Terminale L · Leçon 7
Étude de fonctions
Ce que dit le programme officiel (4 points)
- Parité, éléments de symétrie : centre f(2a − x) + f(x) = 2b, axe f(2a − x) = f(x)
- Branches infinies : asymptotes (oblique par division euclidienne), branches paraboliques
- Étude de polynômes de degré au plus 4, de fonctions rationnelles (quotients de trinômes), de fonctions √(ax + b), de |f| ; fonctions affines par morceaux ; écrire |f(x)| sans valeur absolue
- Résolutions algébriques et graphiques de f(x) = y, f(x) ≤ y, etc.
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Plan d'étude complet d'une fonction et représentation graphique
- Ensemble de définition \(D_f\)
- Parité / Périodicité
- Limites aux bornes de \(D_f\)
- Asymptotes — AV, AH, AO
- Dérivée \(f'(x)\) et son domaine
- Tableau de signes de \(f'\) → tableau de variations
- Points remarquables — axes, extremums, inflexion
- Tangentes particulières
- Tracé cohérent avec toutes les informations
Étude d'une fonction polynôme
Une fonction polynôme de degré \(n\) est une fonction de la forme \[f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0,\] où les \(a_i\) sont des réels et \(a_n \neq 0\). Son domaine de définition est toujours \(\mathbb{R}\) tout entier : il n'y a aucune valeur interdite.
Si \(f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\), alors \[f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1.\] En pratique on dérive terme à terme : \((x^n)' = n x^{n-1}\), \((ax)' = a\), \((a)' = 0\).
Sur un intervalle où \(f'(x) > 0\), la fonction \(f\) est strictement croissante. Sur un intervalle où \(f'(x) < 0\), elle est strictement décroissante. En un point \(x_0\) où \(f'(x_0) = 0\) et où \(f'\) change de signe, \(f\) admet un extremum local.
- Domaine : \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\) toujours.
- Dériver \(f\) terme à terme pour obtenir \(f'\).
- Factoriser \(f'\) (mise en facteur, identités remarquables, facteur commun) pour déterminer facilement son signe.
- Tableau de signes de \(f'\) puis tableau de variations de \(f\).
- Calculer les valeurs en les points critiques et aux extrémités (ou limites en \(\pm\infty\)).
Soit \(f(x) = x^3 - 3x + 2\). On dérive terme à terme : \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)\).
Le produit \(3(x-1)(x+1)\) est positif quand les deux facteurs sont de même signe, négatif quand ils sont de signes opposés. On obtient : \(f'(x) > 0\) sur \(]-\infty\,;-1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\), et \(f'(x) < 0\) sur \(]-1\,;1[\).
Ainsi \(f\) est croissante, puis décroissante, puis croissante. Les extrema locaux sont : maximum \(f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4\) et minimum \(f(1) = 1 - 3 + 2 = 0\).
Soit \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 1\). On reconnaît une identité remarquable : \(f(x) = (x^2 - 1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2 \geq 0\).
Dérivée : \(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)\). C'est un produit de trois facteurs linéaires de coefficient dominant \(4 > 0\). Tableau de signe :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(1\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
La fonction admet deux minimums globaux en \(x = \pm 1\) (valeur \(0\)) et un maximum local en \(x = 0\) (valeur \(1\)).
Soit \(g(x) = x^4 - 8x^2 + 12\). Alors \(g'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x-2)(x+2)\). Les racines de \(g'\) sont \(x = -2, 0, 2\).
Valeurs remarquables : \(g(-2) = 16 - 32 + 12 = -4\), \(g(0) = 12\), \(g(2) = 16 - 32 + 12 = -4\). La courbe possède donc deux minimums globaux (\(-4\)) et un maximum local (\(12\)).
Quand \(f'(x_0) = 0\), on dit que \(x_0\) est un point critique, mais cela ne signifie pas forcément un extremum. Si \(f'\) ne change pas de signe en \(x_0\) — par exemple \(h(x) = x^3\) avec \(h'(0) = 0\) mais \(h'\) reste positive de part et d'autre — alors il n'y a pas d'extremum, seulement un point d'inflexion à tangente horizontale. Toujours vérifier le changement de signe.
Pour un polynôme \(f(x) = a_n x^n + \cdots\), le comportement en \(\pm\infty\) est dicté par \(a_n x^n\) seul. Si \(a_n > 0\) et \(n\) pair : \(f \to +\infty\) des deux côtés. Si \(a_n > 0\) et \(n\) impair : \(f \to -\infty\) à gauche et \(+\infty\) à droite. Ces informations guident la lecture du tableau de variations avant même de calculer.
Figure III.1 — Polynôme de degré 3 : exploration interactive
\(f'(x)\)
Étude d'une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est une fonction de la forme \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\), où \(P\) et \(Q\) sont des polynômes avec \(Q \not\equiv 0\). Son domaine de définition est \(\mathbb{R}\) privé des racines de \(Q\) : \(\mathcal{D}_f = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}\).
On appelle asymptote verticale en \(x = x_0\) toute droite verticale telle que \(f(x) \to \pm\infty\) quand \(x \to x_0\) (avec \(x_0\) racine de \(Q\) non racine de \(P\)). On appelle asymptote horizontale en \(y = \ell\) toute droite horizontale telle que \(f(x) \to \ell\) quand \(x \to +\infty\) ou \(x \to -\infty\).
- Asymptote verticale : résoudre \(Q(x) = 0\). Pour chaque racine \(x_0\), calculer \(\lim_{x \to x_0^+} f(x)\) et \(\lim_{x \to x_0^-} f(x)\) (analyser les signes au voisinage).
- Asymptote horizontale : diviser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de \(x\) présente, puis passer à la limite. Si \(\deg P < \deg Q\), la limite est \(0\). Si \(\deg P = \deg Q\), la limite est le rapport des coefficients dominants.
- Décomposer : pour \(f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}\), écrire \(f(x) = \dfrac{a}{c} + \dfrac{k}{cx+d}\) (division euclidienne) permet de lire simultanément l'asymptote horizontale \(y = a/c\) et la forme de la dérivée.
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Division euclidienne : \(2x + 1 = 2(x-1) + 3\), donc \(f(x) = 2 + \dfrac{3}{x-1}\).
Asymptote verticale \(x = 1\) : quand \(x \to 1^+\), \(\frac{3}{x-1} \to +\infty\) ; quand \(x \to 1^-\), \(\frac{3}{x-1} \to -\infty\). Asymptote horizontale \(y = 2\) : quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{3}{x-1} \to 0\).
