Terminale L · Leçon 2
Factorisation des polynômes
Ce que dit le programme officiel (2 points)
- Division d’un polynôme P par Q (degré de P au plus 4) ; méthode de Horner : diviser P(x) par x − a lorsque P(a) = 0, puis le quotient par x − b
- Factoriser ; étudier le signe d’un polynôme, d’une fonction rationnelle
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Méthode de Horner
Rappel de SecondePour factoriser un polynôme par \(x-a\), on peut poser une division ou identifier des coefficients. La méthode de Horner fait le même travail avec un simple tableau de trois lignes, où l'on n'écrit que des nombres : une multiplication et une addition par colonne. Elle donne d'un seul coup la valeur du polynôme en \(a\) et les coefficients du quotient.
Tout polynôme peut s'écrire en mettant \(x\) en facteur de proche en proche. Par exemple
\[2x^3-3x^2-11x+6=\big((2x-3)x-11\big)x+6.\]Pour calculer la valeur en \(a\), on part du premier coefficient, puis on répète : multiplier par \(a\), ajouter le coefficient suivant. Les nombres obtenus en chemin ne sont pas perdus.
Propriété. Soit \(P\) un polynôme de degré \(n\) et \(a\) un réel. Les nombres successifs fournis par ce calcul sont, dans l'ordre, les coefficients du quotient \(Q\) de la division de \(P(x)\) par \(x-a\) (de degré \(n-1\)), et le dernier est le reste, égal à \(P(a)\) :
\[P(x)=(x-a)\,Q(x)+P(a).\]En particulier, si le dernier nombre est 0, alors \(a\) est un zéro de \(P\) et \(P(x)=(x-a)\,Q(x)\).
Première ligne. On écrit tous les coefficients de \(P\), du plus haut degré au terme constant, sans en oublier : une puissance absente compte pour un coefficient 0. On écrit \(a\) à gauche.
Première colonne. On descend le premier coefficient tel quel sur la troisième ligne.
Colonnes suivantes. On multiplie par \(a\) le dernier nombre écrit sur la troisième ligne, on place le produit sur la deuxième ligne de la colonne suivante, puis on additionne les deux nombres de cette colonne : la somme s'écrit sur la troisième ligne. On recommence jusqu'à la dernière colonne.
Lecture. Le dernier nombre de la troisième ligne est \(P(a)\). Les autres sont les coefficients du quotient, dont le degré est celui de \(P\) diminué de 1.
Énoncé. Soit \(P(x)=2x^3-3x^2-11x+6\). À l'aide de la méthode de Horner, calculer \(P(3)\) et factoriser \(P(x)\) par \(x-3\).
Solution : Les coefficients sont \(2\), \(-3\), \(-11\), \(6\) et \(a=3\). On descend 2. Puis \(2\times 3=6\) et \(-3+6=3\) ; \(3\times 3=9\) et \(-11+9=-2\) ; \(-2\times 3=-6\) et \(6+(-6)=0\).
La troisième ligne est \(2\), \(3\), \(-2\), \(0\). Le dernier nombre est \(P(3)=0\) : 3 est un zéro de \(P\). Les trois premiers sont les coefficients du quotient, de degré 2 :
\[P(x)=(x-3)(2x^2+3x-2).\]Contrôle : le terme constant du produit est \(-3\times(-2)=6\), et le terme en \(x^3\) est \(2x^3\).
Figure — Le tableau de Horner de l'exemple 1
Première ligne : les coefficients du polynôme. Deuxième ligne, en or : les produits par 3 du nombre situé en bas de la colonne précédente (flèches en diagonale). Troisième ligne : les sommes de chaque colonne. Les trois premières sommes, en bleu, sont les coefficients du quotient ; la dernière, en vert, est la valeur du polynôme en 3.
Énoncé. Soit \(P(x)=x^4-3x^3+5x-6\). Calculer \(P(2)\) par la méthode de Horner et écrire la division de \(P(x)\) par \(x-2\).
Solution : Le polynôme n'a pas de terme en \(x^2\) : les coefficients sont \(1\), \(-3\), \(0\), \(5\), \(-6\). Avec \(a=2\) : on descend 1 ; \(1\times 2=2\) et \(-3+2=-1\) ; \(-1\times 2=-2\) et \(0+(-2)=-2\) ; \(-2\times 2=-4\) et \(5+(-4)=1\) ; \(1\times 2=2\) et \(-6+2=-4\).
La troisième ligne est \(1\), \(-1\), \(-2\), \(1\), \(-4\). Donc \(P(2)=-4\) : 2 n'est pas un zéro de \(P\), et
\[P(x)=(x-2)(x^3-x^2-2x+1)-4.\]Contrôle direct : \(P(2)=16-24+10-6=-4\).
Énoncé. Soit \(P(x)=x^3+4x^2+x-2\). Vérifier que \(-1\) est un zéro de \(P\), factoriser \(P(x)\), puis résoudre \(P(x)=0\).
Solution : Les coefficients sont \(1\), \(4\), \(1\), \(-2\) et \(a=-1\). On descend 1 ; \(1\times(-1)=-1\) et \(4+(-1)=3\) ; \(3\times(-1)=-3\) et \(1+(-3)=-2\) ; \(-2\times(-1)=2\) et \(-2+2=0\).
