Terminale L · Leçon 8
Fonction logarithme népérien
Ce que dit le programme officiel (4 points)
- Définition (dérivée 1/x, nulle en 1) ; propriété ln(ab) = ln a + ln b ; représentation graphique
- Équations, inéquations, systèmes avec ln ; domaine de validité des transformations
- Étude de fonctions faisant intervenir ln : ln x, x/ln x, ln x/x, x ln x, ln x², (ln x)², x² ln x, ln|x|, |ln x|, ln(ax² + bx + c), ln((ax + b)/(cx + d))
- Logarithme décimal log x = ln x / ln 10
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Fonction logarithme népérien : définition, propriétés algébriques
Il existe une unique fonction dérivable sur \(]0\,;+\infty[\), notée \(\ln\) (logarithme népérien), vérifiant :
\[ \ln(1) = 0 \qquad\text{et}\qquad (\ln x)' = \frac{1}{x} \quad\text{pour tout } x > 0. \]Ce sont les deux caractéristiques qui définissent \(\ln\) de façon unique. Toutes les autres propriétés en découlent.
Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\) :
\[ \ln(ab) = \ln a + \ln b. \]On en déduit immédiatement, pour \(a, b > 0\) et \(n \in \mathbb{Z}\) :
\[ \ln\!\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a \qquad \ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^{n}) = n\ln a. \]Puisque \((\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0\) pour tout \(x > 0\), la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\).
\[ \lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty. \]Valeurs remarquables : \(\ln 1 = 0\) et, par définition du nombre \(e\), \(\ln e = 1\) (avec \(e \approx 2{,}718\)).
| \(x\) | \(0^+\) | \(\frac{1}{e}\) | \(1\) | \(e\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
| variation | ↗ strictement croissante | ||||
Pour simplifier \(\ln A\) avec \(A > 0\), on factorise \(A\) en produit, quotient ou puissance, puis on applique les règles algébriques.
- Factoriser l'expression sous le \(\ln\).
- Développer avec \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\).
- Simplifier les termes restants.
Calculer \(\ln\!\left(\dfrac{e^{3}}{\sqrt{e}}\right)\).
\(\ln\!\left(\dfrac{e^{3}}{\sqrt{e}}\right) = \ln(e^3) - \ln(e^{1/2}) = 3\ln e - \tfrac{1}{2}\ln e = 3 - \tfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\).
Résoudre \(\ln(2x - 1) = \ln 3\) (sur \(]1/2\,;+\infty[\)).
\(\ln\) étant strictement croissante, l'équation \(\ln A = \ln B\) est équivalente à \(A = B\). Donc \(2x - 1 = 3\), soit \(x = 2\). On vérifie : \(2 \cdot 2 - 1 = 3 > 0\). Solution : \(\{2\}\).
Résoudre \(\ln x \leq \ln(3x - 2)\) sur leur domaine commun.
Domaine : \(x > 0\) et \(3x - 2 > 0\), donc \(x > 2/3\). Comme \(\ln\) est croissante, l'inéquation équivaut à \(x \leq 3x - 2\), soit \(2 \leq 2x\), soit \(x \geq 1\). En intersectant avec le domaine : \(x \geq 1\). Solution : \([1\,;+\infty[\).
On ne peut écrire \(\ln A\) que si \(A\) est strictement positif. Avant tout calcul, il faut donc préciser le domaine en imposant \(A > 0\). Oublier cette condition entraîne une pénalité systématique au Bac.
Pour comparer deux réels strictement positifs \(a\) et \(b\), on peut étudier le signe de \(\ln a - \ln b = \ln(a/b)\) : il est positif si et seulement si \(a/b > 1\), c'est-à-dire \(a > b\). La croissance de \(\ln\) transforme une comparaison de réels en une comparaison de logarithmes.
Figure 1 — Courbe de y = ln x (déplacer le curseur pour lire les valeurs)
tangente en \(a\)
Équations et inéquations avec ln
Le logarithme népérien est strictement croissant sur \(]0\,;+\infty[\), donc bijectif sur cet intervalle : \[\ln u = \ln v \iff u = v \quad (\text{avec } u > 0 \text{ et } v > 0).\] Contrairement à l'exponentielle qui est définie sur tout \(\mathbb{R}\), le logarithme exige que ses arguments soient strictement positifs. Cette vérification du domaine est une étape obligatoire, jamais optionnelle.
Résoudre \(\ln(x+2) = \ln(3x-4)\).
Domaine : il faut \(x + 2 > 0\) et \(3x - 4 > 0\), soit \(x > -2\) et \(x > \tfrac{4}{3}\), donc \(x > \tfrac{4}{3}\).