Dérivée : \(f'(x) = -\dfrac{3}{(x-1)^2} < 0\) sur tout le domaine. La fonction est donc strictement décroissante sur chacun des deux intervalles \(]-\infty\,;1[\) et \(]1\,;+\infty[\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\). Division : \(x + 3 = \tfrac{1}{2}(2x-4) + 5\), donc \(f(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2x-4}\).
Asymptote verticale \(x = 2\) : quand \(x \to 2^+\), \(\frac{5}{2x-4} \to +\infty\) ; quand \(x \to 2^-\), \(\frac{5}{2x-4} \to -\infty\).
Asymptote horizontale \(y = \tfrac{1}{2}\) : quand \(x \to \pm\infty\).
Dérivée (règle du quotient, avec \(u = x+3\), \(v = 2x-4\)) :
\[ f'(x) = \frac{1 \cdot (2x-4) - (x+3) \cdot 2}{(2x-4)^2} = \frac{2x - 4 - 2x - 6}{(2x-4)^2} = \frac{-10}{(2x-4)^2} < 0. \]\(f'\) est partout strictement négative : \(f\) est décroissante sur chacun des deux intervalles de son domaine.
Soit \(h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}\). Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Division euclidienne de \(x^2 - 1\) par \(x + 2\) : \(x^2 - 1 = (x+2)(x-2) + 3\), donc \(h(x) = x - 2 + \dfrac{3}{x+2}\).
Quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{3}{x+2} \to 0\) donc \(h(x) \approx x - 2\) : la droite \(y = x - 2\) est une asymptote oblique (voir section suivante). L'asymptote verticale est \(x = -2\).
Si \(Q(x_0) = 0\) et \(P(x_0) = 0\) simultanément, il n'y a pas nécessairement d'asymptote verticale en \(x_0\). Par exemple \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2\) pour \(x \neq 2\). La droite \(x = 2\) n'est pas une asymptote : la fonction se prolonge par continuité. Toujours simplifier avant de conclure.
Quand on obtient \(f'(x) = \dfrac{k}{(cx+d)^2}\), le dénominateur est toujours positif. Le signe de \(f'\) est donc entièrement déterminé par le signe de la constante \(k\) : si \(k < 0\), la fonction est décroissante partout sur son domaine sans exception. Pas besoin de tableau de signes complexe.
Figure III.2 — Fraction rationnelle : asymptotes et courbe
asymptote verticale
asymptote horizontale
Étude d'une fonction x ↦ √(ax + b)
Rappel de PremièreLa fonction racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs, et sa courbe démarre à l'origine avec une tangente verticale. Lorsqu'on place une expression affine sous le radical, ces deux particularités subsistent, mais elles se déplacent : la courbe démarre ailleurs, et elle peut monter ou descendre. Toute l'étude consiste à repérer ce point de départ et ce sens.
Soit \(a\) et \(b\) deux réels, avec \(a\neq 0\), et \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\sqrt{ax+b}\). On note \(x_0=-\dfrac ba\) le réel qui annule \(ax+b\).
Ensemble de définition. \(f(x)\) existe si et seulement si \(ax+b\geq 0\). Si \(a\gt 0\), \(f\) est définie sur \([x_0\,;+\infty[\) ; si \(a\lt 0\), elle est définie sur \(]-\infty\,;x_0]\). Dans les deux cas \(f(x_0)=0\) et \(f(x)\geq 0\).
Sens de variation. La fonction \(f\) s'obtient en appliquant la fonction affine \(x\mapsto ax+b\), puis la fonction racine carrée, qui est croissante. Si \(a\gt 0\), la fonction affine est croissante : \(f\) est croissante. Si \(a\lt 0\), la fonction affine est décroissante : \(f\) est décroissante.
Limite. Quand \(x\) s'éloigne à l'infini du côté où \(f\) est définie, \(ax+b\) tend vers \(+\infty\), donc \(f(x)\) tend vers \(+\infty\).
Dérivée. Pour tout \(x\) tel que \(ax+b\gt 0\), \(f\) est dérivable et
\[f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}.\]Le signe de \(f'(x)\) est celui de \(a\) : on retrouve le sens de variation. En \(x_0\), \(f\) n'est pas dérivable : le taux d'accroissement tend vers l'infini et la courbe admet au point \((x_0\,;0)\) une demi-tangente verticale.
Allure de la courbe. Si \(y=\sqrt{ax+b}\), alors \(y^2=ax+b\) et \(y\geq 0\) : la courbe est une demi-parabole « couchée », dont le sommet est le point \((x_0\,;0)\), situé sur l'axe des abscisses.
1. L'ensemble de définition. On résout l'inéquation \(ax+b\geq 0\), en changeant le sens de l'inégalité si l'on divise par un nombre négatif.
2. Le point de départ et la limite. On calcule \(x_0\) : la courbe part du point \((x_0\,;0)\). À l'autre extrémité de l'ensemble de définition, la limite est \(+\infty\).
3. Le sens de variation. Il est donné par le signe de \(a\), soit par composition, soit par le signe de la dérivée \(f'(x)=\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}\). On dresse le tableau de variation.
4. Le tracé. On place le point de départ avec sa demi-tangente verticale, puis quelques points choisis pour que \(ax+b\) soit un carré (0, 1, 4, 9, 16…) : les images sont alors des entiers. On trace une courbe qui monte ou descend de moins en moins vite.
5. Une équation \(\sqrt{ax+b}=k\) ou \(\sqrt{ax+b}=cx+d\). Une racine carrée est positive : le second membre doit être positif. Sous cette condition seulement, on élève au carré.
Énoncé. Étudier la fonction \(f(x)=\sqrt{2x+4}\), donner une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 0, puis tracer la courbe.
Solution : \(2x+4\geq 0\) équivaut à \(x\geq -2\) : \(f\) est définie sur \([-2\,;+\infty[\), avec \(f(-2)=0\). Le coefficient 2 est positif : \(f\) est croissante sur \([-2\,;+\infty[\), et \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\).
Pour \(x\gt -2\), \(f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+4}}\), qui est bien positif. En \(-2\), pour \(h\gt 0\), le taux d'accroissement vaut \(\dfrac{\sqrt{2h}}{h}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt h}\) et tend vers \(+\infty\) : \(f\) n'est pas dérivable en \(-2\), la courbe y admet une demi-tangente verticale.
