos u\) | \(\sin u\) | |
| \(u'\sin u\) | \(-\cos u\) | |
| \(u'u^m\) | \(\dfrac{u^{m+1}}{m+1}\) | \(m\) rationnel, \(m\neq -1\) ; \(u\gt 0\) si \(m\) n'est pas entier |
| \(\dfrac{u'}{u^r}\) | \(\dfrac{u^{1-r}}{1-r}\) | \(r\) rationnel, \(r\neq 1\) ; \(u\gt 0\) si \(r\) n'est pas entier, \(u\neq 0\) sinon |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln u\) | \(u\gt 0\) |
| \(v'\times(u'\circ v)\) | \(u\circ v\) | |
| \(f'(ax+b)\) | \(\dfrac1a f(ax+b)\) | \(a\neq 0\) |
Avec la linéarité : si \(F\) et \(G\) sont des primitives de \(f\) et \(g\), alors \(F+G\) est une primitive de \(f+g\) et \(\lambda F\) une primitive de \(\lambda f\). Il n'existe aucune règle de ce type pour un produit ou un quotient.
1. Découper la fonction en une somme de termes, et sortir les constantes multiplicatives (linéarité).
2. Reconnaître une forme pour chaque terme : repérer la fonction \(u\) « à l'intérieur » (sous la racine, dans le cosinus, en exposant, au dénominateur), calculer \(u'\), et regarder si \(u'\) apparaît en facteur.
3. Ajuster la constante. Si l'on a \(k\,u'\) au lieu de \(u'\), on écrit la fonction sous la forme \(\dfrac1k\times(k\,u'\ldots)\). Seul un facteur constant peut s'ajuster ainsi.
4. Vérifier en dérivant le résultat : on doit retrouver exactement la fonction de départ.
5. Condition imposée. Si l'on demande la primitive qui prend la valeur \(y_0\) en \(x_0\), on écrit \(F(x)+C\), puis on calcule \(C\) avec \(F(x_0)+C=y_0\).
Énoncé. Déterminer la primitive \(F\) sur \(]0\,;+\infty[\) de \(f(x)=3x^2-\dfrac4{x^2}+2\) telle que \(F(1)=0\).
Solution : terme par terme : \(3x^2\) a pour primitive \(x^3\) ; \(\dfrac1{x^2}\) a pour primitive \(-\dfrac1x\), donc \(-\dfrac4{x^2}\) a pour primitive \(\dfrac4x\) ; \(2\) a pour primitive \(2x\). Les primitives de \(f\) sont \(x\mapsto x^3+\dfrac4x+2x+C\).
Condition : \(F(1)=1+4+2+C=7+C=0\), donc \(C=-7\) et \(F(x)=x^3+\dfrac4x+2x-7\). Vérification : \(F'(x)=3x^2-\dfrac4{x^2}+2=f(x)\).
Énoncé. Déterminer les primitives sur \(\mathbb R\) de \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+5}}\), puis celle dont la courbe passe par le point \(A(2\,;1)\).
Solution : on pose \(u(x)=x^2+5\), strictement positive, avec \(u'(x)=2x\). Alors \(f(x)=\dfrac12\times\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}\), et \(\dfrac{u'}{\sqrt u}\) a pour primitive \(2\sqrt u\) (forme \(\dfrac{u'}{u^r}\) avec \(r=\dfrac12\)). Les primitives de \(f\) sont donc \(x\mapsto\sqrt{x^2+5}+C\).
La courbe passe par \(A\) si \(\sqrt{9}+C=1\), soit \(C=-2\) : \(F(x)=\sqrt{x^2+5}-2\). Vérification : \(F'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}=f(x)\).
Figure — Les primitives de l'exemple 2
En gris, plusieurs primitives de la fonction f de l'exemple 2 : ce sont les courbes d'équation y = racine de (x² + 5) + C pour C = −3, −1, 0 et 1. Elles se déduisent les unes des autres par une translation verticale. En bleu marine, la seule qui passe par le point A(2 ; 1), obtenue pour C = −2.
Énoncé. Déterminer une primitive sur \(\mathbb R\) de a) \(g(x)=x\cos(x^2)\) ; b) \(h(x)=\sin x\cos^2x\), puis la primitive \(H\) de \(h\) telle que \(H(0)=0\).
