Terminale L · Leçon 9
Fonction exponentielle
Ce que dit le programme officiel (4 points)
- Définition comme réciproque de ln ; exp(x) = eˣ ; propriétés ; représentation graphique
- ln X = Y si et seulement si X = eY ; eln X = X ; ln(eY) = Y
- Équations, inéquations, systèmes avec l’exponentielle
- Étude de eˣ, x/eˣ, x eˣ et de fonctions simples faisant intervenir l’exponentielle
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^{x}\), est la fonction réciproque de \(\ln\). Cela signifie que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[ \ln(e^{x}) = x \qquad\text{et}\qquad e^{\ln x} = x \;(x > 0). \]En particulier, \(e^{0} = 1\), \(e^{1} = e \approx 2{,}718\) et \(e^{-1} = 1/e\). La notation \(e^{x}\) est préférable à \(\exp(x)\) car elle respecte les règles de calcul sur les puissances.
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[ e^{a+b} = e^{a} \cdot e^{b} \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^{a}} \qquad e^{a-b} = \frac{e^{a}}{e^{b}} \qquad (e^{a})^{n} = e^{na}. \]On admet que \((e^{x})' = e^{x}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Comme \(e^{x} > 0\), la dérivée est toujours positive : \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[ \lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0 \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty. \]| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(e^{x}\) | \(0^+\) | \(e^{-1}\) | \(1\) | \(e\) | \(+\infty\) |
| variation | ↗ strictement croissante | ||||
Pour passer d'une équation/inéquation en \(\ln\) à une en \(e\) (ou inversement), on utilise la bijectivité et les relations réciproques :
- \(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u, v > 0\)).
- \(\ln u = k \iff u = e^{k}\) (avec \(u > 0\)).
- \(e^{u} = e^{v} \iff u = v\).
- \(e^{u} = k \iff u = \ln k\) (avec \(k > 0\)).
- Les inégalités : \(\ln u < \ln v \iff u < v\) et \(e^u < e^v \iff u < v\).
Résoudre \(e^{2x-1} = e^{x+3}\).
Comme \(\exp\) est injective : \(2x - 1 = x + 3\), donc \(x = 4\). Solution : \(\{4\}\).
Résoudre \(e^{x} = 5\) sur \(\mathbb{R}\).
En appliquant \(\ln\) des deux membres (loisible car \(5 > 0\)) : \(\ln(e^{x}) = \ln 5\), soit \(x = \ln 5\). Solution : \(\{\ln 5\}\).
Résoudre \(e^{3x} > e^{x+4}\).
Comme \(\exp\) est croissante : \(3x > x + 4\), soit \(2x > 4\), donc \(x > 2\). Solution : \(]2\,;+\infty[\).
\(e^{\ln x}\) n'est défini que pour \(x > 0\), mais \(\ln(e^{x})\) est défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Ne jamais appliquer \(\ln\) à un nombre négatif ou nul : \(\ln(-2)\) n'existe pas.
Lorsqu'une expression de la forme \(A \cdot e^{kx} + B\) doit être étudiée, on met \(e^{kx}\) en facteur pour lire le signe. Exemple : \(e^{x} - 2 = e^{x}(1 - 2e^{-x})\) — mais on préfère souvent étudier \(f(x) = e^{x} - 2\) directement : \(f(x) > 0 \iff e^x > 2 \iff x > \ln 2\).
Figure 2 — Courbe de y = e^x et tangente en x = a
tangente en \(a\)
Équations et inéquations avec l'exponentielle
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc bijective : elle ne prend jamais deux fois la même valeur. On dispose ainsi de l'équivalence \[e^u = e^v \iff u = v.\] Cette simple observation permet de « dés-exponentier » une équation en égalant directement les exposants.
Résoudre \(e^{2x-1} = e^3\).
Les deux membres ont la même base \(e\), donc on égale les exposants : \[2x - 1 = 3 \iff 2x = 4 \iff x = 2.\] L'ensemble solution est \(\mathbb{S} = \{2\}\).