Tangente au point d'abscisse 0 : \(f(0)=\sqrt4=2\) et \(f'(0)=\dfrac12\), d'où l'équation \(y=\dfrac12x+2\).
Points pour le tracé : \(f(-2)=0\), \(f(0)=2\), \(f(2{,}5)=3\), \(f(6)=4\).
Figure — La courbe de l'exemple 1, sa tangente et la droite de l'exemple 3
En bleu marine, la courbe de la fonction f de l'exemple 1 : elle part du point (−2 ; 0) à la verticale, puis monte de moins en moins vite. En or, sa tangente au point d'abscisse 0, d'équation y = x/2 + 2 : la courbe reste au-dessous. En bleu, la droite d'équation y = x − 2 de l'exemple 3 : elle coupe la courbe en un seul point, de coordonnées (6 ; 4).
Énoncé. a) Étudier la fonction \(g(x)=\sqrt{6-3x}\). b) Résoudre l'équation \(g(x)=3\), puis l'inéquation \(g(x)\geq 3\).
Solution : a) \(6-3x\geq 0\) équivaut à \(-3x\geq -6\), soit \(x\leq 2\) (on divise par \(-3\), le sens change) : \(g\) est définie sur \(]-\infty\,;2]\), avec \(g(2)=0\). Le coefficient \(-3\) est négatif : \(g\) est décroissante sur \(]-\infty\,;2]\). Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(6-3x\) tend vers \(+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}g(x)=+\infty\).
Pour \(x\lt 2\), \(g'(x)=\dfrac{-3}{2\sqrt{6-3x}}\), qui est bien négatif. La courbe arrive au point \((2\,;0)\) avec une demi-tangente verticale. Points pour le tracé : \(g(2)=0\), \(g(-1)=3\), \(g(-10)=6\).
b) Le nombre 3 est positif : \(g(x)=3\) équivaut à \(6-3x=9\), soit \(x=-1\), qui est bien dans l'ensemble de définition. Comme \(g\) est décroissante et \(g(-1)=3\), on a \(g(x)\geq 3\) exactement lorsque \(x\leq -1\) : l'ensemble des solutions de l'inéquation est \(]-\infty\,;-1]\).
Figure — La courbe de l'exemple 2
La courbe de la fonction g de l'exemple 2 descend de la gauche vers la droite et s'arrête au point (2 ; 0), où elle arrive à la verticale. La droite horizontale en pointillés, d'équation y = 3, la coupe au point d'abscisse −1 : à gauche de ce point, la courbe est au-dessus de la droite.
Énoncé. Déterminer les points d'intersection de la courbe de \(f(x)=\sqrt{2x+4}\) et de la droite d'équation \(y=x-2\), puis préciser leur position relative.
Solution : On résout \(\sqrt{2x+4}=x-2\) sur \([-2\,;+\infty[\). Le premier membre est positif : il faut \(x-2\geq 0\), c'est-à-dire \(x\geq 2\). Sous cette condition, on élève au carré : \(2x+4=(x-2)^2=x^2-4x+4\), soit \(x^2-6x=0\), donc \(x(x-6)=0\). On trouve \(x=0\) ou \(x=6\).
Seul \(x=6\) vérifie \(x\geq 2\). Vérification : \(\sqrt{2\times 6+4}=\sqrt{16}=4\) et \(6-2=4\). Au contraire, pour \(x=0\), \(\sqrt4=2\) alors que \(0-2=-2\) : ce n'est pas une solution. La courbe et la droite se coupent au seul point \((6\,;4)\).
Position relative. Sur \([-2\,;2[\), la droite est sous l'axe des abscisses et la courbe au-dessus : la courbe est au-dessus de la droite. Les deux ne se coupant qu'en 6, la courbe reste au-dessus de la droite sur \([-2\,;6[\) ; au-delà de 6, c'est la droite qui est au-dessus (par exemple en \(x=16\) : \(f(16)=6\) et \(16-2=14\)).
Oublier l'ensemble de définition. \(\sqrt{6-3x}\) n'existe pas pour \(x=5\). Toute étude commence par l'inéquation \(ax+b\geq 0\).
Se tromper de sens quand \(a\) est négatif. De \(-3x\geq -6\) on tire \(x\leq 2\), et non \(x\geq 2\).
Oublier le coefficient \(a\) dans la dérivée. La dérivée de \(\sqrt{2x+4}\) n'est pas \(\dfrac{1}{2\sqrt{2x+4}}\) mais \(\dfrac{2}{2\sqrt{2x+4}}\).
Élever au carré sans condition. L'équation \(\sqrt{2x+4}=x-2\) et l'équation \(2x+4=(x-2)^2\) n'ont pas les mêmes solutions : la seconde admet aussi \(x=0\), qui ne convient pas (exemple 3). On impose d'abord que le second membre soit positif, ou l'on vérifie chaque valeur trouvée.
Asymptotes horizontales, verticales, obliques et branches infinies
On dit que la droite \(y = mx + p\) est une asymptote oblique de \(f\) en \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)) si \(\lim_{x \to +\infty} \bigl[f(x) - (mx+p)\bigr] = 0\). Cela se produit quand le degré du numérateur est exactement égal au degré du dénominateur plus un : \(\deg P = \deg Q + 1\).
- Effectuer la division euclidienne de \(P\) par \(Q\) : on obtient \(P(x) = Q(x) \cdot (mx + p) + r(x)\) où \(\deg r < \deg Q\).
- Donc \(f(x) = mx + p + \dfrac{r(x)}{Q(x)}\), et \(\dfrac{r(x)}{Q(x)} \to 0\) quand \(x \to \pm\infty\).
- La droite \(y = mx + p\) est l'asymptote oblique.
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Division : \(2x^2 + x - 3 = (x-1)(2x+3) + 0\), donc \(f(x) = 2x + 3\) pour \(x \neq 1\).
Ici le reste est nul : \(x = 1\) est une racine commune que l'on simplifie, et la fonction se prolonge en une droite. Il n'y a ni asymptote verticale, ni asymptote oblique — seulement un trou en \(x = 1\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\). Division : \(x^2 + 2x - 1 = (x+1)(x+1) - 2\), donc \(g(x) = x + 1 - \dfrac{2}{x+1}\).
Asymptote oblique : \(y = x + 1\) (quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{2}{x+1} \to 0\)). Asymptote verticale : \(x = -1\).
