Terminale L · Leçon 6
Dérivabilité
Exercices corrigés
Dérivée d'une fonction composée affine
Exercice 1 — Dérivée composée
Calculer la dérivée de $f(x)=(3x-2)^4$.
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- Application de la formule
Avec $u(x)=3x-2$ (donc $a=3$) : $$f'(x) = 4\times3\times(3x-2)^3.$$ - Résultat
$f'(x) = 12(3x-2)^3$.
Équation d'une tangente
Exercice 2 — Équation d'une tangente
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2-3x+2$ au point d'abscisse $x_0=1$.
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- Valeurs nécessaires
$f(1)=1-3+2=0$. $f'(x)=2x-3$, donc $f'(1)=-1$. - Équation de la tangente
$$y = f'(1)(x-1)+f(1) = -1(x-1)+0 = -x+1.$$
Variations d'un polynôme du second degré
Exercice 1 — Variations d'un polynôme
Étudier le signe de $f'(x)$ pour $f(x)=x^2-4x+3$ et en déduire ses variations sur $\mathbb{R}$.
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- Dérivée
$f'(x) = 2x-4 = 2(x-2)$. - Signe et variations
$f'(x)>0 \iff x>2$. $f$ décroît sur $]-\infty\,;2]$, croît sur $[2\,;+\infty[$. - Minimum
$f(2) = 4-8+3 = -1$.
Dérivée et domaine d'une racine composée
Exercice 4 — Dérivée et domaine
Calculer la dérivée de $f(x)=\sqrt{4-2x}$, puis déterminer le domaine de définition de $f$ et de $f'$.
Dérivée d'une exponentielle composée
Exercice 5 — Exponentielle composée
Soit $f(x)=e^{-2x+3}$. Calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Synthèse : logarithme composé et signe
Exercice 6 — Synthèse logarithme
Soit $f(x)=\ln(2x+6)-x$. Déterminer le domaine de définition, calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire les variations de $f$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.