Solution : a) avec \(u(x)=x^2\), \(u'(x)=2x\) : \(g(x)=\dfrac12\,u'(x)\cos u(x)\). Une primitive est \(G(x)=\dfrac12\sin(x^2)\). Vérification : \(G'(x)=\dfrac12\times 2x\cos(x^2)=g(x)\).
b) avec \(u(x)=\cos x\), \(u'(x)=-\sin x\) : \(h(x)=-u'(x)\,u(x)^2\). Une primitive de \(u'u^2\) est \(\dfrac{u^3}3\), donc une primitive de \(h\) est \(-\dfrac{\cos^3x}3\). La primitive cherchée s'écrit \(H(x)=-\dfrac{\cos^3x}3+C\) avec \(H(0)=-\dfrac13+C=0\), d'où \(H(x)=\dfrac13-\dfrac{\cos^3x}3\).
Énoncé. Déterminer une primitive de a) \(k(x)=\sqrt{2x+1}\) sur \(\left]-\dfrac12\,;+\infty\right[\) ; b) \(\ell(x)=\dfrac1{(x-1)^2}\) sur \(]1\,;+\infty[\) ; c) \(m(x)=\cos(3x+1)\) sur \(\mathbb R\).
Solution : a) \(k(x)=(2x+1)^{\frac12}=\dfrac12\,u'(x)\,u(x)^{\frac12}\) avec \(u(x)=2x+1\). Une primitive est \(\dfrac12\times\dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac13(2x+1)^{\frac32}=\dfrac13(2x+1)\sqrt{2x+1}\).
b) avec \(u(x)=x-1\), \(u'=1\), \(\ell=\dfrac{u'}{u^2}\) : une primitive est \(\dfrac{u^{-1}}{-1}=-\dfrac1{x-1}\). c) Une primitive de \(\cos\) est \(\sin\), donc une primitive de \(m\) est \(\dfrac13\sin(3x+1)\) : on divise par 3, on ne multiplie pas.
Énoncé. Montrer que \(F(x)=(x-1)e^x\) est une primitive sur \(\mathbb R\) de \(f(x)=xe^x\).
Solution : on dérive \(F\) comme un produit : \(F'(x)=1\times e^x+(x-1)e^x=xe^x=f(x)\). Donc \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb R\). Justifier, c'est dériver : il est inutile de « chercher » la primitive quand elle est donnée.
On remarque que la primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives : \(\dfrac{x^2}2e^x\) aurait pour dérivée \(xe^x+\dfrac{x^2}2e^x\), qui n'est pas \(f(x)\).
Multiplier au lieu de diviser. Une primitive de \(\cos(3x)\) est \(\dfrac13\sin(3x)\), et non \(3\sin(3x)\) : la dérivée de \(\sin(3x)\) fait apparaître le facteur 3.
Ajuster autre chose qu'une constante. Pour \(\cos(x^2)\) seul, le facteur \(2x\) manque et ne peut pas être ajouté : cette fonction n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles. On ajuste seulement un facteur constant.
Confondre \(\dfrac{u'}{u^2}\) et \(\dfrac{u'}{u}\). Une primitive de \(\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\) est \(-\dfrac1{x^2+1}\), pas \(\ln\big((x^2+1)^2\big)\) : le logarithme ne sert que pour \(\dfrac{u'}{u}\).
Oublier la constante ou l'intervalle. « La » primitive n'a de sens qu'avec une condition ; sinon on écrit \(F(x)+C\), sur un intervalle précisé.
Intégrale : définition, linéarité, relation de Chasles
Soit \(f\) continue sur \([a\,;\,b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) :
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a)\]
La constante \(C\) s'annule toujours dans une intégrale définie.
\[\int_{1}^{3}2x\,dx=\bigl[x^2\bigr]_1^3=9-1=\boxed{8}\]
\[\int_{0}^{1}e^x\,dx=\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-1\approx\boxed{1{,}718}\]
\[\int_{a}^{b}\bigl[kf(x)+\lambda g(x)\bigr]\,dx=k\int_{a}^{b}f\,dx+\lambda\int_{a}^{b}g\,dx\]
\[\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{c}f+\int_{c}^{b}f\qquad\int_{a}^{b}f=-\int_{b}^{a}f\qquad\int_{a}^{a}f=0\]
La constante de primitive s'annule systématiquement lors de l'évaluation \(F(b)-F(a)\).
Figure interactive — Intégrale comme aire algébrique
Déplacez a et b pour choisir l'intervalle d'intégration. La zone verte correspond aux parties positives (intégrale positive) et la zone brune aux parties négatives.
