Terminale C · Leçon 8
Fonctions logarithmes
Ce que dit le programme officiel (14 points)
- Fonction logarithme népérien : définition
- Premières propriétés algébriques
- Dérivée
- Limites
- Représentation graphique
- Définir la fonction logarithme népérien
- Utiliser les propriétés de la fonction logarithme népérien lors de la résolution des problèmes
- Utiliser la dérivée de la fonction x ↦ ln o u(x)
- Utiliser les limites suivantes, avec α > 0 : lim x^α ln x = 0 en 0 ; lim (ln x) / x^α = 0 en + ∞ ; lim ln(x + 1) / x = 1 en 0 ; lim (ln x) / (x – 1) = 1 en 1
- Représenter graphiquement la fonction logarithme népérien
- Fonction logarithme de base a
- Étudier et représenter la fonction logarithme de base a (a ∈ ℝ+* – {1})
- Limite : le logarithme népérien est introduit comme la primitive sur ℝ+* de la fonction x ↦ 1/x qui s’annule en x = 1
- Limite : la fonction logarithme de base a (a ∈ ℝ+* – {1}) est définie par le quotient ln x / ln a ; on insiste sur le cas particulier a = 10
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Fonction logarithme népérien : définition, propriétés algébriques
La fonction \(\ln\) naît d'un besoin précis : trouver une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (chapitre II) ; on choisit celle qui s'annule en 1 — ce choix de normalisation est la définition.
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est l'unique primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) vérifiant \(\ln 1 = 0\).
Par construction : \((\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0\) pour tout \(x > 0\), donc \(\ln\) est strictement croissante.
Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\) :
\[\ln(ab) = \ln a + \ln b.\]Idée : les deux membres ont la même dérivée en \(b\) (en fixant \(a\)) et la même valeur en \(b = 1\). Par unicité de la primitive avec condition initiale, ils sont égaux.
Pour \(a > 0\), \(b > 0\) et \(n \in \mathbb{Z}\) :
\[\ln\frac{1}{b} = -\ln b \qquad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^n) = n\ln a \qquad \ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a.\]- \(\ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2\).
- \(\ln\dfrac{e^2}{3} = \ln(e^2) - \ln 3 = 2 - \ln 3\).
- \(\ln\sqrt{e} = \dfrac{1}{2}\ln e = \dfrac{1}{2}\).
- \(\ln\dfrac{1}{x^3} = -3\ln x\) pour \(x > 0\).
Comme \(\ln\) est continue, strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) avec des limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes, elle prend toutes les valeurs réelles. Il existe donc un unique réel strictement positif dont le logarithme vaut 1 :
\[\ln e = 1, \qquad e \approx 2{,}718\,28\ldots\]Signe de \(\ln x\) : négatif sur \(]0\,;1[\), nul en 1, positif sur \(]1\,;+\infty[\).
- Déterminer l'ensemble de validité : arguments de \(\ln\) strictement positifs.
- Utiliser la stricte croissance : \(\ln a = \ln b \Leftrightarrow a = b\) et \(\ln a \le \ln b \Leftrightarrow a \le b\).
- Conclure en précisant l'ensemble de définition.
Résoudre \(\ln(2x-1) = \ln(x+3)\).
Validité : \(2x-1 > 0\) et \(x+3 > 0\), donc \(x > \dfrac{1}{2}\).
Par stricte croissance : \(2x-1 = x+3\), soit \(x = 4\). On vérifie \(4 > \dfrac{1}{2}\). Solution : \(\boxed{x = 4}\).
Résoudre \(\ln(x^2 - 3) \ge \ln(2x)\).
Validité : \(x^2-3 > 0\) et \(2x > 0\), donc \(x > \sqrt{3}\).
Par stricte croissance : \(x^2-3 \ge 2x\), soit \((x-3)(x+1) \ge 0\). Sur \(]\sqrt{3}\,;+\infty[\), cela donne \(x \ge 3\). Solution : \(\boxed{x \ge 3}\).
L'égalité \(\ln(x^2) = 2\ln x\) n'est valable que pour \(x > 0\). Pour \(x < 0\), \(\ln(x^2) = 2\ln(-x) \neq 2\ln x\). L'ensemble de validité s'impose avant toute manipulation algébrique.
