Terminale L · Leçon 5
Limites et continuité
Ce que dit le programme officiel (4 points)
- Calculs de limites ; formes indéterminées et leur levée
- Limites à gauche et à droite de (ax + b)/(cx + d), de quotients de trinômes, de √(ax + b)
- Continuité en un point, sur un intervalle ; l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle (admis)
- Ensembles de définition et de continuité de fonctions rationnelles, de √(ax + b), de polynômes de degré 3
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Limites des fonctions de référence en l'infini et en un réel
Avant d'aborder les techniques de calcul, il est indispensable de maîtriser le comportement asymptotique des fonctions élémentaires. Ce sont elles qui servent de « briques » dans toute limite plus complexe.
Lorsqu'une fonction n'est pas définie en un point \(a\) (par exemple parce qu'elle possède un pôle en ce point), on distingue la limite à droite \(\lim_{x\to a^+} f(x)\) et la limite à gauche \(\lim_{x\to a^-} f(x)\). Si ces deux limites existent et sont égales, on dit que \(f\) a une limite en \(a\) ; sinon, la limite en \(a\) n'existe pas.
Calculons \(\lim_{x\to-\infty} x^3\) et \(\lim_{x\to-\infty} x^4\). Puisque \(3\) est impair, \(x^3 \to -\infty\). Puisque \(4\) est pair, \(x^4 \to +\infty\). La parité change tout le signe.
Quand \(x\to 0^+\), on a \(x > 0\) donc \(\tfrac{1}{x} \to +\infty\). Quand \(x\to 0^-\), on a \(x < 0\) donc \(\tfrac{1}{x} \to -\infty\). La limite en \(0\) n'existe pas ; il y a deux limites unilatérales opposées.
\(\ln\) n'est défini que sur \(\mathopen]0\,,+\infty\mathclose[\). Lorsque \(x\to 0^+\), \(\ln x \to -\infty\) : la courbe plonge verticalement vers \(-\infty\) en s'approchant de l'axe des ordonnées. Lorsque \(x\to+\infty\), \(\ln x \to +\infty\) mais très lentement — bien plus lentement que n'importe quelle puissance de \(x\).
Pour un exposant entier impair, le signe de \(x^n\) est celui de \(x\) ; pour un exposant pair, \(x^n\) est toujours positif ou nul. En pratique : « pair → positif, impair → garde le signe ».
Figure 1 — Comportement comparé de \(x^n\) selon la parité de \(n\)
\(y=x^3\)
\(y=x\)
Opérations sur les limites et formes indéterminées
Lorsque les limites de deux fonctions sont connues, on peut calculer la limite de leur somme, de leur produit ou de leur quotient en combinant ces résultats — sauf dans certains cas particuliers où l'opération produit une forme indéterminée, c'est-à-dire une expression dont le signe ou la valeur ne peut pas être décidée a priori.
Si \(\lim f = \ell\) et \(\lim g = m\) (finis ou infinis), alors sous réserve que le résultat ne soit pas indéterminé :
| Opération | Résultat | Cas indéterminés |
|---|---|---|
| \(f + g\) | \(\ell + m\) | \(+\infty - \infty\) |
| \(f \times g\) | \(\ell \times m\) | \(0 \times \infty\) |
| \(f / g\) | \(\ell / m\) | \(\infty/\infty\) et \(0/0\) |
Dans chacun de ces cas, le résultat peut valoir n'importe quel réel, \(+\infty\) ou \(-\infty\) selon les fonctions concernées. Il faut lever l'indétermination par un calcul algébrique.
En \(+\infty\) ou \(-\infty\), un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré. Pour une fraction rationnelle, on compare les degrés du numérateur et du dénominateur après factorisation par la puissance dominante.
Concrètement, on met en facteur \(x^n\) (puissance la plus grande présente) au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie. Les termes en \(1/x^k\) tendent vers \(0\) et disparaissent.
