Terminale C · Leçon 16
Variables aléatoires
Exercices corrigés
Schéma de Bernoulli — loi binomiale
Exercice 5 — Test qualité répété
Sur une chaîne de production, chaque pièce testée est conforme avec la probabilité $p = 0{,}8$, indépendamment des autres. On teste $n=4$ pièces. Soit $X$ le nombre de pièces conformes parmi les 4.
1. Justifier que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(4\,;0{,}8)$.
2. Calculer $P(X=3)$ puis $P(X=4)$.
3. En déduire $P(X\geqslant 3)$.
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- Reconnaître le schéma de Bernoulli
On répète $4$ fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues (conforme / non conforme) de probabilité de succès $p=0{,}8$ constante : c'est un schéma de Bernoulli, donc $X \sim \mathcal{B}(4\,;0{,}8)$. - Calcul direct des probabilités
$$P(X=3) = \binom{4}{3}p^3(1-p)^1 = 4\times0{,}512\times0{,}2 = 0{,}4096.$$ $$P(X=4) = p^4 = 0{,}8^4 = 0{,}4096.$$ - Somme des événements incompatibles
$$P(X\geqslant 3) = P(X=3)+P(X=4) = 0{,}4096+0{,}4096 = 0{,}8192.$$
Variable aléatoire — espérance, variance et écart-type
Exercice 6 — Un jeu est-il favorable au joueur ?
Un jeu coûte 2 points de mise. On lance un dé cubique équilibré : si on obtient 6, le joueur reçoit 6 points ; sinon il ne reçoit rien. Soit $X$ le gain net du joueur (mise déduite).
1. Donner la loi de probabilité de $X$.
2. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.
3. Calculer la variance $V(X)$ puis l'écart-type $\sigma(X)$.
4. Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.
Loi, espérance, variance et fonction de répartition
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires, indiscernables au toucher. On tire simultanément 2 boules. On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.
1) Quelles valeurs \(X\) peut-elle prendre ? Détermine la loi de probabilité de \(X\).
2) Calcule l'espérance mathématique, la variance et l'écart-type de \(X\).
3) Détermine la fonction de répartition \(F\) de \(X\), définie par \(F(x)=P(X\le x)\), puis utilise-la pour retrouver la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge.
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1) \(X\) prend les valeurs 0, 1 et 2. Le nombre de tirages possibles est \(C_5^2=10\), tous équiprobables. Aucune rouge : on choisit 2 noires parmi 2, \(C_2^2=1\) tirage, donc \(P(X=0)=\dfrac{1}{10}\). Une rouge : une rouge parmi 3 et une noire parmi 2, \(3\times 2=6\) tirages, donc \(P(X=1)=\dfrac{6}{10}\). Deux rouges : \(C_3^2=3\) tirages, donc \(P(X=2)=\dfrac{3}{10}\). La somme des trois probabilités vaut bien 1.
2) \(E(X)=0\times\dfrac{1}{10}+1\times\dfrac{6}{10}+2\times\dfrac{3}{10}=\dfrac{12}{10}=1{,}2\). Puis \(E(X^2)=0+1\times\dfrac{6}{10}+4\times\dfrac{3}{10}=1{,}8\), donc \(V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=1{,}8-1{,}44=0{,}36\). L'écart-type est \(\sigma(X)=\sqrt{0{,}36}=0{,}6\).
3) On cumule les probabilités. Pour \(x\lt 0\), \(F(x)=0\). Pour \(0\le x\lt 1\), \(F(x)=P(X=0)=0{,}1\). Pour \(1\le x\lt 2\), \(F(x)=0{,}1+0{,}6=0{,}7\). Pour \(x\ge 2\), \(F(x)=1\). La fonction \(F\) est en escalier et croissante. « Au moins une rouge » est l'événement contraire de \(X\le 0\) : sa probabilité est \(1-F(0)=1-0{,}1=0{,}9\).
Réponse : \(P(X=0)=\dfrac{1}{10}\), \(P(X=1)=\dfrac{6}{10}\), \(P(X=2)=\dfrac{3}{10}\) ; \(E(X)=1{,}2\), \(V(X)=0{,}36\), \(\sigma(X)=0{,}6\) ; \(F\) vaut 0 avant 0, puis 0,1 sur \([0\,;1[\), 0,7 sur \([1\,;2[\) et 1 à partir de 2 ; la probabilité d'obtenir au moins une rouge est 0,9.
Répondre au hasard à un questionnaire : la loi binomiale
Un questionnaire comporte 5 questions indépendantes. Pour chacune, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Un candidat répond au hasard à toutes les questions. On note \(X\) le nombre de bonnes réponses.
1) Justifie que \(X\) suit une loi binomiale et précise ses paramètres.
2) Calcule \(P(X=0)\) et \(P(X=1)\) sous forme de fractions.
3) Déduis-en la probabilité que le candidat ait au moins deux bonnes réponses.
4) Calcule l'espérance et la variance de \(X\). Une bonne réponse rapporte 2 points et une mauvaise en retire 0,5. Quelle note le candidat peut-il espérer en moyenne ?
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.