Terminale L · Leçon 7
Étude de fonctions
Exercices corrigés
Asymptotes d'une fonction rationnelle
Exercice 2 — Asymptotes
Déterminer les asymptotes de $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$.
Voir le corrigé
- Réécriture
$$f(x) = \frac{(x+1)-3}{x+1} = 1-\frac{3}{x+1}.$$ - Asymptote verticale
En $x=-1$ (le dénominateur s'annule) : asymptote $x=-1$. - Asymptote horizontale
Quand $x\to\pm\infty$, $\dfrac{3}{x+1}\to0$, donc $f(x)\to1$ : asymptote $y=1$.
Étude de fonction rationnelle — limites et variations
Exercice 4 — Étude de fonction rationnelle
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2}$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)$. Interpréter graphiquement.
3. Montrer que $f(x) = x + 1$ pour $x \neq 2$. En déduire la représentation graphique de $f$.
4. Étudier les variations de $f$ sur chacun de ses intervalles de définition.
Étude complète d'un polynôme de degré 3
Exercice 3 — Étude complète
Étudier complètement $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ (dérivée, signe, variations, valeurs remarquables).
Voir le corrigé
- Dérivée factorisée
$f'(x) = 3x^2-3 = 3(x-1)(x+1)$. - Signe
$f'(x)>0$ sur $]-\infty\,;-1[$, $f'(x)<0$ sur $]-1\,;1[$, $f'(x)>0$ sur $]1\,;+\infty[$. - Variations et valeurs
$f$ croît, décroît, croît ; maximum local $f(-1)=2$, minimum local $f(1)=-2$.
Étude complète avec courbe représentative — type Bac
Exercice 5 — Étude complète — type Bac
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x - 2\sqrt{x} + 1$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de $f$.
3. Montrer que $f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2$ et en déduire le signe de $f(x)$.
4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 4$.
5. Tracer la courbe représentative de $f$ sur $]0\,;\,9]$.
Fonction rationnelle : domaine, asymptotes, variations
Exercice 4 — Étude d'une fonction rationnelle
Étudier $f(x)=\dfrac{2x-3}{x-2}$ : domaine, asymptotes, sens de variation (via la dérivée du quotient).
Étude complète d'un polynôme de degré 4
Exercice 5 — Étude d'un polynôme de degré 4
Étudier $f(x)=x^4-8x^2+7$ : dérivée factorisée, tableau de signes, variations et valeurs remarquables.
Synthèse : fraction rationnelle et dérivée composée
Exercice 6 — Synthèse
Étudier $f(x)=\dfrac{3x+2}{2x-6}$ : domaine, asymptotes, et sens de variation (dérivée via la forme $\dfrac{3}{2}+\dfrac{11}{2x-6}$).