Terminale L · Leçon 1
Composition des applications
Exercices corrigés
Calculer des composées
Soient \(f(x)=x-3\) et \(g(x)=\sqrt x\).
1) Exprime \(g\circ f(x)\) et \(f\circ g(x)\), et donne leurs ensembles de définition.
2) Calcule \(g\circ f(7)\) et \(f\circ g(16)\).
Voir le corrigé
1) \(g\circ f(x)=\sqrt{x-3}\), définie pour \(x-3\ge0\), soit \(x\in[3\,;+\infty[\). \(f\circ g(x)=\sqrt x-3\), définie pour \(x\ge0\).
2) Pour \(g\circ f(7)\), on applique d'abord \(f\) : \(f(7)=7-3=4\), puis \(g\) : \(g(4)=\sqrt4=2\). Pour \(f\circ g(16)\), on applique d'abord \(g\) : \(g(16)=4\), puis \(f\) : \(f(4)=4-3=1\). Les deux résultats diffèrent, comme les deux fonctions.
Réponse : \(g\circ f(x)=\sqrt{x-3}\) sur \([3\,;+\infty[\) ; \(f\circ g(x)=\sqrt x-3\) sur \([0\,;+\infty[\) ; valeurs 2 et 1.
Décomposer des fonctions
1) Écris \(h(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\) sous la forme \(v\circ u(x)\) avec deux fonctions simples, et calcule \(h(2)\).
2) Avec les mêmes fonctions, calcule \(u\circ v(2)\) et compare avec \(h(2)\).
Voir le corrigé
1) \(u(x)=x^2+1\) puis \(v(X)=\dfrac1X\) : \(h=v\circ u\). \(h(2)=\dfrac1{5}=0{,}2\).
2) \(u\circ v(2)=u\left(\dfrac12\right)=\dfrac14+1=1{,}25\), différent de \(0{,}2\) : l'ordre de composition compte.
Réponse : \(h=v\circ u\) avec \(u(x)=x^2+1\), \(v(X)=\frac1X\) ; \(h(2)=0{,}2\) ; \(u\circ v(2)=1{,}25\).