Dérivée : \(g'(x) = 1 + \dfrac{2}{(x+1)^2} > 0\) : la fonction est strictement croissante sur chacun des deux intervalles de son domaine, ce qui est cohérent avec le comportement d'une hyperbole tournée par rapport aux axes.
Une asymptote est une droite dont la courbe s'approche, mais la courbe peut la croiser avant de s'y rapprocher à l'infini. Par exemple, si \(g(x) - (x+1) = -\frac{2}{x+1}\), alors \(g(-1+\varepsilon) - ((-1+\varepsilon)+1)\) change de signe selon le côté de \(-1\). La courbe est alternativement au-dessus et en-dessous de son asymptote.
Figure III.3 — Asymptote oblique : décomposition interactive
asymptote verticale \(x=-1\)
asymptote oblique \(y=x+1\)
Branches infinies : direction asymptotique, branche parabolique
Quand \(x\) devient très grand et que \(f(x)\) aussi, la courbe s'éloigne à l'infini : on dit qu'elle a une branche infinie. Elle peut se rapprocher d'une droite (une asymptote), ou bien s'éloigner en suivant seulement une direction, comme une parabole. Une méthode en deux limites permet de trancher.
On suppose que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty\) (même étude en \(-\infty\)). On calcule \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\).
- Si cette limite est \(\pm\infty\) : la courbe a une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées (elle monte « plus vite qu'une droite », comme \(y=x^2\)).
- Si elle vaut 0 : branche parabolique de direction l'axe des abscisses (elle monte « moins vite qu'une droite », comme \(y=\sqrt x\)).
- Si elle vaut un réel \(a\neq 0\) : on dit que la droite \(y=ax\) est une direction asymptotique, et l'on calcule \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)\) :
- si elle vaut un réel \(b\), la droite \(y=ax+b\) est asymptote oblique ;
- si elle vaut \(\pm\infty\), la courbe a une branche parabolique de direction la droite \(y=ax\).
1) Vérifier que \(f(x)\) tend vers l'infini (sinon : asymptote horizontale si la limite est finie).
2) Calculer la limite de \(\dfrac{f(x)}{x}\), souvent par croissances comparées : \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\), \(\dfrac{e^x}{x}\to+\infty\), \(\dfrac{\sqrt x}{x}\to0\).
3) Si cette limite est un réel \(a\neq0\), calculer la limite de \(f(x)-ax\). Pour une fonction rationnelle, la division euclidienne donne directement \(f(x)=ax+b+r(x)\) avec \(r(x)\to0\).
4) Conclure par une phrase précise et, pour une asymptote, étudier le signe de \(f(x)-(ax+b)\) pour connaître la position de la courbe.
Énoncé. Étudier en \(+\infty\) les branches infinies des courbes de \(x\mapsto\sqrt x\), \(x\mapsto x^2\), \(f(x)=x+\ln x\) et \(k(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\).
Solution : \(\dfrac{\sqrt x}{x}=\dfrac1{\sqrt x}\to0\) : branche parabolique de direction \((Ox)\). \(\dfrac{x^2}{x}=x\to+\infty\) : branche parabolique de direction \((Oy)\).
\(\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac{\ln x}{x}\to1\), puis \(f(x)-x=\ln x\to+\infty\) : branche parabolique de direction la droite \(y=x\) (la courbe s'écarte de cette droite, mais de plus en plus lentement par rapport à \(x\)).
\(x^2+1=(x-1)(x+1)+2\), donc \(k(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}\), et \(\dfrac2{x-1}\to0\) : la droite \(y=x+1\) est asymptote oblique en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Pour \(x\gt1\), \(k(x)-(x+1)\gt0\) : la courbe est au-dessus.
Figure — Une branche parabolique de direction y = x
La courbe de f(x) = x + ln x, en bleu, et la droite y = x, en or. Quand x augmente, la courbe garde la même direction que la droite, mais l'écart ln x continue de croître : il n'y a pas d'asymptote, c'est une branche parabolique de direction y = x.
Énoncé. Étudier les branches infinies de la courbe de \(x\mapsto e^x\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), puis celle de \(m(x)=x-2\sqrt x\) en \(+\infty\).
Solution : En \(+\infty\), \(e^x\to+\infty\) et \(\dfrac{e^x}{x}\to+\infty\) (croissance comparée) : branche parabolique de direction \((Oy)\). En \(-\infty\), \(e^x\to0\) : la droite \(y=0\) est asymptote horizontale.
\(\dfrac{m(x)}{x}=1-\dfrac2{\sqrt x}\to1\), et \(m(x)-x=-2\sqrt x\to-\infty\) : branche parabolique de direction \(y=x\), la courbe restant sous cette droite.
Conclure à une asymptote dès que \(\dfrac{f(x)}x\) a une limite finie. Il faut encore que \(f(x)-ax\) ait une limite finie : pour \(x+\ln x\), le coefficient 1 existe, mais il n'y a pas d'asymptote.
Oublier l'autre côté. L'étude en \(+\infty\) et en \(-\infty\) peut donner des résultats différents, comme pour \(e^x\).
Fonctions associées x ↦ f(x − a) + b, |f(x)|, f(|x|) ; centre et axe de symétrie d’une courbe
Rappel de PremièreConnaître la courbe d'une fonction \(f\) permet de tracer, presque sans calcul, celles de plusieurs fonctions qui lui sont associées : on déplace la courbe, on la retourne en partie, ou on en recopie une moitié. Ces transformations font aussi apparaître des éléments de symétrie (un centre, un axe) qui réduisent l'étude d'une fonction de moitié.
Le plan est muni d'un repère orthogonal \((O\,;\vec i,\vec j)\). On note \(\mathcal C_f\) la courbe de \(f\), et \(a\), \(b\) deux réels.
- \(x\mapsto f(x-a)+b\) : sa courbe est l'image de \(\mathcal C_f\) par la translation de vecteur \(a\vec i+b\vec j\). En particulier \(x\mapsto f(x-a)\) : translation horizontale de \(a\) ; \(x\mapsto f(x)+b\) : translation verticale de \(b\).
- \(x\mapsto |f(x)|\) : on garde les parties de \(\mathcal C_f\) situées au-dessus de l'axe des abscisses, et on remplace celles situées en dessous par leurs symétriques par rapport à cet axe.
- \(x\mapsto f(|x|)\) : pour \(x\ge 0\), c'est \(f(x)\) ; on garde la partie de \(\mathcal C_f\) située dans le demi-plan \(x\ge 0\), puis on la complète par sa symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cette fonction est paire.
