Terminale L · Leçon 11
Calcul intégral
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Calcul intégral
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Primitives usuelles — tableau de référence
Exercice 1 — Primitives usuelles
Déterminer une primitive $F(x)$ de chacune des fonctions suivantes :
1. $f(x) = 4x^3 - 2x + 5$
2. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;\,+\infty[$
3. $f(x) = \cos x + 2\sin x$
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- Primitive de $4x^3 - 2x + 5$ : On intègre terme à terme en utilisant $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. $$\boxed{F(x) = x^4 - x^2 + 5x + C}$$
- Primitive de $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$ : $$F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = \boxed{-\frac{1}{x} + C}$$
- Primitive de $\cos x + 2\sin x$ : $$\boxed{F(x) = \sin x - 2\cos x + C}$$
Intégrales définies et interprétation géométrique
Exercice 2 — Intégrales définies
Calculer les intégrales suivantes :
1. $\displaystyle I = \int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$
2. $\displaystyle J = \int_1^e \frac{2}{x}\,dx$
3. Interpréter géométriquement $I$ : quelle aire représente-t-il ?
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- Calcul de $I$ : $$I = \left[x^3 - x^2 + x\right]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = \boxed{6}$$
- Calcul de $J$ : $$J = \left[2\ln x\right]_1^e = 2\ln e - 2\ln 1 = 2 \times 1 - 0 = \boxed{2}$$
- Interprétation géométrique : Comme $f(x) = 3x^2 - 2x + 1 > 0$ sur $[0\,;\,2]$, $I = 6$ représente l'aire (en unités d'aire) de la surface délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$.
Intégrale d'un polynôme
Exercice 1 — Intégrale d'un polynôme
Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx$.
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- Primitive
Une primitive de $3x^2-2x+1$ est $x^3-x^2+x$. - Évaluation
$$\big[x^3-x^2+x\big]_0^2 = (8-4+2)-0 = 6.$$ - Résultat
$\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx = 6$.
Intégrale de $1/x$
Exercice 2 — Intégrale de $1/x$
Calculer $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$.
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- Primitive
Une primitive de $1/x$ sur $]0;+\infty[$ est $\ln x$. - Évaluation
$$\big[\ln x\big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1-0 = 1.$$ - Résultat
$\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = 1$.
Aire entre deux courbes — intersection et calcul
Exercice 4 — Aire entre deux courbes
Soient $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$.
1. Déterminer les points d'intersection de leurs courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
2. Étudier le signe de $g(x) - f(x)$ sur l'intervalle délimité par ces points.
3. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la surface comprise entre les deux courbes.
4. Représenter graphiquement les deux courbes et identifier la surface calculée.
Intégrale, changement de variable et aire — niveau Bac
Exercice 6 — Changement de variable et aire — niveau Bac
Soit $f$ définie sur $[0\,;\,1]$ par $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$.
1. Montrer que $f(x) \geq 0$ sur $[0\,;\,1]$.
2. Calculer $f'(x)$. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,1]$.
3. Calculer $I = \displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\,dx$ en posant le changement de variable $u = 1 - x^2$.
4. Interpréter géométriquement : l'aire calculée correspond-elle à un quart de disque ? Comparer avec $\dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785$.
5. En déduire une encadrement de $I$ et vérifier votre calcul.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.