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(3x^2 - 5x + 1)\).
\[ 3x^2 - 5x + 1 = x^2\!\left(3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}\right). \]Comme \(x^2 \to +\infty\) et le facteur entre parenthèses tend vers \(3 > 0\), le produit tend vers \(+\infty\). Le terme \(3x^2\) « l'emporte » sur \(-5x\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x-3}\).
\[ \frac{2x+1}{x-3} = \frac{x(2+1/x)}{x(1-3/x)} = \frac{2+1/x}{1-3/x} \;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\; \frac{2}{1} = 2. \]Les deux degrés sont égaux, la limite est le rapport des coefficients directeurs : \(2/1 = 2\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x^2+2}\).
\[ \frac{x+1}{x^2+2} = \frac{x^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\!\left(1+\frac{2}{x^2}\right)} = \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}} \;\to\; 0. \]Le dénominateur « grandit plus vite » : la limite vaut \(0\).
Pour \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2 - x)\), on factorise par \(x^2\) et on obtient \(x^2(1 - 1/x)\). Attention : quand \(x\to-\infty\), \(-1/x\to 0^+\), le facteur entre parenthèses tend vers \(1 > 0\), et \(x^2 \to +\infty\). La limite est \(+\infty\), même si les deux termes semblent de signes opposés.
Figure 2 — Comportement de \(\dfrac{ax+1}{x-b}\) quand \(x\to\pm\infty\)
asymptote horizontale
Techniques de levée d'indétermination (factorisation, quantité conjuguée)
Dès qu'une expression contient des racines carrées en addition ou en soustraction, les développements standards ne fonctionnent plus directement. La technique de la quantité conjuguée permet de transformer une forme \(\infty - \infty\) en une expression calculable.
On s'appuie sur l'identité algébrique \((\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B\). On multiplie et divise par la somme conjuguée \(\sqrt{A} + \sqrt{B}\) pour faire apparaître \(A - B\) au numérateur, expression polynomiale dont on sait calculer la limite.
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\). C'est une forme \(\infty - \infty\).
\[ \sqrt{x+1}-\sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}. \]Quand \(x\to+\infty\), le dénominateur \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\to+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}) = 0\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)\).
\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]On factorise \(x\) au dénominateur (pour \(x > 0\), \(\sqrt{x^2+x} = x\sqrt{1+1/x}\)) :
\[ \frac{x}{x\!\left(\sqrt{1+1/x}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1} \;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\; \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2}. \]La limite vaut \(\dfrac{1}{2}\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\). C'est une forme \(0/0\).
\[ \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x}+2} \;\xrightarrow[x\to 4]{}\; \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}. \]La racine \(\sqrt{u(x)}\) n'est définie que pour \(u(x)\ge 0\). Avant tout calcul de limite, vérifier que l'expression est bien définie au voisinage du point considéré. Par exemple, \(\sqrt{2x-3}\) n'est défini qu'à partir de \(x = 3/2\) ; la limite en \(-\infty\) n'a pas de sens.
Figure 3 — \(\sqrt{x+c}-\sqrt{x}\) et son comportement en \(+\infty\)
asymptote \(y=0\)
Continuité en un point et sur un intervalle, types de discontinuité
Une fonction \(f\) est continue en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Cela exige : (1) \(f\) définie en \(a\), (2) la limite existe, (3) limite = valeur.
Les fonctions usuelles (polynômes, \(e^x\), \(\ln x\), \(\sin\), \(\cos\), racines) sont continues sur leur domaine de définition.
Soit \(f\) continue sur \([a\,;\,b]\). Pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un \(c\in[a\,;\,b]\) tel que \(f(c)=k\).
Corollaire : Si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]a\,;\,b[\).
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;\,b]\), alors pour tout \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution dans \([a\,;\,b]\).
Sans ces trois lignes, les points sont perdus même avec la bonne conclusion : (1) énoncer que \(f\) est continue sur \([a\,;\,b]\), (2) calculer explicitement \(f(a)\) et \(f(b)\), (3) constater les signes contraires et conclure.
Montrons que \(x^3-2x+1=0\) admet au moins une solution dans \([-2\,;\,0]\).
Posons \(f(x)=x^3-2x+1\). Polynôme → continu sur \(\mathbb{R}\).
