Terminale L · Leçon 6
Dérivabilité
Ce que dit le programme officiel (3 points)
- Nombre dérivé et interprétation géométrique ; théorèmes sur les fonctions dérivées
- Admis : (g∘f)′ = f′ × g′∘f ; dérivée de √(ax + b) ; ensemble de dérivabilité différent de l’ensemble de définition
- Dérivée de (ax + b)/(cx + d) ; sens de variation ; équation de la tangente ; bijection (fonction continue strictement monotone)
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Nombre dérivé, tangente et approximation affine
La dérivation naît d'une question concrète : à quelle vitesse une quantité change-t-elle ? En analyse, on mesure cette vitesse par le taux de variation d'une fonction entre deux points, puis on fait tendre les deux points l'un vers l'autre pour obtenir la vitesse instantanée — le nombre dérivé.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), et \(x_0 \in I\). Pour tout \(h \neq 0\) tel que \(x_0+h \in I\), le taux de variation de \(f\) entre \(x_0\) et \(x_0+h\) est :
\[\tau(h) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.\]Géométriquement, \(\tau(h)\) est le coefficient directeur de la droite sécante à la courbe passant par les points d'abscisses \(x_0\) et \(x_0+h\).
\(f\) est dérivable en \(x_0\) si la limite suivante existe et est finie :
\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.\]Cette limite s'appelle le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\). Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(x_0\), d'équation :
\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).\]Calculons \(f'(1)\) pour \(f(x) = x^2\).
\(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^2 - 1}{h} = \dfrac{1+2h+h^2-1}{h} = \dfrac{h(2+h)}{h} = 2+h \xrightarrow[h\to 0]{} 2.\)
Donc \(f'(1) = 2\), et la tangente en \(x_0=1\) a pour équation \(y = 2(x-1)+1 = 2x-1\).
Un mobile parcourt une distance \(d(t) = 3t^2 + 2t\) mètres en \(t\) secondes. La vitesse instantanée à \(t_0 = 2\) s est \(d'(2)\).
\(\dfrac{d(2+h)-d(2)}{h} = \dfrac{3(2+h)^2+2(2+h)-(12+4)}{h} = \dfrac{3(4+4h+h^2)+4+2h-16}{h} = \dfrac{12h+3h^2+2h}{h} = 14+3h \to 14.\)
La vitesse instantanée à \(t=2\) s est donc \(14\) m/s.
Ne pas confondre le taux de variation \(\tau(h)\) (qui dépend encore de \(h\)) et le nombre dérivé \(f'(x_0)\) (qui est sa limite quand \(h\to 0\)). Le taux de variation est la pente d'une sécante ; le nombre dérivé est la pente de la tangente.
Figure 1 — De la sécante à la tangente : faites glisser \(h\) vers 0
Sécante
Tangente en \(x_0\)
Dérivées usuelles et règles de calcul
Plutôt que de revenir chaque fois à la définition, on dispose d'un catalogue de dérivées connues et de règles qui permettent de dériver toute combinaison de fonctions sans calcul de limite.
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables, et \(k \in \mathbb{R}\) :
\[\begin{array}{ll} (u+v)' = u'+v' & \qquad (ku)' = ku' \\[4pt] (uv)' = u'v + uv' & \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0) \end{array}\]Pour \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'\), on identifie d'abord \(u\) et \(v\), on calcule séparément \(u'\) et \(v'\), puis on applique la formule. Ne jamais « dériver numérateur et dénominateur séparément » sans la formule !
Soit \(f(x) = x^3 e^x\). Posons \(u = x^3\) et \(v = e^x\), alors \(u' = 3x^2\) et \(v' = e^x\).
\(f'(x) = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x = e^x(3x^2 + x^3) = x^2 e^x(3+x).\)
Soit \(g(x) = \dfrac{2x-1}{x^2+1}\). Posons \(u = 2x-1\), \(v = x^2+1\), donc \(u' = 2\), \(v' = 2x\).
\(g'(x) = \dfrac{2(x^2+1)-(2x-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x^2+2-4x^2+2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{-2x^2+2x+2}{(x^2+1)^2}.\)
Soit \(h(x) = 3\ln x - \dfrac{2}{x} + 5\) définie sur \(\,]0;+\infty[\).