Sur ce domaine, par injectivité de \(\ln\) : \[x + 2 = 3x - 4 \iff 6 = 2x \iff x = 3.\] Comme \(3 > \tfrac{4}{3}\), la solution est valide : \(\mathbb{S} = \{3\}\).
Résoudre \(\ln x + \ln(x+3) = \ln 10\).
Domaine : \(x > 0\) (la condition \(x+3>0\) est alors automatiquement satisfaite).
On applique \(\ln a + \ln b = \ln(ab)\) : \[\ln\!\big(x(x+3)\big) = \ln 10 \iff x(x+3) = 10.\] \[x^2 + 3x - 10 = 0.\] Discriminant : \(\Delta = 9 + 40 = 49\), \(\sqrt{\Delta} = 7\). \[x = \frac{-3 \pm 7}{2} \Rightarrow x = 2 \text{ ou } x = -5.\] Seul \(x = 2 > 0\) est dans le domaine. \(\mathbb{S} = \{2\}\).
Résoudre \(\ln(2x-1) = 2\).
Domaine : \(2x - 1 > 0\), soit \(x > \tfrac{1}{2}\).
On applique \(e^{\ln(\cdot)} = (\cdot)\) : \[\ln(2x-1) = 2 \iff 2x - 1 = e^2 \iff x = \frac{e^2 + 1}{2}.\] Comme \(\tfrac{e^2+1}{2} \approx 4{,}19 > \tfrac{1}{2}\), la solution est valide : \(\mathbb{S} = \!\left\{\dfrac{e^2+1}{2}\right\}\).
Une solution algébriquement correcte peut ne pas appartenir au domaine de définition (argument du logarithme négatif ou nul). Dans l'exemple 2, \(x = -5\) satisfait l'équation algébrique mais rend \(\ln x\) inexistant : elle doit être rejetée. Cette vérification finale est toujours exigée au Bac.
Figure 2 — Intersection de \(y = \ln x + \ln(x+3)\) et \(y = \ln 10\)
Parce que \(\exp\) et \(\ln\) sont toutes deux strictement croissantes, elles conservent le sens des inégalités :
\[u < v \iff e^u < e^v \qquad (u, v \in \mathbb{R})\] \[u < v \iff \ln u < \ln v \qquad (u, v > 0)\]Une fonction strictement décroissante aurait inversé le sens : c'est la raison pour laquelle il faut vérifier le sens de variation avant de passer une inégalité « sous l'exponentielle » ou « sous le logarithme ».
Résoudre \(e^x \leq 5\).
L'exponentielle est croissante, donc on peut prendre le logarithme des deux membres en conservant le sens : \[e^x \leq 5 \iff x \leq \ln 5.\] \(\mathbb{S} = ]-\infty\,;\,\ln 5]\).
Résoudre \(\ln(2x-1) > 0\).
Domaine : \(2x - 1 > 0\), soit \(x > \tfrac{1}{2}\).
On remarque que \(\ln 1 = 0\), et \(\ln\) est croissante, donc : \[\ln(2x-1) > 0 \iff 2x - 1 > 1 \iff x > 1.\] En croisant avec le domaine \(x > \tfrac{1}{2}\), on obtient : \(\mathbb{S} = ]1\,;+\infty[\).
Résoudre \(e^{2x} > 3e^x\).
On écrit \(e^{2x} - 3e^x > 0\), puis on factorise par \(e^x > 0\) : \[e^x(e^x - 3) > 0.\] Puisque \(e^x > 0\) toujours, l'inégalité est équivalente à \(e^x - 3 > 0\), soit \(e^x > 3\), soit \(x > \ln 3\). \(\mathbb{S} = ]\ln 3\,;+\infty[\).
Quand une inéquation contient \(e^{2x}\) et \(e^x\), il est souvent plus rapide de factoriser par \(e^x\) (toujours positif) que de poser \(t = e^x\) : on économise le changement de variable tout en traitant le signe correctement.
Figure 3 — Résolution graphique d'inéquations exponentielles
Logarithme décimal
Les nombres que l'on rencontre en sciences vont du milliardième au milliard : pour les comparer, on compte leurs puissances de dix. C'est le rôle du logarithme décimal, noté \(\log\). Il sert à mesurer l'acidité d'une solution, l'intensité d'un son ou la force d'un séisme, et il possède les mêmes règles de calcul que le logarithme népérien.
