Terminale C · Leçon 10
Fonctions exponentielles
Ce que dit le programme officiel (14 points)
- Fonction exponentielle de base e : définition
- Représentation graphique
- Propriétés algébriques
- Dérivée
- Limites
- Définir la fonction exponentielle de base e
- Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle de base e lors de la résolution des problèmes
- Utiliser la dérivée de x ↦ e^u(x)
- Utiliser les limites suivantes, pour α réel : lim x^α / e^x = 0 en + ∞ ; lim e^x / x^α = + ∞ en + ∞ ; lim x^α e^(–x) = 0 en + ∞ ; lim (e^x – 1) / x = 1 en 0
- Fonction exponentielle de base a, a ∈ ℝ+* – {1}
- Fonctions : x ↦ a^x, a ∈ ℝ+* – {1}
- Déterminer la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base a (a ∈ ℝ+* – {1})
- Étudier et représenter la fonction exponentielle de base a (a ∈ ℝ+* – {1})
- Limite : la fonction exponentielle de base a (a ∈ ℝ+* – {1}) est introduite par a^x = e^(x ln a)
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques
\(\ln\) est continue et strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), avec limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes — elle réalise une bijection de \(]0\,;+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\). Sa réciproque est bien définie.
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^x\), est la bijection réciproque de \(\ln\) :
\[y = e^x \iff x = \ln y \quad (y > 0).\]Les deux fonctions sont inverses l'une de l'autre :
\[e^{\ln x} = x \quad (x > 0) \qquad \ln(e^x) = x \quad (x \in \mathbb{R}).\]De plus : \(e^0 = 1\), \(e^1 = e\), et \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
\(\exp\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((e^x)' = e^x\). Comme \(e^x > 0\), elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0.\]Les courbes de \(\ln\) et de \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Le point \((a\,;\,b)\) est sur la courbe de \(\ln\) si et seulement si \((b\,;\,a)\) est sur la courbe de \(\exp\).
- \(e^x = e^y \Leftrightarrow x = y\).
- \(e^x = k \Leftrightarrow x = \ln k\) (avec \(k > 0\) ; impossible si \(k \le 0\)).
- \(e^x \ge k \Leftrightarrow x \ge \ln k\) si \(k > 0\).
Résoudre \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\).
Poser \(X = e^x > 0\) : \(X^2 - 3X + 2 = 0\), soit \((X-1)(X-2) = 0\).
- \(X = 1 \Rightarrow x = 0\).
- \(X = 2 \Rightarrow x = \ln 2\).
Résoudre \(\ln(e^x + 1) = 2\).
\[e^x + 1 = e^2 \Rightarrow e^x = e^2 - 1 \Rightarrow x = \ln(e^2 - 1) \approx 1{,}87.\]On vérifie \(e^2 - 1 > 0\).
- \((e^{3x+1})' = 3e^{3x+1}\).
- \((e^{-x^2})' = -2x\,e^{-x^2}\).
- \(\left(\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}\right)' = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\).
\(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). L'équation \(e^x = 0\) n'a aucune solution. Si un raisonnement aboutit à \(e^x \le 0\), une erreur a été commise en amont. Ne pas écrire non plus \(e^a \times e^b = e^{ab}\) : la règle est \(e^a \times e^b = e^{a+b}\).
Figure interactive — Symétrie de \(\ln\) et \(\exp\) par rapport à \(y = x\)
\(y = \ln x\)
\(y = x\) (axe de symétrie)
point et symétrique
Déplacer le curseur pour choisir un point sur la courbe de ln
Le point \(A = (a\,;\,\ln a)\) est sur la courbe de \(\ln\). Son symétrique \(A' = (\ln a\,;\,a)\) est sur la courbe de \(\exp\). Le segment \(AA'\) est perpendiculaire à la droite \(y=x\) et coupé en son milieu par elle.
Équations et inéquations avec l'exponentielle
Tout repose sur : (1) \(e^x>0\) toujours et (2) \(e^x\) strictement croissante. Pas de condition de domaine à vérifier.
\[e^{A(x)}=e^{B(x)}\Longleftrightarrow A(x)=B(x)\]
Ex. 1 : \(e^{2x+1}=e^{5-x}\Rightarrow 2x+1=5-x\Rightarrow x=\frac{4}{3}\)
Ex. 2 : \(e^{x^2-3x}=1=e^0\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x=0\text{ ou }x=3\)
\[e^{A(x)}=k\Longleftrightarrow A(x)=\ln(k)\quad(k>0\text{ seulement})\]
Si \(k\leq 0\) : pas de solution (car \(e^x>0\) toujours).