Figure interactive — La fonction logarithme népérien
tangente en \(x = a\)
propriétés algébriques
Déplacer le curseur pour faire varier le point \(a\)
La pente de la tangente en \(x=a\) vaut \(f'(a) = 1/a\) : grande pour \(a\) proche de 0, elle tend vers 0 quand \(a\) grandit. Le point \((e\,;\,1)\) et le point \((1\,;\,0)\) sont les deux repères fondamentaux de la courbe.
Équations et inéquations avec ln
- Domaine de validité \(\mathcal{D}\) — tous les arguments de \(\ln\) doivent être \(>0\)
- Résoudre — utiliser les propriétés algébriques et la croissance de \(\ln\)
- Conclure — rejeter les solutions hors \(\mathcal{D}\), écrire l'ensemble solution \(S\)
\[\ln(A)=\ln(B)\Longleftrightarrow A=B \qquad \ln(A)<\ln(B)\Longleftrightarrow A<B\]
Dom. : \(2x-1>0\) et \(x+3>0\) → \(\mathcal{D}=\left]\tfrac{1}{2};+\infty\right[\)
Résol. : \(2x-1=x+3\Rightarrow x=4\in\mathcal{D}\)
\(S=\{4\}\)
\(\ln x>\ln(e^2)\Leftrightarrow x>e^2\) → \(S=\;]e^2;+\infty[\)
Dom. : \(x^2-4>0\) et \(3x>0\) → \(\mathcal{D}=\;]2;+\infty[\)
Résol. : \(x^2-3x-4=0\Rightarrow x=-1\) (rejeté, hors \(\mathcal{D}\)) ou \(x=4\)
\(S=\{4\}\)
\(\ln(x(x-1))=\ln 2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=2\) (valide) ou \(x=-1\) (rejeté)
\(S=\{2\}\)
Dom. : \(x>-1\) et \(x<5\) → \(\mathcal{D}=]-1\,;\,5[\)
Résol. : \(x+1\leq 5-x\Rightarrow x\leq 2\)
\(S=]-1\,;\,2]\)
- Utiliser \(\ln A=\ln B\Rightarrow A=B\) sans avoir vérifié \(A>0\) et \(B>0\)
- Oublier l'intersection avec \(\mathcal{D}\) à l'étape de conclusion
- Regrouper \(\ln A+\ln B\) sans vérifier que \(A,B>0\)
Avant tout calcul impliquant \(\ln\), déterminer et écrire explicitement \(\mathcal{D}=\ldots\)
- Identifier tous les \(\ln\) présents
- Écrire les conditions : chaque argument \(>0\)
- Résoudre chaque inéquation
- Faire l'intersection des conditions
- Écrire \(\mathcal{D}=\ldots\)
\(x^2-4>0\Leftrightarrow|x|>2\) → \(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[\)
Erreur fréquente : écrire \(]-2\,;\,2[\) qui est l'ensemble interdit.
\(\mathcal{D}=\left]\frac{5}{2}\,;\,+\infty\right[\)
Tableau de signes de \(\dfrac{x}{x+1}\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | −1 | 0 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\) | − | − | 0 | + | |||
| \(x+1\) | − | || | + | + | |||
| \(\frac{x}{x+1}\) | + | || | − | 0 | + |
\(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[\)
\(x>0\) ET \(x>2\) → intersection → \(\mathcal{D}=]2\,;\,+\infty[\)
Erreur : faire l'union au lieu de l'intersection.
\(e^x>1=e^0\Rightarrow x>0\) → \(\mathcal{D}=]0\,;\,+\infty[\)
- Oublier de déterminer et d'écrire le domaine de définition
- Écrire \(\ln(a+b)=\ln a+\ln b\) — FAUX
- Oublier \(u'\) dans \((\ln u)'=u'/u\)
- Confondre \(\ln(x^2)\) et \((\ln x)^2\)
- Ne pas utiliser les croissances comparées pour les formes indéterminées en \(\pm\infty\)
- Commencer par écrire \(\mathcal{D}=\ldots\) avant tout calcul
- Simplifier avec les 5 propriétés avant de dériver
- Vérifier l'appartenance au domaine (étape 3 des équations)
- Utiliser la croissance de \(\ln\) pour les inéquations
- Invoquer les croissances comparées dès que \(\ln\) concurrence une puissance
Logarithme de base a
Le logarithme népérien répond à la question « à quelle puissance faut-il élever \(e\) pour obtenir \(x\) ? ». On peut poser la même question avec 2, avec 10 ou avec n'importe quel réel \(a\) strictement positif et différent de 1 : la réponse est le logarithme de base \(a\). Toutes ces fonctions se déduisent de \(\ln\) par une simple division.