\(f(-2)=-8+4+1=-3<0\) et \(f(0)=1>0\) — signes contraires.
Par le TVI : il existe \(c\in\,]-2\,;\,0[\) tel que \(f(c)=0\).
Figure interactive — TVI avec curseur k
Déplacez k entre −3 et 1 : la droite horizontale coupe la courbe, garantissant l'existence d'un c tel que f(c)=k (TVI). Hors de cet intervalle, le TVI ne s'applique pas sur [−2;0].
Sujet type Bac
On considère la fonction \(f\) définie par \(\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{3x+4}-2}{x-0}\) pour \(x \neq 0\) et \(x \ge -4/3\), puis la fonction \(g\) définie par \(\displaystyle g(x) = \frac{2x^2 - x - 3}{x^2 - 1}\).
Question 1 — Limite de \(g\) en \(+\infty\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x)\).
C'est une forme \(\infty/\infty\). Les deux polynômes sont de même degré 2. On divise numérateur et dénominateur par \(x^2\) :
\[ g(x) = \frac{2 - 1/x - 3/x^2}{1 - 1/x^2} \;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\; \frac{2}{1} = 2. \]La courbe de \(g\) admet donc la droite \(y = 2\) comme asymptote horizontale en \(+\infty\).
Question 2 — Limite de \(g\) en \(1\). Étudier le comportement de \(g\) au voisinage de \(x = 1\).
Le dénominateur \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) s'annule en \(x=1\). Le numérateur en \(x=1\) vaut \(2(1)^2 - 1 - 3 = -2 \neq 0\). C'est donc bien un pôle.
En \(x = 1^+\) : \(x-1 \to 0^+\) et \(x+1 \to 2 > 0\), donc \((x-1)(x+1) \to 0^+\). Le numérateur tend vers \(-2 < 0\). Donc \(g(x) \to -\infty\).
En \(x = 1^-\) : \(x-1 \to 0^-\) et \(x+1 \to 2\), donc le dénominateur \(\to 0^-\). Avec un numérateur négatif, \(g(x) \to +\infty\).
La droite \(x = 1\) est une asymptote verticale à la courbe de \(g\).
Question 3 — Simplification de \(g\). Montrer que, pour \(x \neq \pm 1\), \(g(x) = \dfrac{2x-3}{x-1}\).
On factorise le numérateur : \(2x^2 - x - 3\). On cherche deux facteurs du type \((2x - a)(x - b)\) avec \(ab = 3\) et \(a + 2b = 1\). On trouve \(a = 3\), \(b = -1\) :
\[ 2x^2 - x - 3 = (2x - 3)(x + 1). \]Le dénominateur \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\). Donc :
\[ g(x) = \frac{(2x-3)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x-3}{x-1} \quad (x \neq -1). \]Question 4 — Limite de \(f\) en \(0\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{3x+4}-2}{x}\).
C'est une forme \(0/0\). On multiplie par la quantité conjuguée \(\sqrt{3x+4}+2\) :
\[ f(x) = \frac{(\sqrt{3x+4}-2)(\sqrt{3x+4}+2)}{x(\sqrt{3x+4}+2)} = \frac{(3x+4)-4}{x(\sqrt{3x+4}+2)} = \frac{3x}{x(\sqrt{3x+4}+2)} = \frac{3}{\sqrt{3x+4}+2}. \]Quand \(x\to 0\) : \(\sqrt{3(0)+4}+2 = \sqrt{4}+2 = 4\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \frac{3}{4}\).
Question 5 — Interprétation graphique. Que représente géométriquement la valeur \(3/4\) trouvée à la question 4 ?
La limite \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}\) est précisément la définition du nombre dérivé de \(h(x) = \sqrt{3x+4}\) en \(x = 0\). En effet, \(h(0) = 2\) et \(\dfrac{\sqrt{3x+4} - 2}{x} \to \dfrac{3}{4}\).
La valeur \(3/4\) est donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(h : x \mapsto \sqrt{3x+4}\) en son point d'abscisse \(0\). Cette tangente a pour équation \(y = \tfrac{3}{4}x + 2\).