Justification de la première règle : le point \(M(x\,;y)\) est sur la courbe de \(x\mapsto f(x-a)+b\) si et seulement si \(y-b=f(x-a)\), c'est-à-dire si le point \(M_0(x-a\,;y-b)\) est sur \(\mathcal C_f\). Or \(M\) est l'image de \(M_0\) par la translation de vecteur \(a\vec i+b\vec j\).
Soit \(f\) une fonction d'ensemble de définition \(D\).
Centre. Le point \(\Omega(a\,;b)\) est centre de symétrie de \(\mathcal C_f\) si et seulement si, pour tout réel \(x\) tel que \(a+x\in D\), on a aussi \(a-x\in D\) et
\[f(a+x)+f(a-x)=2b.\]Axe. La droite d'équation \(x=a\) est axe de symétrie de \(\mathcal C_f\) si et seulement si, pour tout réel \(x\) tel que \(a+x\in D\), on a aussi \(a-x\in D\) et
\[f(a+x)=f(a-x),\]ce qui s'écrit aussi : pour tout \(x\) de \(D\), \(2a-x\in D\) et \(f(2a-x)=f(x)\).
Changement de repère. Dans le repère \((\Omega\,;\vec i,\vec j)\), les coordonnées deviennent \(X=x-a\) et \(Y=y-b\). La courbe a pour équation \(Y=g(X)\) avec \(g(X)=f(a+X)-b\). Le point \(\Omega\) est centre de symétrie si \(g\) est impaire ; la droite \(x=a\) est axe de symétrie si \(f(a+X)\) est une fonction paire de \(X\). Ce sont les deux formules précédentes, lues autrement.
Tracer. On écrit la fonction sous la forme \(f(x-a)+b\) à partir d'une fonction de référence (carré, inverse, racine carrée). Pour un trinôme, la forme canonique \(\alpha(x-p)^2+q\) donne la translation de vecteur \(p\vec i+q\vec j\) appliquée à la courbe de \(x\mapsto\alpha x^2\). Pour une fonction homographique, on écrit \(\dfrac{\alpha x+\beta}{x-p}=q+\dfrac{k}{x-p}\).
Démontrer qu'un point \(\Omega(a\,;b)\) est centre de symétrie. On vérifie d'abord que \(D\) est symétrique par rapport à \(a\), puis on calcule \(f(a+x)+f(a-x)\) et on trouve \(2b\).
Démontrer que la droite \(x=a\) est axe de symétrie. On vérifie que \(D\) est symétrique par rapport à \(a\), puis on calcule \(f(a+x)\) et \(f(a-x)\), ou bien \(f(2a-x)\), et on compare.
Les valeurs de \(a\) et \(b\) se devinent souvent sur la courbe ou sur l'expression ; la démonstration se fait ensuite par le calcul.
Énoncé. Soit \(g(x)=x^2-4x+3\). Écrire \(g(x)\) sous forme canonique, en déduire la construction de sa courbe à partir de la parabole d'équation \(y=x^2\), puis démontrer que la droite d'équation \(x=2\) est un axe de symétrie.
Solution : \(x^2-4x+3=(x-2)^2-4+3=(x-2)^2-1\). Donc \(g(x)=f(x-2)-1\) avec \(f(x)=x^2\) : la courbe de \(g\) est l'image de la parabole \(y=x^2\) par la translation de vecteur \(2\vec i-\vec j\). Son sommet est le point \(S(2\,;-1)\), image de \(O\).
L'ensemble de définition est \(\mathbb R\), symétrique par rapport à 2. Pour tout réel \(x\) : \(g(2+x)=x^2-1\) et \(g(2-x)=(-x)^2-1=x^2-1\). Donc \(g(2+x)=g(2-x)\) : la droite \(x=2\) est axe de symétrie. Contrôle : \(g(1)=g(3)=0\) et \(g(0)=g(4)=3\).
Énoncé. Soit \(h(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). Écrire \(h(x)\) sous la forme \(q+\dfrac{k}{x-1}\), en déduire la construction de sa courbe, puis démontrer que \(\Omega(1\,;2)\) est centre de symétrie.
Solution : \(2x+1=2(x-1)+3\), donc \(h(x)=2+\dfrac{3}{x-1}\). Avec \(u(x)=\dfrac3x\), on a \(h(x)=u(x-1)+2\) : la courbe de \(h\) est l'image de l'hyperbole \(y=\dfrac3x\) par la translation de vecteur \(\vec i+2\vec j\). Ses asymptotes sont les droites \(x=1\) et \(y=2\).
L'ensemble \(\mathbb R\setminus\{1\}\) est symétrique par rapport à 1 : si \(1+x\neq 1\), alors \(1-x\neq 1\). Pour \(x\neq 0\) :
\[h(1+x)+h(1-x)=2+\frac3x+2+\frac{3}{-x}=4=2\times 2.\]Donc \(\Omega(1\,;2)\) est centre de symétrie. Contrôle : \(h(2)=5\) et \(h(0)=-1\), et \(5+(-1)=4\).
Figure — L'hyperbole de h et son centre de symétrie
La courbe de la fonction h de l'exemple 2, en bleu, et ses asymptotes, les droites d'équations x = 1 et y = 2, en pointillés. Le point Ω(1 ; 2), en or, est le milieu du segment qui joint les points de la courbe d'abscisses 0 et 2, et aussi de celui qui joint les points d'abscisses −2 et 4.
Énoncé. Soit \(f(x)=x^2-2x-3\). Étudier le signe de \(f(x)\), puis expliquer comment tracer les courbes de \(x\mapsto|f(x)|\) et de \(x\mapsto f(|x|)\). Calculer \(|f(1)|\), \(f(|-2|)\) et résoudre \(f(|x|)=0\).
Solution : \(f(x)=(x-1)^2-4=(x+1)(x-3)\). Le trinôme est négatif entre ses racines \(-1\) et 3, positif ailleurs.
Courbe de \(|f|\) : on garde la parabole pour \(x\le -1\) et pour \(x\ge 3\), et on remplace l'arc situé sous l'axe des abscisses, pour \(-1\lt x\lt 3\), par son symétrique par rapport à cet axe. Le sommet \((1\,;-4)\) devient le point \((1\,;4)\) : \(|f(1)|=4\).