Ex. : \(e^{3x-2}=5\Rightarrow 3x-2=\ln 5\Rightarrow x=\dfrac{\ln 5+2}{3}\)
\[e^{A(x)}>k\Longleftrightarrow A(x)>\ln(k)\quad(k>0)\]
Ex. : \(e^{2x-1}\geq 7\Rightarrow 2x-1\geq\ln 7\Rightarrow x\geq\dfrac{\ln 7+1}{2}\)
Ex. : \(e^{-x}<2\Rightarrow -x<\ln 2\Rightarrow x>-\ln 2\)
\(-x<\ln(2)\overset{\times(-1)}{\Longleftrightarrow}x>-\ln(2)\) — multiplier par un nombre négatif inverse le sens.
\[P(x)\cdot e^{Q(x)}=0\Longleftrightarrow P(x)=0\]
Ex. : \((x-2)e^x=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)
A. \(e^A=e^B\) → égaliser les exposants B. \(e^A=k>0\) → appliquer ln C. \(e^A=k\leq 0\) → impossible D. Produit → facteur polynomial seul.
Dérivée d'une fonction composée
Si \(u\) est dérivable sur \(I\), à valeurs dans \(J\), et si \(f\) est dérivable sur \(J\), alors \(f \circ u\) est dérivable sur \(I\) et :
\[ (f \circ u)'(x) = u'(x) \times f'(u(x)). \]En notation abrégée : \((f(u))' = u' \cdot f'(u)\). Le facteur \(u'\) est la dérivée intérieure — c'est lui qu'on oublie le plus souvent.
On dérive « de l'extérieur vers l'intérieur » : appliquer la règle de \(f\) en laissant \(u\) intact à l'intérieur, puis multiplier par \(u'\). Identifier qui est « dehors » et qui est « dedans » est le réflexe clé.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(u^n\) (\(n \in \mathbb{Z}\)) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) | \(u \neq 0\) si \(n < 0\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | \(u > 0\) |
| \(u^\alpha\) (\(\alpha \in \mathbb{R}\)) | \(\alpha\,u'\,u^{\alpha-1}\) | \(u > 0\) |
| \(e^u\) | \(u'\,e^u\) | — |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u > 0\) |
| \(\ln|u|\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u \neq 0\) |
| \(\sin u\) | \(u'\cos u\) | — |
| \(\cos u\) | \(-u'\sin u\) | — |
Avant d'écrire la dérivée, posez explicitement \(u =\) et \(u' =\) au brouillon. La quasi-totalité des erreurs vient d'un \(u'\) oublié ou d'une mauvaise identification des couches.
\(f(x) = (2x+1)^5\). Poser \(u = 2x+1\), \(u' = 2\) :
\[f'(x) = 5 \times 2 \times (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4.\]\(g(x) = \sqrt{x^2 + 3}\). Poser \(u = x^2+3\), \(u' = 2x\) :
\[g'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}.\]\(h(x) = e^{-x^2}\). Poser \(u = -x^2\), \(u' = -2x\) :
\[h'(x) = -2x\,e^{-x^2}.\]\(k(x) = \ln(x^2 + 1)\). Poser \(u = x^2+1 > 0\), \(u' = 2x\) :
\[k'(x) = \frac{2x}{x^2+1}.\]\(m(x) = e^{\sin x}\). Couche extérieure \(\exp\), intérieure \(\sin x\). Poser \(u = \sin x\), \(u' = \cos x\) :
\[m'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}.\]Vérification en \(x=0\) : \(m'(0) = 1 \cdot e^0 = 1\). La tangente en 0 est \(y = x + 1\).
\(p(x) = x^{2/3}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Poser \(\alpha = 2/3\) :
\[p'(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{-1/3} = \frac{2}{3x^{1/3}}.\]- Oublier \(u'\) : écrire \((\ln(x^2+1))' = \dfrac{1}{x^2+1}\) au lieu de \(\dfrac{2x}{x^2+1}\). Le \(u'\) au numérateur est systématiquement oublié par les élèves qui récitent la formule sans l'avoir comprise.
- Confondre les couches : pour \((e^{\sin x})'\), écrire \(e^{\cos x}\) — en dérivant l'intérieur là où on aurait dû dériver l'extérieur. La fonction extérieure reste appliquée à \(u\) après dérivation.
Fonctions réciproques et symétrie des courbes
Deux fonctions réciproques l'une de l'autre ont leurs courbes représentatives symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Pour \(\ln\) et \(\exp\), cela signifie que le point \((a\,;\, b)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\exp}\) si et seulement si \((b\,;\, a)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\ln}\).
On pose \(g(x) = e^{x} - x - 1\) et on cherche le minimum de \(g\).
- \(g'(x) = e^{x} - 1\) : \(g'(x) < 0\) pour \(x < 0\), \(g'(x) > 0\) pour \(x > 0\).
- \(g\) est donc décroissante puis croissante, avec un minimum en \(x = 0\).