La fonction exponentielle de base 10, \(x\mapsto 10^x\), est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et prend une fois et une seule chaque valeur strictement positive. Pour tout réel \(x\gt 0\), il existe donc un unique réel \(y\) tel que \(10^y=x\).
Ce réel \(y\) est le logarithme décimal de \(x\), noté \(\log x\) :
\[y=\log x \iff 10^y=x \qquad (x\gt 0).\]La fonction \(\log\) est la réciproque de la fonction \(x\mapsto 10^x\) : pour tout réel \(y\), \(\log(10^y)=y\), et pour tout \(x\gt 0\), \(10^{\log x}=x\).
Valeurs à connaître. \(\log 1=0\), \(\log 10=1\), \(\log 100=2\), \(\log 1000=3\), \(\log 0{,}1=-1\), \(\log 0{,}01=-2\). Plus généralement, pour tout entier relatif \(n\), \(\log(10^n)=n\) : le logarithme décimal d'une puissance de dix est son exposant.
Lien avec le logarithme népérien. Comme \(10^y=e^{y\ln 10}\), l'égalité \(10^y=x\) s'écrit \(y\ln 10=\ln x\). Donc, pour tout \(x\gt 0\),
\[\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}, \qquad \ln 10\approx 2{,}303.\]Pour tous réels \(a\gt 0\) et \(b\gt 0\), et pour tout entier relatif \(n\) :
- \(\log(ab)=\log a+\log b\) ;
- \(\log\left(\dfrac1b\right)=-\log b\) et \(\log\left(\dfrac ab\right)=\log a-\log b\) ;
- \(\log(a^n)=n\log a\) ;
- \(\log\sqrt a=\dfrac12\log a\).
Justification. Ces égalités sont celles du logarithme népérien, divisées par le nombre \(\ln 10\). Par exemple, \(\log(ab)=\dfrac{\ln(ab)}{\ln 10}=\dfrac{\ln a+\ln b}{\ln 10}=\log a+\log b\).
Conséquence utile. Multiplier un nombre par 10 ajoute 1 à son logarithme décimal : \(\log(10a)=1+\log a\). Le diviser par 10 lui retire 1.
Énoncé. a) Calculer \(\log 2+\log 5\), \(\log 200-\log 2\) et \(\log 0{,}001\). b) On donne \(\log 2\approx 0{,}301\). En déduire des valeurs approchées de \(\log 8\), \(\log 5\), \(\log 0{,}5\) et \(\log 200\).
Solution : a) \(\log 2+\log 5=\log(2\times 5)=\log 10=1\). Puis \(\log 200-\log 2=\log\dfrac{200}{2}=\log 100=2\). Enfin \(0{,}001=10^{-3}\), donc \(\log 0{,}001=-3\).
b) \(\log 8=\log(2^3)=3\log 2\approx 0{,}903\). Comme \(5=\dfrac{10}{2}\), \(\log 5=\log 10-\log 2=1-\log 2\approx 0{,}699\). Ensuite \(\log 0{,}5=\log\dfrac12=-\log 2\approx -0{,}301\). Enfin \(\log 200=\log(100\times 2)=2+\log 2\approx 2{,}301\).
On remarque que 200 est compris entre \(10^2\) et \(10^3\), et que son logarithme décimal est bien compris entre 2 et 3.
La fonction \(\log\) est définie sur \(]0\,;+\infty[\) et \(\log x=\dfrac{1}{\ln 10}\times\ln x\), avec \(\dfrac{1}{\ln 10}\approx 0{,}434\). Elle a donc les mêmes propriétés que \(\ln\), à ce facteur positif près.
- Dérivée. \(\log\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et \(\log'(x)=\dfrac{1}{x\ln 10}\).
- Variations. Cette dérivée est strictement positive : \(\log\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\). Donc, pour \(a\gt 0\) et \(b\gt 0\) : \(\log a=\log b\iff a=b\), et \(\log a\lt\log b\iff a\lt b\).
- Signe. \(\log x\lt 0\) si \(0\lt x\lt 1\), \(\log 1=0\), et \(\log x\gt 0\) si \(x\gt 1\).
- Limites. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\log x=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\log x=+\infty\). L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe.
Courbe. Elle passe par les points \((0{,}1\,;-1)\), \((1\,;0)\) et \((10\,;1)\). Sa tangente au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur \(\dfrac{1}{\ln 10}\approx 0{,}434\). Dans un repère orthonormé, elle est la symétrique de la courbe de \(x\mapsto 10^x\) par rapport à la droite d'équation \(y=x\).