Courbe de \(x\mapsto f(|x|)\) : pour \(x\ge 0\), c'est la parabole ; pour \(x\lt 0\), on prend la symétrique de cette moitié par rapport à l'axe des ordonnées. Ainsi \(f(|-2|)=f(2)=-3\). L'équation \(f(|x|)=0\) équivaut à \(|x|=-1\) ou \(|x|=3\) ; la première est impossible, donc les solutions sont \(-3\) et 3 (et non \(-1\)).
Figure — Courbes de f et de |f|
En bleu, la parabole de f(x) = x² − 2x − 3. En or, la courbe de |f| : elle coïncide avec la parabole hors de l'intervalle de −1 à 3 ; entre −1 et 3, l'arc situé sous l'axe des abscisses, en pointillés, est remplacé par son symétrique par rapport à cet axe, de sommet (1 ; 4).
Se tromper de sens. La courbe de \(x\mapsto f(x-2)\) est celle de \(f\) décalée de 2 vers la droite (et non vers la gauche) : la valeur que \(f\) prend en 0 est prise par \(x\mapsto f(x-2)\) en 2.
Confondre \(|f(x)|\) et \(f(|x|)\). La première retourne ce qui est sous l'axe des abscisses ; la seconde recopie la moitié droite par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Dans l'exemple 3, \(|f(1)|=4\) mais \(f(|1|)=-4\).
Écrire \(f(a+x)+f(a-x)=b\). Le milieu des points d'ordonnées \(f(a+x)\) et \(f(a-x)\) a pour ordonnée la moitié de leur somme : c'est cette moitié qui vaut \(b\), donc la somme vaut \(2b\).
Oublier l'ensemble de définition. Avant tout calcul, il faut vérifier que \(D\) est symétrique par rapport à \(a\) : sinon il n'y a ni centre ni axe d'abscisse \(a\), même si la formule semble marcher sur quelques valeurs.
Taux d’accroissement d’une fonction affine ; fonctions affines par morceaux et valeur absolue
Rappel de SecondeUne fonction affine augmente toujours « au même rythme » : c'est ce que mesure son taux d'accroissement. Beaucoup de tarifs (eau, électricité, taxis) changent de rythme à partir d'un seuil : on les décrit par des fonctions affines par morceaux. Les fonctions avec des valeurs absolues en sont un cas particulier très fréquent.
Une fonction affine s'écrit \(f(x)=ax+b\). Pour deux réels distincts \(u\) et \(v\), son taux d'accroissement entre \(u\) et \(v\) est
\[\frac{f(v)-f(u)}{v-u}=\frac{(av+b)-(au+b)}{v-u}=a.\]Il est le même pour tous \(u\) et \(v\) : les accroissements de \(f(x)\) sont proportionnels aux accroissements de \(x\), de coefficient \(a\) (le coefficient directeur de la droite représentative). Réciproquement, une fonction dont le taux d'accroissement est constant est affine.
Déterminer \(f\). Avec deux nombres et leurs images, on calcule \(a\) comme taux, puis \(b\) avec l'une des images. Avec le taux \(a\), un nombre \(x_0\) et son image \(y_0\) : \(f(x)=a(x-x_0)+y_0\).
Une fonction est affine par morceaux si l'on peut découper son ensemble de définition en intervalles sur chacun desquels elle est affine. Sa courbe est formée de segments ou de demi-droites, raccordés ou non.
Valeur absolue. \(|X|=X\) si \(X\ge0\) et \(|X|=-X\) si \(X\lt0\). Pour écrire \(|ax+b|\) sans valeur absolue, on cherche le signe de \(ax+b\) de part et d'autre de \(-\dfrac ba\). Par exemple \(|2x-4|=-2x+4\) si \(x\lt2\) et \(|2x-4|=2x-4\) si \(x\ge2\).
La courbe de \(x\mapsto|f(x)|\) s'obtient à partir de celle de \(f\) en remplaçant les parties situées sous l'axe des abscisses par leurs symétriques par rapport à cet axe.
1) Chercher les valeurs qui annulent chaque expression entre barres ; elles découpent \(\mathbb R\) en intervalles.
2) Faire un tableau de signes de chaque expression ; sur chaque intervalle, remplacer \(|X|\) par \(X\) ou \(-X\) et simplifier.
3) Tracer chaque morceau sur son intervalle ; vérifier que les valeurs coïncident aux points de raccordement (la fonction est alors continue).
Énoncé. a) Déterminer la fonction affine \(f\) telle que \(f(2)=7\) et \(f(5)=16\). b) Un taxi demande 500 F de prise en charge puis 150 F par kilomètre. Exprimer le prix \(P(d)\) d'une course de \(d\) km ; quel est le prix pour 8 km ? Quelle distance pour 2 600 F ?
Solution : a) \(a=\dfrac{16-7}{5-2}=3\), puis \(7=3\times2+b\) donne \(b=1\) : \(f(x)=3x+1\). Contrôle : \(f(5)=16\).
b) \(P(d)=150d+500\), fonction affine de taux 150 (le prix augmente de 150 F par kilomètre). \(P(8)=1\,700\) F. Si \(P(d)=2\,600\), alors \(150d=2\,100\) et \(d=14\) km.
Énoncé. Écrire \(g(x)=|x+1|-|x-2|\) sans valeur absolue, puis tracer sa courbe. Résoudre \(g(x)=0\).
Solution : Les valeurs \(-1\) et 2 découpent \(\mathbb R\). Pour \(x\lt-1\) : \(g(x)=-(x+1)+(x-2)=-3\). Pour \(-1\le x\lt2\) : \(g(x)=(x+1)+(x-2)=2x-1\). Pour \(x\ge2\) : \(g(x)=(x+1)-(x-2)=3\).
La courbe est formée d'une demi-droite horizontale \(y=-3\), d'un segment de \((-1\,;-3)\) à \((2\,;3)\), puis d'une demi-droite \(y=3\). L'équation \(g(x)=0\) n'a de solution que sur le morceau du milieu : \(2x-1=0\), soit \(x=\dfrac12\).
Figure — Une fonction affine par morceaux
La courbe de g(x) = |x + 1| − |x − 2|, en bleu : constante égale à −3 avant −1, affine de coefficient 2 entre −1 et 2, constante égale à 3 après 2. Les morceaux se raccordent aux points (−1 ; −3) et (2 ; 3) ; la courbe coupe l'axe des abscisses en x = 1/2.
Énoncé. Une facture d'eau compte 200 F le mètre cube jusqu'à 20 m³, puis 350 F le mètre cube au-delà. Exprimer le montant \(M(q)\) pour \(q\) mètres cubes ; calculer \(M(15)\) et \(M(26)\).
