Factorisation des polynômes

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le polynôme $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$ s'annule en $x=1$. Le quotient de la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-1)$ est :
a) $x^2-5x+6$   b) $x^2-5x-6$   c) $x^2+5x+6$   d) $x^2-6x+11$

2) Le trinôme $x^2+2x-15$ a pour racines :
a) $3$ et $-5$   b) $-3$ et $5$   c) $5$ et $3$   d) $-3$ et $-5$

3) Pour $x\neq-4$ et $x\neq-2$, la fraction $\dfrac{x^2-16}{x^2-2x-8}$ se simplifie en :
a) $\dfrac{x+4}{x+2}$   b) $\dfrac{x-4}{x+2}$   c) $\dfrac{x+4}{x-2}$   d) $\dfrac{x-4}{x-2}$

4) Le trinôme $x^2-9x+20$ se factorise en :
a) $(x-4)(x-5)$   b) $(x-4)(x+5)$   c) $(x+4)(x-5)$   d) $(x-2)(x-10)$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un coopérative agricole de la région des Hauts-Bassins dispose d'une parcelle rectangulaire pour la culture du coton. Le périmètre de la parcelle est fixé à $200$ m par la clôture déjà achetée. On note $x$ la longueur (en mètres) d'un des côtés.

Le rendement de la parcelle, en tonnes, est modélisé par la fonction $R(x) = -\dfrac{1}{250}x^3+\dfrac{2}{5}x^2-20x$ pour $x\in]0;100[$, une fois la largeur exprimée en fonction de $x$ et le modèle agronomique de la coopérative appliqué.

Le président de la coopérative sait que $R(x)$ s'annule pour $x=50$ (largeur = longueur, parcelle carrée) et souhaite savoir s'il existe d'autres largeurs qui annuleraient le rendement modélisé, ce qui indiquerait une erreur dans le choix de $x$.

Consigne : Vérifier que $x=50$ est bien racine de l'équation $R(x)=0$, factoriser complètement le polynôme obtenu, puis dire pour quelles valeurs de $x$ dans $]0;100[$ le président doit éviter de choisir sa longueur.

Problème — Soit $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$.

Partie A. 1) Vérifier que $1$ est racine de $P$. 2) Déterminer les réels $a,b,c$ tels que $P(x)=(x-1)(x^2+ax+b)$. 3) Résoudre l'équation $P(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.

Partie B. On considère l'application $f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{P(x)}{x-2}$. 1) Simplifier l'expression de $f(x)$ (on effectuera la division euclidienne de $P(x)$ par $x-2$). 2) En déduire le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$, à l'aide des résultats de la Partie A. 3) L'application $g:[3;+\infty[\to\mathbb{R}$ définie par $g(x)=f(x)$ est-elle injective ? Justifier à l'aide du signe de $f'$.

Problème — Soit $Q(x)=x^3-3x^2-4x+12$.

Partie A. 1) Vérifier que $2$ est racine de $Q$. 2) Déterminer les réels $a,b$ tels que $Q(x)=(x-2)(x^2+ax+b)$. 3) Résoudre l'équation $Q(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.

Partie B. On considère $f:\mathbb{R}\setminus\{-2\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{Q(x)}{x+2}$. 1) Simplifier l'expression de $f(x)$ à l'aide de la Partie A. 2) Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. 3) L'application $g:[3;+\infty[\to\mathbb{R}$ définie par $g(x)=f(x)$ est-elle injective ? Justifier à l'aide du signe de $f'$.