\(h'(x) = \dfrac{3}{x} - \left(-\dfrac{2}{x^2}\right) + 0 = \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{3x+2}{x^2}.\)
\(\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'\) peut se traiter comme un quotient (\(u=1,\ v=x^2\)) ou comme une puissance \((x^{-2})' = -2x^{-3}\). Les deux donnent le même résultat \(-\dfrac{2}{x^3}\), mais la méthode des puissances est souvent plus rapide.
Dérivée d'une fonction composée
Le programme de Terminale A limite la dérivation des fonctions composées au cas où la fonction « intérieure » est affine, c'est-à-dire de la forme \(x \mapsto ax+b\). Cette situation est extrêmement fréquente au Bac et mérite qu'on la maîtrise parfaitement.
Si \(f\) est dérivable et \(a, b \in \mathbb{R}\), alors la fonction \(x \mapsto f(ax+b)\) est dérivable et :
\[\big[f(ax+b)\big]' = a \cdot f'(ax+b).\]En d'autres termes, on dérive normalement \(f\), on évalue en \(ax+b\), et on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure, c'est-à-dire par \(a\).
Avant de dériver, identifier \(f\) et la fonction affine intérieure \(u = ax+b\). Repérer le coefficient \(a\) qui « sort » devant lors de la dérivation. En cas de doute, noter la dérivée de \(f\) en \(u\) puis remplacer \(u\) par \(ax+b\) et multiplier par \(a\).
\(f(x) = (3x-2)^4\) : ici \(f : t \mapsto t^4\) et \(u = 3x-2\), donc \(a = 3\).
\(f'(x) = 4 \times 3 \times (3x-2)^3 = 12(3x-2)^3.\)
\(g(x) = \sqrt{5-2x}\) définie sur \(\left]-\infty\,;\frac{5}{2}\right[\). Ici \(a = -2\).
\(g'(x) = \dfrac{-2}{2\sqrt{5-2x}} = -\dfrac{1}{\sqrt{5-2x}}.\)
\(h(x) = e^{-2x+1}\) : \(h'(x) = -2\,e^{-2x+1}\).
\(k(x) = \ln(4x+3)\) définie sur \(\left]-\frac{3}{4}\,;+\infty\right[\) : \(k'(x) = \dfrac{4}{4x+3}\).
\(\big[e^{3x}\big]'\) n'est pas \(e^{3x}\), mais bien \(3e^{3x}\). De même, \(\big[\ln(5x)\big]' = \dfrac{5}{5x} = \dfrac{1}{x}\) (et non \(\dfrac{1}{5x}\)). Le facteur \(a\) est systématiquement obligatoire.
Figure 2 — Courbe de \(f(ax+b)\) et sa dérivée : choisissez \(f\), \(a\) et \(b\)
\(y = [f(ax+b)]'\)
Théorème de la bijection monotone
Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c \in [a\,;b]\) tel que \(f(c) = k\).
En d'autres termes : une fonction continue sur un segment ne peut pas sauter par-dessus une valeur.
Le cas \(k = 0\) revient le plus souvent :
\[ f \text{ continue sur } [a\,;b],\quad f(a)\cdot f(b) < 0 \;\Longrightarrow\; \exists\, c \in\, ]a\,;b[\; \text{ tel que } f(c) = 0. \]La condition \(f(a) \cdot f(b) < 0\) signifie que \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes strictement opposés. C'est l'outil standard pour montrer qu'une équation admet une solution dans un intervalle.
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. La continuité préserve la connexité : on ne peut pas obtenir un ensemble disjoint en appliquant une fonction continue à un intervalle.
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([a\,;b]\).
Le TVI garantit l'existence ; la stricte monotonie garantit l'unicité.
- Vérifier que \(f\) est continue sur \([a\,;b]\).
- Vérifier que \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\) : signe de \(f'\).
- Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) et vérifier que \(k\) est strictement entre eux.
- Conclure par le théorème de la bijection.
Le TVI affirme l'existence d'au moins un \(c\), mais pas son unicité. Sans hypothèse de monotonie, il peut y en avoir plusieurs. De plus, le TVI ne donne pas la valeur de \(c\). Pour l'approcher, on recourt à la dichotomie.
Montrons que \(x^{3} + x - 1 = 0\) admet une unique solution dans \([0\,;1]\).