Solution : Pour \(0\le q\le20\) : \(M(q)=200q\). Pour \(q\gt20\) : les 20 premiers mètres cubes coûtent \(4\,000\) F, d'où \(M(q)=4\,000+350(q-20)\). La fonction est affine par morceaux ; les deux expressions donnent \(4\,000\) en \(q=20\) : la courbe ne fait pas de saut.
\(M(15)=3\,000\) F et \(M(26)=4\,000+350\times6=6\,100\) F.
Enlever les barres sans regarder le signe. \(|x-2|\) ne vaut pas \(x-2\) pour tout \(x\) : pour \(x=0\), \(|0-2|=2\), alors que \(0-2=-2\).
Appliquer le mauvais tarif à tout le volume. Dans l'exemple 3, seuls les mètres cubes au-delà de 20 sont facturés 350 F ; \(26\times350=9\,100\) F serait faux.
Résolution graphique d’équations et d’inéquations ; discussion de f(x) = m
Rappel de PremièreUne courbe bien tracée permet de « voir » les solutions d'une équation ou d'une inéquation, et surtout de compter combien il y en a. On lit sur le graphique, puis on confirme par le calcul quand c'est possible. Pour une équation qui dépend d'un nombre \(m\), le graphique répond d'un coup pour toutes les valeurs de \(m\).
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un ensemble \(D\), de courbes \(\mathcal C_f\) et \(\mathcal C_g\) dans un même repère.
- Les solutions de l'équation \(f(x)=g(x)\) sont les abscisses des points d'intersection de \(\mathcal C_f\) et \(\mathcal C_g\).
- Les solutions de l'inéquation \(f(x)\gt g(x)\) sont les abscisses des points de \(\mathcal C_f\) situés strictement au-dessus de \(\mathcal C_g\).
- Pour un réel \(m\), les solutions de \(f(x)=m\) sont les abscisses des points d'intersection de \(\mathcal C_f\) avec la droite horizontale d'équation \(y=m\). Leur nombre est le nombre de points d'intersection.
Une lecture graphique donne des valeurs approchées et un nombre de solutions ; les valeurs exactes se confirment par le calcul (on remplace dans l'équation) ou se déterminent par une résolution algébrique.
1) On écrit l'équation sous la forme \(f(x)=m\), où \(f\) ne dépend pas de \(m\).
2) On étudie \(f\) : ensemble de définition, limites aux bornes, tableau de variations avec les valeurs des extremums.
3) On fait « glisser » la droite \(y=m\) de bas en haut. Les valeurs de \(m\) où le nombre de points d'intersection change sont les extremums et les limites aux bornes ; on dresse un tableau : selon \(m\), nombre de solutions et intervalles où elles se trouvent.
4) Pour une inéquation \(f(x)\gt g(x)\), on cherche d'abord les points d'intersection, puis on regarde, sur chaque intervalle qu'ils délimitent, quelle courbe est au-dessus de l'autre.
Énoncé. Soient \(f(x)=x^2-2x\) et \(g(x)=x+4\). Résoudre graphiquement puis par le calcul \(f(x)=g(x)\) et \(f(x)\gt g(x)\).
Solution : Sur le graphique, la droite coupe la parabole en deux points, d'abscisses voisines de \(-1\) et de 4. Calcul : \(f(x)=g(x)\) équivaut à \(x^2-3x-4=0\), soit \((x+1)(x-4)=0\). Les solutions sont \(-1\) et 4 ; les points d'intersection sont \((-1\,;3)\) et \((4\,;8)\).
La parabole est au-dessus de la droite à gauche de \(-1\) et à droite de 4 : \(f(x)\gt g(x)\) a pour ensemble de solutions \(]-\infty\,;-1[\cup]4\,;+\infty[\). Le calcul le confirme : \(x^2-3x-4\) est du signe de son coefficient 1 à l'extérieur de ses racines.
Énoncé. Selon le réel \(m\), combien l'équation \(x^3-3x=m\) a-t-elle de solutions réelles ?
Solution : Soit \(f(x)=x^3-3x\) sur \(\mathbb R\). On a \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\) : \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;-1]\), décroissante sur \([-1\,;1]\), croissante sur \([1\,;+\infty[\). Maximum local \(f(-1)=2\), minimum local \(f(1)=-2\) ; limites \(-\infty\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\).
On fait glisser la droite \(y=m\) :
- si \(m\lt -2\) ou \(m\gt 2\) : une solution ;
- si \(m=2\) ou \(m=-2\) : deux solutions (la droite est tangente à la courbe en un sommet) ; par exemple \(x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2)\), solutions \(-1\) et 2 ;
- si \(-2\lt m\lt 2\) : trois solutions, une dans chacun des intervalles \(]-2\,;-1[\), \(]-1\,;1[\), \(]1\,;2[\). Pour \(m=0\) : \(-\sqrt3\), 0 et \(\sqrt3\).
Figure — La droite y = m qui glisse
La courbe de f(x) = x³ − 3x, en bleu, avec ses sommets (−1 ; 2) et (1 ; −2). La droite y = 1, en or, la coupe en trois points ; la droite y = 3, en pointillés, en un seul point ; la droite y = 2, en gris, passe par le sommet (−1 ; 2) et recoupe la courbe au point d'abscisse 2.
Énoncé. Résoudre sur \([0\,;+\infty[\) l'inéquation \(\sqrt x\gt x-2\) à l'aide des courbes de \(x\mapsto\sqrt x\) et de \(x\mapsto x-2\).
Solution : Les deux courbes se coupent en un seul point, d'abscisse voisine de 4. Vérification : \(\sqrt4=2=4-2\). Le calcul le confirme : pour \(x\ge 2\), \(\sqrt x=x-2\) équivaut à \(x=(x-2)^2\), soit \(x^2-5x+4=0\), de solutions 1 et 4 ; seule 4 vérifie \(x\ge 2\) (pour \(x=1\), \(\sqrt1=1\) alors que \(1-2=-1\)).
À gauche de 4, la courbe de la racine carrée est au-dessus de la droite ; à droite de 4, en dessous. L'ensemble des solutions est donc \([0\,;4[\). En particulier, tout \(x\) de \([0\,;2[\) convient sans calcul : \(\sqrt x\ge 0\gt x-2\).