Résoudre \(e^{3x} = e^{x+4}\).
\[3x = x + 4 \iff 2x = 4 \iff x = 2.\] \(\mathbb{S} = \{2\}\).
Lorsqu'une équation contient à la fois \(e^{2x}\) et \(e^x\), on remarque que \(e^{2x} = (e^x)^2\). On pose alors \(t = e^x\), avec la contrainte impérative \(t > 0\) (l'exponentielle est toujours strictement positive). L'équation se ramène à un polynôme du second degré en \(t\) ; une fois \(t\) trouvé, on revient à \(x\) par \(x = \ln t\) (uniquement si \(t > 0\)).
Résoudre \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\).
On pose \(t = e^x > 0\). Comme \(e^{2x} = t^2\), l'équation devient : \[t^2 - 5t + 6 = 0.\] On factorise : \((t - 2)(t - 3) = 0\), donc \(t = 2\) ou \(t = 3\). Ces deux valeurs sont bien strictement positives, on peut revenir à \(x\) : \[e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2, \qquad e^x = 3 \Rightarrow x = \ln 3.\] \(\mathbb{S} = \{\ln 2\,;\,\ln 3\}\).
Résoudre \(e^{2x} + 3e^x - 4 = 0\).
Avec \(t = e^x > 0\) : \(t^2 + 3t - 4 = 0\), soit \((t+4)(t-1) = 0\). On obtient \(t = -4\) ou \(t = 1\). La valeur \(t = -4\) est rejetée car \(e^x > 0\). Pour \(t = 1\) : \(e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). \(\mathbb{S} = \{0\}\).
Après avoir résolu le trinôme en \(t\), il faut absolument vérifier que \(t > 0\) avant de calculer \(\ln t\). Une valeur négative ou nulle de \(t\) doit être rejetée sans hésitation.
Figure 1 — Résolution graphique de \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\)
Parce que \(\exp\) et \(\ln\) sont toutes deux strictement croissantes, elles conservent le sens des inégalités :
\[u < v \iff e^u < e^v \qquad (u, v \in \mathbb{R})\] \[u < v \iff \ln u < \ln v \qquad (u, v > 0)\]Une fonction strictement décroissante aurait inversé le sens : c'est la raison pour laquelle il faut vérifier le sens de variation avant de passer une inégalité « sous l'exponentielle » ou « sous le logarithme ».
Résoudre \(e^x \leq 5\).
L'exponentielle est croissante, donc on peut prendre le logarithme des deux membres en conservant le sens : \[e^x \leq 5 \iff x \leq \ln 5.\] \(\mathbb{S} = ]-\infty\,;\,\ln 5]\).
Résoudre \(\ln(2x-1) > 0\).
Domaine : \(2x - 1 > 0\), soit \(x > \tfrac{1}{2}\).
On remarque que \(\ln 1 = 0\), et \(\ln\) est croissante, donc : \[\ln(2x-1) > 0 \iff 2x - 1 > 1 \iff x > 1.\] En croisant avec le domaine \(x > \tfrac{1}{2}\), on obtient : \(\mathbb{S} = ]1\,;+\infty[\).
Résoudre \(e^{2x} > 3e^x\).
On écrit \(e^{2x} - 3e^x > 0\), puis on factorise par \(e^x > 0\) : \[e^x(e^x - 3) > 0.\] Puisque \(e^x > 0\) toujours, l'inégalité est équivalente à \(e^x - 3 > 0\), soit \(e^x > 3\), soit \(x > \ln 3\). \(\mathbb{S} = ]\ln 3\,;+\infty[\).
Quand une inéquation contient \(e^{2x}\) et \(e^x\), il est souvent plus rapide de factoriser par \(e^x\) (toujours positif) que de poser \(t = e^x\) : on économise le changement de variable tout en traitant le signe correctement.
Figure 3 — Résolution graphique d'inéquations exponentielles