Soit \(a\) un réel strictement positif et différent de 1. La fonction logarithme de base \(a\), notée \(\log_a\), est définie sur \(]0\,;+\infty[\) par
\[\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}.\]La condition \(a\neq 1\) est indispensable : \(\ln 1=0\) et l'on ne divise pas par zéro.
Premières valeurs. \(\log_a(1)=0\) et \(\log_a(a)=1\). Pour tout entier relatif \(n\), \(\log_a(a^n)=\dfrac{n\ln a}{\ln a}=n\) : le logarithme de base \(a\) d'une puissance de \(a\) est son exposant. Ainsi \(\log_2 8=3\) car \(8=2^3\), et \(\log_3 81=4\) car \(81=3^4\).
Deux cas particuliers. Pour \(a=e\), on retrouve le logarithme népérien : \(\log_e=\ln\). Pour \(a=10\), on obtient le logarithme décimal, noté simplement \(\log\) : \(\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}\), et \(\log(10^n)=n\). C'est le logarithme des sciences expérimentales.
Pour tous réels \(x\gt 0\) et \(y\gt 0\), et pour tout nombre rationnel \(r\) :
- \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\) ;
- \(\log_a\left(\dfrac xy\right)=\log_a x-\log_a y\) et \(\log_a\left(\dfrac1y\right)=-\log_a y\) ;
- \(\log_a(x^r)=r\log_a x\).
Ces égalités s'obtiennent en divisant par \(\ln a\) les propriétés correspondantes de \(\ln\).
Changement de base. Si \(b\) est un autre réel strictement positif et différent de 1, alors pour tout \(x\gt 0\) :
\[\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}.\]En effet, \(\dfrac{\log_b x}{\log_b a}=\dfrac{\ln x}{\ln b}\times\dfrac{\ln b}{\ln a}=\dfrac{\ln x}{\ln a}\). Une calculatrice qui ne possède que les touches « ln » et « log » suffit donc pour tous les logarithmes.
Base inverse. Comme \(\ln\dfrac1a=-\ln a\), on a \(\log_{\frac1a}(x)=-\log_a(x)\).
Énoncé. a) Calculer sans calculatrice \(\log_2 32\), \(\log_3\dfrac19\), \(\log_4 8\), \(\log_{\frac12}8\) et \(\log_5\sqrt5\). b) Donner une valeur approchée de \(\log_2 10\) et de \(\log_3 20\).
Solution : a) \(32=2^5\), donc \(\log_2 32=5\). \(\dfrac19=3^{-2}\), donc \(\log_3\dfrac19=-2\). Pour \(\log_4 8\), on revient à la définition : \(\dfrac{\ln 8}{\ln 4}=\dfrac{3\ln 2}{2\ln 2}=\dfrac32\). Ensuite \(\log_{\frac12}8=-\log_2 8=-3\). Enfin \(\sqrt5=5^{\frac12}\), donc \(\log_5\sqrt5=\dfrac12\).
b) \(\log_2 10=\dfrac{\ln 10}{\ln 2}\approx 3{,}322\). On peut aussi écrire \(\log_2 10=\dfrac{\log 10}{\log 2}=\dfrac{1}{\log 2}\), ce qui donne la même valeur. De même \(\log_3 20=\dfrac{\ln 20}{\ln 3}\approx 2{,}727\) : résultat cohérent, puisque 20 est compris entre \(3^2=9\) et \(3^3=27\).