Le dernier nombre est 0 : \(P(-1)=0\), et \(P(x)=(x+1)(x^2+3x-2)\). Attention au signe : diviser par \(x+1\), c'est diviser par \(x-(-1)\), donc \(a=-1\).
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : \(x=-1\), ou \(x^2+3x-2=0\). Le discriminant de ce trinôme vaut \(9+8=17\) ; ses racines sont \(\dfrac{-3-\sqrt{17}}{2}\) et \(\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}\). L'équation \(P(x)=0\) a trois solutions.
Oublier un coefficient nul. Dans l'exemple 2, écrire seulement \(1\), \(-3\), \(5\), \(-6\) revient à traiter le polynôme \(x^3-3x^2+5x-6\), qui n'est pas celui de l'énoncé : tout le tableau est faux. On compte les colonnes : un polynôme de degré \(n\) a \(n+1\) coefficients.
Se tromper sur le nombre \(a\). Pour factoriser par \(x+1\), on prend \(a=-1\), et non \(a=1\). Avec \(a=1\) dans l'exemple 3, on trouverait un dernier nombre égal à 4, qui est \(P(1)\).
Additionner au lieu de multiplier, ou l'inverse. Le geste est toujours le même : on multiplie en diagonale (par \(a\)), on additionne dans la colonne. Et l'on n'oublie pas que le degré du quotient est celui du polynôme diminué de 1.
Division euclidienne des polynômes
Rappel de PremièreUn polynôme s'écrit sous forme réduite \(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) avec \(a_n\ne0\) : \(n\) est le degré de \(P\). Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls ; on admet que si un polynôme est nul, tous ses coefficients le sont.
Si \(P(a)=0\), alors \(P(x)=(x-a)Q(x)\) pour un polynôme \(Q\) de degré \(n-1\).
Pour \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne0\)) de racines \(x_1,x_2\) (éventuellement égales) :
\[ x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}. \]Utile pour retrouver rapidement des racines évidentes, ou pour construire un trinôme à partir de deux racines données.
Diviser \(P(x)=2x^3-3x^2+4x-1\) par \(D(x)=x-1\).
On dispose la division comme pour les entiers : \(2x^3\div x = 2x^2\), on multiplie et soustrait, on répète.
\[ \begin{aligned} 2x^3-3x^2+4x-1 &= (x-1)(2x^2) + (-x^2+4x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x) + (3x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x+3) + 2 \end{aligned} \]Quotient \(2x^2-x+3\), reste \(2\) (constant, degré \(<1\)).
Racine évidente. \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\) : \(P(1)=1-6+11-6=0\). On divise par \((x-1)\) : \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\).
Fraction rationnelle. Simplifier \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}\). On factorise : numérateur \((x-2)(x+2)\), dénominateur \((x-2)(x+1)\) (car somme des racines \(1\), produit \(-2\) : racines \(2\) et \(-1\)). Pour \(x\ne2\) : \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}=\dfrac{x+2}{x+1}\).
Signe d'un produit ou d'un quotient, tableau de signes
Rappel de SecondeSi \(\Delta>0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe opposé entre les racines. Règle mnémotechnique : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».
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Résumé
Descendre le premier coefficient, puis répéter : multiplier par \(a\), ajouter le coefficient suivant.
Dernier nombre : \(P(a)\). Les autres : coefficients du quotient par \(x-a\).
Si le dernier nombre est 0, alors \(P(x)=(x-a)\,Q(x)\).
Écrire un 0 pour chaque puissance absente ; pour \(x+1\), prendre \(a=-1\).
Injective : au plus 1 antécédent. Surjective : au moins 1. Bijective : exactement 1 → réciproque \(f^{-1}\) existe.
\(x_1+x_2=-b/a\), \(x_1x_2=c/a\) pour \(ax^2+bx+c=0\).
\(P=DQ+R\) avec \(\deg R < \deg D\). Base de toute factorisation avec une racine connue.
Toujours factoriser numérateur et dénominateur avant de simplifier — jamais de simplification terme à terme.
Sujet type Bac
On considère \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\).
Question 1. Vérifier que \(1\) est une racine de \(P\), puis effectuer la division euclidienne de \(P(x)\) par \((x-1)\).
\(P(1)=1-2-5+6=0\). Division : \(P(x)=(x-1)(x^2-x-6)\).
Question 2. Calculer la somme et le produit des racines de \(x^2-x-6\), puis factoriser complètement \(P(x)\).
Somme \(=1\), produit \(=-6\) : les racines sont \(3\) et \(-2\) (\(3+(-2)=1\), \(3\times(-2)=-6\)). Donc \(P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)\).
Question 3. Soit \(f(x)=2x+5\) sur \(\mathbb R\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer \(f^{-1}\).
\(f\) est affine de coefficient directeur \(2\ne0\) : sa courbe est une droite non horizontale, donc \(f\) est bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\). En posant \(y=2x+5\) : \(x=\dfrac{y-5}{2}\), donc \(f^{-1}(y)=\dfrac{y-5}{2}\).