Terminale L · Leçon 1
Composition des applications
Ce que dit le programme officiel (1 points)
- Reconnaître et calculer g∘f(x) sur des exemples simples
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Composition d'applications et de fonctions
Rappel de PremièreSi \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\), la composée \(g\circ f:E\to G\) est définie par \((g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)\). En général, \(g\circ f\neq f\circ g\).
Soit \(f(x)=3x-1\) et \(g(x)=x^2+2\).
\[ (g\circ f)(x)=g(3x-1)=(3x-1)^2+2=9x^2-6x+3, \] \[ (f\circ g)(x)=f(x^2+2)=3(x^2+2)-1=3x^2+5. \]On vérifie bien que \(g\circ f\neq f\circ g\).
Composée de deux fonctions : calculer g∘f(x), décomposer une fonction
Beaucoup de fonctions s'obtiennent en enchaînant deux calculs simples : on calcule d'abord \(2x+1\), puis on prend le carré du résultat. On dit que l'on compose deux fonctions. Savoir reconnaître cet enchaînement aide à calculer, à trouver un ensemble de définition, et plus tard à dériver.
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions. La composée de \(f\) suivie de \(g\), notée \(g\circ f\) (on lit « \(g\) rond \(f\) »), est la fonction définie par
\[(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big).\]On applique d'abord \(f\) à \(x\), puis \(g\) au résultat. Elle est définie pour les \(x\) tels que \(x\) soit dans l'ensemble de définition de \(f\) et \(f(x)\) dans celui de \(g\).
En général, \(g\circ f\) et \(f\circ g\) sont différentes : l'ordre compte.
Calculer \(g\circ f(x)\). On écrit \(g(\ldots)\) et l'on remplace la variable de \(g\) par toute l'expression \(f(x)\), entre parenthèses.
Décomposer une fonction. On se demande quel est le dernier calcul effectué : pour \(\sqrt{3x-6}\), on calcule \(3x-6\), puis on prend la racine carrée ; donc \(h=g\circ f\) avec \(f(x)=3x-6\) et \(g(X)=\sqrt X\).
Ensemble de définition. On écrit les conditions sur \(x\) puis sur \(f(x)\) : pour \(\sqrt{3x-6}\), il faut \(3x-6\ge0\), soit \(x\ge2\).
Énoncé. Soient \(f(x)=2x+1\) et \(g(x)=x^2\). Calculer \(g\circ f(x)\), \(f\circ g(x)\) et \(f\circ f(x)\), puis \(g\circ f(1)\) et \(f\circ g(1)\).
Solution : \(g\circ f(x)=g(2x+1)=(2x+1)^2\). \(f\circ g(x)=f(x^2)=2x^2+1\). \(f\circ f(x)=f(2x+1)=2(2x+1)+1=4x+3\).
\(g\circ f(1)=3^2=9\) alors que \(f\circ g(1)=2\times1+1=3\) : les deux composées sont différentes.
Énoncé. Écrire comme composées de deux fonctions simples \(h(x)=\sqrt{3x-6}\), \(k(x)=\dfrac{1}{x-4}\) et \(m(x)=\ln\left(x^2+1\right)\), et donner leurs ensembles de définition. Calculer \(h(5)\).
Solution : \(h=g\circ f\) avec \(f(x)=3x-6\) et \(g(X)=\sqrt X\) ; il faut \(3x-6\ge0\) : \(D_h=[2\,;+\infty[\), et \(h(5)=\sqrt9=3\). \(k=v\circ u\) avec \(u(x)=x-4\) et \(v(X)=\dfrac1X\) ; il faut \(x\neq4\).
\(m=\ln\circ w\) avec \(w(x)=x^2+1\) ; comme \(x^2+1\gt0\) pour tout réel \(x\), \(m\) est définie sur \(\mathbb R\), et \(m(-x)=m(x)\) : \(m\) est paire.
Figure — L'enchaînement de deux fonctions
Schéma de la composée g∘f de l'exemple 1 pour x = 1 : la fonction f transforme 1 en 3, puis la fonction g transforme 3 en 9. On lit le schéma de gauche à droite : c'est f qui agit en premier, bien que g soit écrite en premier dans g∘f.
Confondre \(g\circ f\) et \(f\circ g\). Dans \(g\circ f\), on applique \(f\) d'abord. Dans l'exemple 1, \((2x+1)^2\) et \(2x^2+1\) sont différents.
Confondre composée et produit. \(g\circ f(x)=(2x+1)^2\), alors que le produit \(f(x)\times g(x)=(2x+1)x^2\) est une autre fonction.
Résumé
\((g\circ f)(x)=g(f(x))\) : \(f\) d'abord, puis \(g\).
En général \(g\circ f\neq f\circ g\).
Chercher le dernier calcul effectué ; en déduire l'ensemble de définition.
Éléments distincts ⟹ images distinctes.
Tout élément de l'arrivée a au moins un antécédent.
Injective et surjective ⟹ réciproque \(f^{-1}\) définie.
\((g\circ f)(x)=g(f(x))\), en général \(\neq f\circ g\).
Sujet type Bac
Question 1. Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2-4\). \(f\) est-elle injective ? surjective ? Justifier.
Non injective : \(f(-1)=f(1)=-3\). Non surjective sur \(\mathbb R\) : \(f\) admet un minimum \(-4\), donc aucune valeur inférieure à \(-4\) n'a d'antécédent.
Question 2. Soit \(f(x)=2x-3\) sur \(\mathbb R\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer sa réciproque.
\(f\) est affine de coefficient directeur non nul : elle est bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\). En posant \(y=2x-3\), on obtient \(x=\dfrac{y+3}2\), donc \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}2\).
Question 3. Soit \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=2x^2\). Calculer \((g\circ f)(x)\) et \((f\circ g)(x)\).
\((g\circ f)(x)=2(x+1)^2=2x^2+4x+2\). \((f\circ g)(x)=2x^2+1\).