La fonction \(\log_a\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et, pour tout \(x\gt 0\),
\[(\log_a)'(x)=\frac{1}{x\ln a}.\]Le signe de cette dérivée est celui de \(\ln a\). Il y a donc deux cas.
| \(a\gt 1\) (\(\ln a\gt 0\)) | \(0\lt a\lt 1\) (\(\ln a\lt 0\)) | |
|---|---|---|
| Sens de variation | strictement croissante | strictement décroissante |
| Limite en \(0^+\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
| Limite en \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| Signe de \(\log_a x\) | négatif sur \(]0\,;1[\), positif sur \(]1\,;+\infty[\) | positif sur \(]0\,;1[\), négatif sur \(]1\,;+\infty[\) |
Courbe. Dans les deux cas, la courbe passe par les points \((1\,;0)\) et \((a\,;1)\), et l'axe des ordonnées est asymptote. Les courbes de \(\log_a\) et de \(\log_{\frac1a}\) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, puisque \(\log_{\frac1a}=-\log_a\).
Figure — Logarithmes de bases 2, 10 et un demi
En marine, \(\log_2\) ; en bleu, \(\log_{10}\) ; en or, \(\log_{\frac12}\). Les trois courbes passent par \((1\,;0)\). Les deux premières (bases supérieures à 1) montent, la troisième (base inférieure à 1) descend : elle est la symétrique de la courbe de \(\log_2\) par rapport à l'axe des abscisses. Les points marqués \((2\,;1)\) et \((2\,;-1)\) l'illustrent.
1. Revenir à \(\ln\). Remplacer \(\log_a(u)\) par \(\dfrac{\ln u}{\ln a}\) : le nombre \(\dfrac{1}{\ln a}\) est une constante, et tout ce que l'on sait sur \(\ln\) (dérivée, limites) s'applique.
2. Regarder le signe de \(\ln a\). Il est positif si \(a\gt 1\), négatif si \(0\lt a\lt 1\) : il fixe le sens de variation et le sens des inégalités.
3. Pour une équation, écrire les conditions d'existence, puis utiliser \(\log_a A=\log_a B\iff A=B\), ou \(\log_a x=k\iff x=a^k\) lorsque \(k\) est un entier relatif (sinon \(x=e^{k\ln a}\)).
4. Pour une inéquation : si \(a\gt 1\), \(\log_a A\lt\log_a B\iff A\lt B\) ; si \(0\lt a\lt 1\), le sens change : \(\log_a A\lt\log_a B\iff A\gt B\).
Énoncé. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=\log_{\frac12}(x)\). a) Étudier ses variations et ses limites. b) Donner l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1. c) Résoudre \(f(x)\gt 2\).
Solution : a) \(f(x)=\dfrac{\ln x}{\ln\frac12}=-\dfrac{\ln x}{\ln 2}\), avec \(\ln 2\approx 0{,}693\). Donc \(f'(x)=-\dfrac{1}{x\ln 2}\lt 0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(]0\,;+\infty[\). Comme \(\ln x\) tend vers \(-\infty\) en \(0^+\) et vers \(+\infty\) en \(+\infty\), \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(0^+\) et vers \(-\infty\) en \(+\infty\). Quelques points : \(f\left(\frac14\right)=2\), \(f\left(\frac12\right)=1\), \(f(1)=0\), \(f(2)=-1\), \(f(4)=-2\).
b) \(f(1)=0\) et \(f'(1)=-\dfrac{1}{\ln 2}\approx -1{,}443\). La tangente a pour équation \(y=-\dfrac{1}{\ln 2}(x-1)\).
c) \(2=f\left(\frac14\right)\). La fonction \(f\) étant strictement décroissante, \(f(x)\gt f\left(\frac14\right)\) équivaut à \(x\lt\dfrac14\), avec \(x\gt 0\). L'ensemble des solutions est \(\left]0\,;\dfrac14\right[\).
Énoncé. a) Résoudre \(\log_3(x+1)+\log_3(x-1)=1\). b) Le pH d'une solution est \(-\log C\), où \(C\) est la concentration en ions hydronium, en moles par litre, et \(\log\) le logarithme décimal. Calculer le pH pour \(C=2\times 10^{-4}\) (on donne \(\log 2\approx 0{,}30\)), puis dire ce qu'il devient si la solution est dix fois moins concentrée.