Intégrale et aire, aire entre deux courbes
Si \(f\) est continue et positive sur \([a\,;\,b]\) :
\[\mathcal{A}=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\quad\text{(en unités d'aire, u.a.)}\]
| Cas | Condition | Formule de l'aire |
|---|---|---|
| Cas 1 | \(f\geq 0\) sur \([a;b]\) | \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b f\,dx\) |
| Cas 2 | \(f\leq 0\) sur \([a;b]\) | \(\mathcal{A}=\left|\displaystyle\int_a^b f\,dx\right|\) |
| Cas 3 | \(f\) change de signe en \(c\) | \(\mathcal{A}=\left|\displaystyle\int_a^c f\right|+\left|\displaystyle\int_c^b f\right|\) |
L'intégrale peut être négative. L'aire géométrique est toujours positive. Oublier la valeur absolue quand \(f<0\) est l'erreur numéro 1 dans les calculs d'aire au Bac.
\[\mathcal{A}_1=\left|\int_{-1}^{0}x\,dx\right|=\frac{1}{2}\qquad\mathcal{A}_2=\int_{0}^{2}x\,dx=2\qquad\mathcal{A}=\frac{1}{2}+2=\boxed{\frac{5}{2}\text{ u.a.}}\]
Si \(f(x)\geq g(x)\) sur \([a\,;\,b]\) :
\[\mathcal{A}=\int_{a}^{b}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,dx\]
\[\mathcal{A}=\int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\boxed{\frac{1}{6}\text{ u.a.}}\]
Figure interactive — Aire entre deux courbes
L'aire géométrique (toujours positive) peut différer de l'intégrale algébrique ∫(f−g) quand les courbes se croisent. Observez la différence avec sin/cos.
Résumé
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) · La constante s'annule toujours
Linéarité · Chasles : \(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\) · Inversion : \(\int_a^b=-\int_b^a\)
Si \(f\geq 0\) : \(\mathcal{A}=\int_a^b f\) · Si \(f\leq 0\) : \(\mathcal{A}=|\int_a^b f|\) · Entre 2 courbes : \(\int_a^b|f-g|\)
\(\int uv'=[uv]-\int u'v\) · Choisir \(u\) : A→L→P→E→S
\(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\,dx\) = hauteur du rectangle équivalent
Si \(m\leq f\leq M\) sur \([a;b]\) : \(m(b-a)\leq\int_a^b f\leq M(b-a)\)
Sur un intervalle : \(F+C\), \(C\) réel ; une seule vérifie \(F(x_0)=y_0\).
\(u'\cos u\to\sin u\) ; \(u'\sin u\to-\cos u\) ; \(u'e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u'}u\to\ln u\) (\(u\gt 0\)).
\(u'u^m\to\dfrac{u^{m+1}}{m+1}\) (\(m\neq-1\)) ; \(\dfrac{u'}{u^r}\to\dfrac{u^{1-r}}{1-r}\) (\(r\neq1\)).
Seulement un facteur constant : \(\cos(ax+b)\to\dfrac1a\sin(ax+b)\).
On dérive toujours le résultat pour retrouver la fonction de départ.
Sujet type Bac
Soit \(f(x)=x\ln(x)\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
A. Étude de la fonction
\(f'(x)=\ln(x)+1\), annulée en \(x=\dfrac{1}{e}\). Minimum de \(-\dfrac{1}{e}\approx-0{,}368\).
| \(x\) | \(0^+\) | \(\frac{1}{e}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 0 | ↘ | \(-\frac{1}{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
B. Calcul par IPP — \(\displaystyle\int_{1}^{e}x\ln(x)\,dx\)
\(u=\ln x\) (L), \(v'=x\) → \(u'=\dfrac{1}{x}\), \(v=\dfrac{x^2}{2}\)
\[\int_1^e x\ln x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\frac{x}{2}\,dx=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\boxed{\frac{e^2+1}{4}}\]
C. Calcul d'aire
Sur \([1\,;\,e]\) : \(f(x)\geq 0\), donc \(\mathcal{A}=\dfrac{e^2+1}{4}\approx 2{,}097\) u.a.
Si 1 u. = 2 cm sur chaque axe : aire réelle \(=\dfrac{e^2+1}{4}\times 4=e^2+1\approx 8{,}389\) cm².