Se contenter d'une lecture. Le graphique donne des valeurs approchées : une solution lue « vers 4 » n'est exacte qu'après vérification par le calcul. Inversement, une solution trouvée par le calcul après élévation au carré doit être vérifiée, comme \(x=1\) dans l'exemple 3.
Oublier les valeurs particulières de \(m\). Aux valeurs des extremums (ici \(m=2\) et \(m=-2\)), le nombre de solutions change : ces cas se traitent à part, avec leurs solutions.
Confondre inégalité stricte et large. Pour \(f(x)\gt g(x)\), les abscisses des points d'intersection sont exclues ; pour \(f(x)\ge g(x)\), elles sont incluses. Il faut aussi tenir compte de l'ensemble de définition.
Résumé
\(ax+b\geq 0\) : \([x_0\,;+\infty[\) si \(a\gt 0\), \(]-\infty\,;x_0]\) si \(a\lt 0\), avec \(x_0=-\dfrac ba\).
Croissante si \(a\gt 0\), décroissante si \(a\lt 0\) ; \(f(x_0)=0\) et la limite à l'infini est \(+\infty\).
\(f'(x)=\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}\) pour \(ax+b\gt 0\) ; pas de dérivée en \(x_0\).
Demi-parabole couchée partant de \((x_0\,;0)\) avec une demi-tangente verticale.
Avant d'élever au carré, on exige que le second membre soit positif.
Branche parabolique de direction \((Oy)\) ou \((Ox)\).
Si \(f(x)-ax\to b\) : asymptote \(y=ax+b\). Si \(f(x)-ax\to\pm\infty\) : branche parabolique de direction \(y=ax\).
Croissances comparées, division euclidienne pour les fonctions rationnelles.
La courbe de \(x\mapsto f(x-a)+b\) est l'image de celle de \(f\) par la translation de vecteur \(a\vec i+b\vec j\).
\(|f(x)|\) : on retourne ce qui est sous l'axe des abscisses. \(f(|x|)\) : on recopie la partie \(x\ge 0\) par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
\(\Omega(a\,;b)\) est centre de symétrie si \(D\) est symétrique par rapport à \(a\) et \(f(a+x)+f(a-x)=2b\).
La droite \(x=a\) est axe de symétrie si \(D\) est symétrique par rapport à \(a\) et \(f(a+x)=f(a-x)\), soit \(f(2a-x)=f(x)\).
Pour \(f(x)=ax+b\), le taux d'accroissement vaut toujours \(a\).
\(a=\dfrac{f(v)-f(u)}{v-u}\), puis \(b\) avec une image ; ou \(f(x)=a(x-x_0)+y_0\).
Tableau de signes, puis une expression affine sur chaque intervalle.
Solutions de \(f(x)=g(x)\) : abscisses des points d'intersection des deux courbes.
Solutions de \(f(x)\gt g(x)\) : abscisses des points de \(\mathcal C_f\) situés au-dessus de \(\mathcal C_g\).
Pour \(f(x)=m\), on fait glisser la droite \(y=m\) ; le nombre de solutions change aux extremums et aux limites.
Domaine toujours \(\mathbb{R}\). Dériver terme à terme, factoriser \(f'\), dresser le tableau de signes. Le coefficient dominant détermine le comportement en \(\pm\infty\).
Dénominateur nul, numérateur non nul. Analyser les signes à gauche et à droite pour savoir si \(f \to +\infty\) ou \(-\infty\).
Diviser par la plus haute puissance. Si \(\deg P = \deg Q\) : limite = rapport des coefficients dominants. Si \(\deg P < \deg Q\) : limite = 0.
Division euclidienne de \(P\) par \(Q\) quand \(\deg P = \deg Q + 1\). Écrire \(f(x) = mx + p + \frac{r(x)}{Q(x)}\).
\(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\). Si le résultat est \(\dfrac{k}{v^2}\) avec \(k\) constant, le signe de \(f'\) est celui de \(k\).
Si \(f'(x_0) = 0\) mais \(f'\) ne change pas de signe, c'est un point d'inflexion. Toujours vérifier le changement de signe avant de conclure.
Sujet type Bac
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) par \[f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}.\]
Question 1 — Domaine et simplification éventuelle.
Le seul réel interdit est \(x = 2\) (racine du dénominateur). Factorisons le numérateur : \(x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)\). On obtient donc \[f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x + 1 \quad \text{pour } x \neq 2.\] La valeur \(x = 2\) est exclue du domaine, mais la courbe est en réalité la droite \(y = x + 1\) avec un trou en \((2\,;\,3)\). Il n'y a ni asymptote verticale, ni asymptote oblique proprement dite.
Question 2 — Dérivée et variations.
Sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\), \(f(x) = x + 1\) donc \(f'(x) = 1 > 0\) partout sur le domaine. La fonction est strictement croissante sur \(]-\infty\,;2[\) et sur \(]2\,;+\infty[\).
Question 3 — Étude de \(g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Le numérateur \(x^2 + 1 \geq 1 > 0\) ne s'annule jamais, donc il n'y a pas de simplification.
Division euclidienne : \(x^2 + 1 = (x-1)(x+1) + 2\), donc \(g(x) = x + 1 + \dfrac{2}{x-1}\).
Asymptote verticale \(x = 1\) et asymptote oblique \(y = x + 1\).
Dérivée :
\[ g'(x) = 1 - \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 2}{(x-1)^2}. \]\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 = 2 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}\). Soit \(x_1 = 1 - \sqrt{2} \approx -0{,}41\) et \(x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}41\).
Question 4 — Tableau de variations de \(g\).
Le dénominateur \((x-1)^2 > 0\) toujours, le signe de \(g'\) est celui de \((x-1)^2 - 2\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | || | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(g\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(x_1+1+\frac{2}{x_1-1}\) | \(\searrow\) | || | \(\searrow\) | \(x_2+1+\frac{2}{x_2-1}\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
Valeur au maximum local : \(g(x_1) = (1-\sqrt{2})+1+\dfrac{2}{-\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} \approx -0{,}83\). Valeur au minimum local : \(g(x_2) = 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} \approx 4{,}83\).
Question 5 — Position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique.
On a \(g(x) - (x+1) = \dfrac{2}{x-1}\). Ce reste est positif quand \(x > 1\) (la courbe est au-dessus de l'asymptote) et négatif quand \(x < 1\) (la courbe est en-dessous). La courbe ne coupe donc jamais son asymptote oblique, mais est de part et d'autre selon la branche considérée.