Solution : a) Il faut \(x+1\gt 0\) et \(x-1\gt 0\), donc \(x\gt 1\). L'équation s'écrit \(\log_3\big((x+1)(x-1)\big)=\log_3 3\), soit \(x^2-1=3\), donc \(x^2=4\). Seule la valeur \(x=2\) est supérieure à 1 : c'est l'unique solution. Vérification : \(\log_3 3+\log_3 1=1+0=1\).
b) \(\log(2\times 10^{-4})=\log 2-4\), donc le pH vaut \(4-\log 2\approx 3{,}70\). Diviser \(C\) par 10 retire 1 à \(\log C\), donc ajoute 1 au pH : il devient environ \(4{,}70\). Une unité de pH correspond à un facteur 10 sur la concentration.
Avec une base comprise entre 0 et 1, la fonction \(\log_a\) est décroissante : elle renverse l'ordre. Par exemple \(4\lt 8\), mais \(\log_{\frac12}4=-2\) est plus grand que \(\log_{\frac12}8=-3\). Avant de « supprimer les logarithmes » dans une inéquation, il faut toujours comparer la base à 1.
Deux autres points à surveiller : la base 1 est interdite (\(\log_1\) n'existe pas), et \(\log_a(x)\) n'est défini que pour \(x\gt 0\), quelle que soit la base. Enfin, ne pas confondre \(\log_a(x^2)=2\log_a x\) (pour \(x\gt 0\)) avec \((\log_a x)^2\), qui est le carré du logarithme.
Dérivée d'une fonction composée
Si \(u\) est dérivable sur \(I\), à valeurs dans \(J\), et si \(f\) est dérivable sur \(J\), alors \(f \circ u\) est dérivable sur \(I\) et :
\[ (f \circ u)'(x) = u'(x) \times f'(u(x)). \]En notation abrégée : \((f(u))' = u' \cdot f'(u)\). Le facteur \(u'\) est la dérivée intérieure — c'est lui qu'on oublie le plus souvent.
On dérive « de l'extérieur vers l'intérieur » : appliquer la règle de \(f\) en laissant \(u\) intact à l'intérieur, puis multiplier par \(u'\). Identifier qui est « dehors » et qui est « dedans » est le réflexe clé.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(u^n\) (\(n \in \mathbb{Z}\)) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) | \(u \neq 0\) si \(n < 0\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | \(u > 0\) |
| \(u^\alpha\) (\(\alpha \in \mathbb{R}\)) | \(\alpha\,u'\,u^{\alpha-1}\) | \(u > 0\) |
| \(e^u\) | \(u'\,e^u\) | — |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u > 0\) |
| \(\ln|u|\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u \neq 0\) |
| \(\sin u\) | \(u'\cos u\) | — |
| \(\cos u\) | \(-u'\sin u\) | — |
Avant d'écrire la dérivée, posez explicitement \(u =\) et \(u' =\) au brouillon. La quasi-totalité des erreurs vient d'un \(u'\) oublié ou d'une mauvaise identification des couches.
\(f(x) = (2x+1)^5\). Poser \(u = 2x+1\), \(u' = 2\) :
\[f'(x) = 5 \times 2 \times (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4.\]\(g(x) = \sqrt{x^2 + 3}\). Poser \(u = x^2+3\), \(u' = 2x\) :
\[g'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}.\]\(h(x) = e^{-x^2}\). Poser \(u = -x^2\), \(u' = -2x\) :
\[h'(x) = -2x\,e^{-x^2}.\]\(k(x) = \ln(x^2 + 1)\). Poser \(u = x^2+1 > 0\), \(u' = 2x\) :
\[k'(x) = \frac{2x}{x^2+1}.\]\(m(x) = e^{\sin x}\). Couche extérieure \(\exp\), intérieure \(\sin x\). Poser \(u = \sin x\), \(u' = \cos x\) :
\[m'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}.\]Vérification en \(x=0\) : \(m'(0) = 1 \cdot e^0 = 1\). La tangente en 0 est \(y = x + 1\).
