Terminale L · Leçon 8
Fonction logarithme népérien
Exercices corrigés
Équation avec logarithme
Exercice 1 — Équation avec logarithme
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x)=3$.
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- Passage à l'exponentielle
$\ln(x)=3 \iff x=e^{3}$ (réciprocité de $\ln$ et $\exp$). - Résultat
$\mathbb{S}=\{e^{3}\}$.
Équation logarithmique directe
Exercice 2 — Équation logarithmique directe
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(5x-3)=\ln(x+9)$.
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- Domaine
$5x-3>0$ et $x+9>0$, soit $x>\dfrac35$. - Résolution
$5x-3=x+9 \iff 4x=12 \iff x=3$. Comme $3>\dfrac35$, la solution est valide. - Résultat
$\mathbb{S}=\{3\}$.
Propriétés algébriques du logarithme
Exercice 3 — Propriétés algébriques
Calculer, sans calculatrice, $\ln(8)-\ln(2)+\ln\!\left(\dfrac14\right)$.
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- Écriture en puissances de $2$
$\ln 8=\ln(2^3)=3\ln2$ ; $\ln\!\left(\dfrac14\right)=\ln(2^{-2})=-2\ln2$. - Somme
$$3\ln2-\ln2-2\ln2 = (3-1-2)\ln2 = 0.$$ - Résultat
$\ln(8)-\ln(2)+\ln\!\left(\dfrac14\right) = 0$.
Variations de $\ln(x)-x^2$
Exercice 4 — Étude de variations
Étudier les variations de $f(x)=\ln(x)-x^{2}$ sur $]0\,;+\infty[$ (dérivée, signe, valeur du maximum).
Une inégalité classique : $\ln x < x$
Exercice 6 — Une inégalité classique
Étudier $g(x)=x-\ln(x)$ sur $]0\,;+\infty[$, montrer que $g(x)\ge1$ pour tout $x>0$, et en déduire que $\ln(x) < x$ pour tout $x>0$.
Inéquation logarithmique
Exercice 5 — Inéquation logarithmique
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(3x+1) > 2$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.