Soit \(f(x) = x^3 + x - 1\).
- Continuité : \(f\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
- Monotonie : \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) pour tout \(x\). Donc \(f\) est strictement croissante.
- Valeurs aux bornes : \(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\).
Par le théorème de la bijection, l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in\, ]0\,;\,1[\).
Figure interactive — Théorème des valeurs intermédiaires
droite \(y = k\)
solution \(\alpha\)
Déplacer le curseur pour faire varier la valeur de \(k\)
Lorsque \(k \in [f(0)\,;\,f(1)] = [-1\,;\,1]\), le TVI garantit l'existence d'au moins un point d'intersection. La stricte croissance de \(f\) assure l'unicité.
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a\,;b]\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c \in [a\,;b]\) tel que :
\[ f(c) = k. \]Autrement dit, \(f\) prend toutes les valeurs intermédiaires entre \(f(a)\) et \(f(b)\) — sans « saut » possible, puisque la courbe est ininterrompue.
Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) et si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés (\(f(a)\cdot f(b) < 0\)), alors l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \([a\,;b]\). C'est le TVI appliqué à \(k = 0\).
Soit \(f(x) = x^3 - x - 1\) sur \([1\,;2]\). \(f\) est polynomiale donc continue.
\(f(1) = 1-1-1 = -1 < 0\) et \(f(2) = 8-2-1 = 5 > 0\). Ces valeurs sont de signes opposés : par le TVI, l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution \(c \in [1\,;2]\).
Soit \(g(x) = e^x - x\) sur \([0\,;2]\), continue. \(g(0) = 1\) et \(g(2) = e^2 - 2 \approx 5{,}39\). Pour \(k=3\), compris entre \(g(0)=1\) et \(g(2)\approx 5{,}39\) : par le TVI, il existe \(c \in [0\,;2]\) tel que \(g(c) = 3\), c'est-à-dire \(e^c - c = 3\).
Le TVI garantit l'existence d'au moins une solution, jamais son unicité ni sa valeur explicite. Sans hypothèse supplémentaire de monotonie (§I.4), rien n'exclut plusieurs solutions dans l'intervalle. Ne jamais écrire « donc \(c\) est la seule solution » sans avoir justifié la stricte monotonie.
Figure interactive — Théorème des valeurs intermédiaires
droite \(y=k\)
solution(s) \(c\)
Déplacer le curseur pour changer \(k\)
La courbe \(f(x)=x^3-x-1\) sur \([1\,;2]\) coupe la droite horizontale \(y=k\) en au moins un point dès que \(k\) est compris entre \(f(1)=-1\) et \(f(2)=5\).
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution \(c \in [a\,;b]\).
La stricte monotonie ajoute l'unicité à l'existence déjà garantie par le TVI : la courbe ne peut recroiser la droite \(y=k\), puisqu'elle ne cesse jamais de croître (ou de décroître).
- Justifier que \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) (opérations sur fonctions continues, ou dérivable donc continue).
- Justifier que \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\) — le plus souvent via le signe de \(f'\).
- Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) et vérifier que \(k\) est bien compris entre les deux (ou que \(f(a)\cdot f(b) < 0\) si \(k=0\)).
- Conclure : « \(f\) est continue et strictement [croissante/décroissante] sur \([a\,;b]\) ; d'après le corollaire du TVI, l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution \(c \in [a\,;b]\). »
Reprenons \(f(x) = x^3 - x - 1\) sur \([1\,;2]\). \(f'(x) = 3x^2 - 1\), or pour \(x \ge 1\) : \(f'(x) \ge 2 > 0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;2]\), continue (polynomiale), avec \(f(1)=-1 < 0 < 5=f(2)\).
D'après le corollaire du TVI, l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(c \in [1\,;2]\) — précisant ainsi le résultat d'existence obtenu au §I.3.
Une fois l'existence et l'unicité établies, on encadre \(c\) en évaluant \(f\) en des points intermédiaires, en resserrant l'intervalle à chaque étape (on garde le sous-intervalle où \(f\) change de signe) :
- Évaluer \(f\) au milieu de l'intervalle courant.
- Comparer son signe à celui de \(f(a)\) : si identique, remplacer \(a\) par ce milieu ; sinon, remplacer \(b\).