\(p(x) = x^{2/3}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Poser \(\alpha = 2/3\) :
\[p'(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{-1/3} = \frac{2}{3x^{1/3}}.\]- Oublier \(u'\) : écrire \((\ln(x^2+1))' = \dfrac{1}{x^2+1}\) au lieu de \(\dfrac{2x}{x^2+1}\). Le \(u'\) au numérateur est systématiquement oublié par les élèves qui récitent la formule sans l'avoir comprise.
- Confondre les couches : pour \((e^{\sin x})'\), écrire \(e^{\cos x}\) — en dérivant l'intérieur là où on aurait dû dériver l'extérieur. La fonction extérieure reste appliquée à \(u\) après dérivation.
Primitives : définition, primitives usuelles
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\). Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) lorsque \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F' = f\). Primitiver \(f\), c'est « remonter » d'une dérivée vers la fonction d'origine.
Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), les primitives de \(f\) sont exactement les fonctions \(F + C\), avec \(C \in \mathbb{R}\).
Pour tout \(x_0 \in I\) et tout réel \(y_0\), il existe une unique primitive \(F\) vérifiant \(F(x_0) = y_0\). La condition initiale détermine entièrement \(C\).
| \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Validité |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{Z},\; n \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) ou sans 0 |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(]0;+\infty[\) ou \(]-\infty;0[\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(x^\alpha\) (\(\alpha \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x\) | Intervalles \(\big]{-\frac{\pi}{2}+k\pi}\,;\frac{\pi}{2}+k\pi\big[\) |
Résumé
Pour \(a\gt 0\), \(a\neq 1\) et \(x\gt 0\) : \(\log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}\). On a \(\log_a 1=0\), \(\log_a a=1\), \(\log_a(a^n)=n\).
Mêmes règles que \(\ln\) : produit, quotient, puissance. Changement de base : \(\log_a x=\dfrac{\log_b x}{\log_b a}\).
\((\log_a)'(x)=\dfrac{1}{x\ln a}\), du signe de \(\ln a\).
Si \(a\gt 1\) : croissante, de \(-\infty\) à \(+\infty\). Si \(0\lt a\lt 1\) : décroissante, de \(+\infty\) à \(-\infty\).
\(\log=\log_{10}\) : \(\log(10^n)=n\). Multiplier un nombre par 10 ajoute 1 à son logarithme décimal.
\(\ln(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}\) · \(\mathbb{D}=]0;+\infty[\) · \(\ln 1=0\) · \(\ln e=1\) · \(\ln e^a=a\)
\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) · \(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\) · \(\ln(a^n)=n\ln a\) · \(\ln(1/a)=-\ln a\)
\((\ln x)'=\frac{1}{x}\) · \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\) si \(u>0\)
\(\lim_{0^+}\ln x=-\infty\) · \(\lim_{+\infty}\ln x=+\infty\) · \(\frac{\ln x}{x^n}\to 0\) · \(x^n\ln x\to 0\)
3 étapes : \(\mathcal{D}\) → Résoudre → Conclure · \(\ln A=\ln B\Leftrightarrow A=B\) · \(\ln A<\ln B\Leftrightarrow A<B\)
Écrire \(\mathcal{D}\) en premier · Vérifier \(u>0\) avant \((\ln u)'\) · Croissances comparées pour les limites
Sujet type Bac
Soit \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=x-2\ln(x)\).
1. Limites :
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=0-2(-\infty)=+\infty\quad\Rightarrow\text{ AV : }x=0\]
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\!\left(1-\frac{2\ln x}{x}\right)=+\infty\quad\text{(croissances comparées)}\]
2. Dérivée et signe :
\[f'(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}\]
\(f'(x)<0\) sur \(]0\,;\,2[\), \(f'(2)=0\), \(f'(x)>0\) sur \(]2\,;\,+\infty[\).
3. Tableau de variations :
\(f(2)=2-2\ln 2\approx 0{,}61\)
| \(x\) | \(0^+\) | 2 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(2-2\ln 2\) | ↗ | \(+\infty\) |
4. Signe de f : Le minimum \(f(2)=2-2\ln 2>0\) → \(f(x)>0\) pour tout \(x>0\).
\[x-2\ln(x)>0\Longleftrightarrow x>2\ln(x)\quad\text{pour tout }x>0\]