Figure — Les courbes de log et de ln
En marine, la courbe de \(\log\) ; en gris, celle de \(\ln\). Les deux passent par le point \((1\,;0)\) et montent lentement, mais \(\log x\) vaut toujours \(0{,}434\) fois \(\ln x\) : la courbe de \(\log\) est plus proche de l'axe des abscisses. Le point doré \((10\,;1)\) rappelle que \(\log 10=1\).
1. Écrire la condition d'existence. Tout ce qui se trouve sous un logarithme doit être strictement positif.
2. Se ramener à l'une des deux formes simples.
- \(\log x=k\) équivaut à \(x=10^k\) ;
- \(10^x=k\) (avec \(k\gt 0\)) équivaut à \(x=\log k\) ;
- \(\log A=\log B\) équivaut à \(A=B\), et \(\log A\lt\log B\) équivaut à \(A\lt B\), car \(\log\) est strictement croissante.
3. Utiliser les propriétés algébriques pour regrouper plusieurs logarithmes en un seul : une somme devient le logarithme d'un produit.
4. Conclure en ne gardant que les solutions qui vérifient la condition du point 1.
Énoncé. Résoudre : a) \(\log x=2{,}5\) ; b) \(10^x=50\) (on donne \(\log 5\approx 0{,}699\)) ; c) \(\log x+\log(x-3)=1\) ; d) \(\log x\lt 2\).
Solution : a) \(x=10^{2{,}5}\approx 316{,}2\).
b) \(x=\log 50=\log(10\times 5)=1+\log 5\approx 1{,}699\).
c) Il faut \(x\gt 0\) et \(x-3\gt 0\), donc \(x\gt 3\). L'équation s'écrit alors \(\log\big(x(x-3)\big)=\log 10\), soit \(x^2-3x-10=0\). Le discriminant vaut \(9+40=49\) ; les racines sont \(5\) et \(-2\). Seule \(5\) est supérieure à 3 : la solution est \(x=5\). Vérification : \(\log 5+\log 2=\log 10=1\).
d) Il faut \(x\gt 0\). Comme \(2=\log 100\) et que \(\log\) est strictement croissante, \(\log x\lt\log 100\) équivaut à \(x\lt 100\). L'ensemble des solutions est \(]0\,;100[\).
Énoncé. a) Combien de chiffres l'écriture décimale de \(2^{50}\) comporte-t-elle ? (On donne \(\log 2\approx 0{,}30103\).) b) Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de 5 %. Au bout de combien d'années aura-t-il doublé ?
Solution : a) \(\log(2^{50})=50\log 2\approx 15{,}05\). Donc \(2^{50}=10^{15{,}05}\) est compris entre \(10^{15}\) et \(10^{16}\). Or \(10^{15}\) est le plus petit entier de 16 chiffres : \(2^{50}\) s'écrit avec 16 chiffres.
b) Après \(n\) années, le capital est multiplié par \(1{,}05^n\). On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(1{,}05^n\geq 2\). En prenant le logarithme décimal des deux membres (fonction croissante) : \(n\log 1{,}05\geq\log 2\). Comme \(\log 1{,}05\approx 0{,}0212\) est positif, \(n\geq\dfrac{\log 2}{\log 1{,}05}\approx 14{,}2\). Le capital a doublé au bout de 15 ans.
Le logarithme d'une somme. Il n'existe aucune formule pour \(\log(a+b)\). Par exemple \(\log(2+8)=\log 10=1\), alors que \(\log 2+\log 8\approx 1{,}204\). C'est le produit qui devient une somme.
La touche de la calculatrice. La touche « log » donne le logarithme décimal, la touche « ln » le logarithme népérien : \(\log 100=2\) mais \(\ln 100\approx 4{,}605\). Les confondre fausse tout un calcul.
La condition d'existence. \(\log x\) n'existe que pour \(x\gt 0\). Dans l'équation \(\log x+\log(x-3)=1\), la racine \(-2\) du trinôme doit être rejetée.
Résumé
Pour \(x\gt 0\) : \(y=\log x\) équivaut à \(10^y=x\). Ainsi \(\log(10^n)=n\).
\(\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}\), avec \(\ln 10\approx 2{,}303\).
\(\log(ab)=\log a+\log b\), \(\log\dfrac ab=\log a-\log b\), \(\log(a^n)=n\log a\).
Strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), dérivée \(\dfrac{1}{x\ln 10}\), limites \(-\infty\) en 0 et \(+\infty\) en \(+\infty\).
\(\log x=k\) donne \(x=10^k\) ; \(10^x=k\) donne \(x=\log k\). Toujours écrire la condition d'existence.