- Répéter jusqu'à obtenir la précision demandée (l'amplitude de l'intervalle est divisée par 2 à chaque étape).
Pour \(f(x)=x^3-x-1\) : \(f(1{,}3) \approx -0{,}103 < 0\) et \(f(1{,}4) \approx 0{,}144 > 0\). Donc \(c \in ]1{,}3\,;1{,}4[\).
En affinant : \(f(1{,}32)\approx -0{,}02\) et \(f(1{,}33)\approx 0{,}0089\), donc \(c \in ]1{,}32\,;1{,}33[\) — encadrement à \(10^{-2}\) près de l'unique solution.
Avant toute dichotomie, un rapide tableau de valeurs (ou de variations) permet de repérer l'intervalle \([a\,;b]\) le plus petit possible où \(f\) change de signe : moins l'intervalle de départ est large, moins il faut d'étapes pour atteindre la précision demandée.
Figure interactive — Encadrement par dichotomie
intervalle courant
Chaque clic évalue \(f\) au milieu de l'intervalle courant et conserve le sous-intervalle où \(f\) change de signe, resserrant l'encadrement de la solution.
Résumé
\(f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\). Tangente : \(y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\).
\((x^n)' = nx^{n-1}\), \((\sqrt x)' = \frac{1}{2\sqrt x}\), \((\ln x)' = \frac{1}{x}\), \((e^x)' = e^x\).
\((uv)' = u'v+uv'\). \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}\).
\([f(ax+b)]' = a \cdot f'(ax+b)\). Le coefficient \(a\) sort systématiquement.
\(f' > 0 \Rightarrow f\) croissante. \(f' < 0 \Rightarrow f\) décroissante. Changement de signe de \(f'\) : extremum local.
Calculer \(f'\), factoriser, dresser le tableau de signes, puis le tableau de variations avec les valeurs remarquables.
Sujet type Bac
Question 1 — Calculer \(f'(x)\) et la simplifier.
\(f\) est le produit de \(u(x) = 2x-1\) et de \(v(x) = e^{-x}\).
On a \(u'(x) = 2\) et \(v'(x) = -e^{-x}\) (composée affine avec \(a=-1\)).
\(f'(x) = u'v + uv' = 2e^{-x} + (2x-1)(-e^{-x}) = e^{-x}\big[2 - (2x-1)\big] = e^{-x}(3-2x).\)
Question 2 — Signe de \(f'(x)\) et tableau de variations.
Comme \(e^{-x} > 0\) pour tout réel \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \((3-2x)\).
\(3 - 2x > 0 \iff x < \dfrac{3}{2}.\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{3}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | + | 0 | − | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | \(2e^{-3/2}\) | ↘ | \(0\) |
\(f\) est croissante sur \(\left]-\infty\,;\frac{3}{2}\right]\) et décroissante sur \(\left[\frac{3}{2}\,;+\infty\right[\), avec un maximum \(f\!\left(\frac{3}{2}\right) = (2\times\frac{3}{2}-1)e^{-3/2} = 2e^{-3/2}\).
Question 3 — Équation de la tangente en \(x_0 = 0\).
\(f(0) = (0-1)e^{0} = -1\).
\(f'(0) = e^{0}(3-0) = 3\).
L'équation de la tangente en \(x_0 = 0\) est : \(y = 3(x - 0) + (-1) = 3x - 1.\)
Question 4 — Limites aux bornes.
En \(+\infty\) : \(e^{-x} \to 0\) et \((2x-1)\) croît, mais les exponentielles l'emportent sur les polynômes : \(\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0\). La courbe admet la droite \(y=0\) comme asymptote horizontale en \(+\infty\).
En \(-\infty\) : \(2x-1 \to -\infty\) et \(e^{-x} \to +\infty\), donc \(f(x) \to -\infty\). La courbe n'a pas d'asymptote en \(-\infty\).
Question 5 — Point d'intersection avec l'axe des abscisses.
\(f(x) = 0 \iff (2x-1)e^{-x} = 0 \iff 2x-1 = 0\) (car \(e^{-x} \neq 0\)) \(\iff x = \dfrac{1}{2}\).
La courbe coupe l'axe des abscisses en \(\left(\dfrac{1}{2}\,; 0\right)\) uniquement.