- \(g(0) = 1 - 0 - 1 = 0\), donc \(g(x) \geq 0\) pour tout \(x\).
- On conclut : \(e^{x} \geq x + 1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), avec égalité uniquement en \(x = 0\).
Cette inégalité est très souvent demandée en préliminaire d'exercice de Bac.
Montrer que \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\).
Pour \(x > 0\), on pose \(t = \ln x\) (qui parcourt \(\mathbb{R}\) quand \(x\) parcourt \(]0\,;+\infty[\)). L'inégalité \(e^{t} \geq t + 1\) s'écrit \(x \geq \ln x + 1\), soit \(\ln x \leq x - 1\). L'égalité a lieu en \(t = 0\), c'est-à-dire en \(x = 1\).
Sur la figure interactive ci-dessous, on peut vérifier que le passage d'un point de \(\mathcal{C}_{\exp}\) à sa symétrique par rapport à \(y = x\) donne bien un point de \(\mathcal{C}_{\ln}\). Le curseur permet de déplacer le point et d'observer la construction en temps réel.
Figure 3 — Symétrie de ln et exp par rapport à y = x (déplacer le point bleu)
\(y = \ln x\)
\(y = x\)
Résumé
Réciproque de ln · Définie sur \(\mathbb{R}\) · \(e^x>0\) toujours · \(e^0=1\), \(e^1=e\approx2{,}718\)
\(e^{a+b}=e^a e^b\) · \(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\) · \((e^a)^n=e^{na}\) · \(\frac{1}{e^a}=e^{-a}\) · \(e^0=1\)
\((e^x)'=e^x\) · \((e^u)'=u'e^u\) · Factoriser \(e^x\) · Signe = signe du polynôme
\(e^{-\infty}=0\), \(e^{+\infty}=+\infty\) · \(\frac{e^x}{x^n}\to+\infty\) · \(\frac{x^n}{e^x}\to 0\) · \(x^n e^x\to 0\) en \(-\infty\)
A: \(e^A=e^B\to A=B\) · B: \(e^A=k>0\to A=\ln k\) · C: \(k\leq 0\to\emptyset\) · D: \(P(x)e^Q=0\to P=0\)
Factoriser \(e^x\) · AH si limite finie · Croissances comparées pour FI · Pas de domaine à vérifier
Définie sur \(]0\,;+\infty[\), \(\ln 1 = 0\), \((\ln x)' = 1/x\). Croissante, \(\ln x \to -\infty\) en \(0^+\), \(\ln x \to +\infty\) en \(+\infty\). Règles : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\).
Réciproque de \(\ln\) : \(e^{\ln x} = x\) (\(x > 0\)), \(\ln(e^x) = x\). Croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(e^x \to 0\) en \(-\infty\), \(\to +\infty\) en \(+\infty\). \((e^x)' = e^x\), \(e^{a+b} = e^a e^b\), \(e^{-a} = 1/e^a\).
\(\ln u = k \iff u = e^k\) (avec \(u > 0\)). \(e^u = k \iff u = \ln k\) (avec \(k > 0\)). \(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u,v > 0\)). \(e^u = e^v \iff u = v\).
\(e^x \geq x + 1\) pour tout \(x\) (égalité en \(x = 0\)). Corollaire : \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\) (égalité en \(x = 1\)). Ces inégalités se démontrent par étude du minimum d'une fonction auxiliaire.
Les courbes de \(\ln\) et de \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Cela signifie que \((a\,;b) \in \mathcal{C}_{\exp}\) ssi \((b\,;a) \in \mathcal{C}_{\ln}\).
\(\ln A\) n'est défini que si \(A > 0\). Toujours préciser le domaine avant de résoudre une équation ou inéquation. Oublier cette condition entraîne une pénalité directe au Bac.
Sujet type Bac
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(2x-3)e^x+1\).
Valeurs remarquables : \(f(0)=-2\) · \(f(1)=1-e\approx-1{,}72\)
Dérivée — produit \((uv)'=u'v+uv'\) :
\[f'(x)=2e^x+(2x-3)e^x=e^x(2+2x-3)=(2x-1)e^x\]
Signe de \(f'\) : \(e^x>0\) toujours → signe de \(2x-1\) seul.
Limites :
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0+1=1\) (croissances comparées : \((2x-3)e^x\to 0\)) → AH : \(y=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
Tableau de variations : minimum en \(x=\frac{1}{2}\) : \(f\!\left(\frac{1}{2}\right)=(1-3)\sqrt{e}+1=1-2\sqrt{e}\approx-2{,}30\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 1 | ↘ | \(1-2\sqrt{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
Asymptote horizontale en \(-\infty\) : \(y=1\).
Position : \(f(x)-1=(2x-3)e^x\) · négatif pour \(x<\frac{3}{2}\), nul en \(x=\frac{3}{2}\), positif pour \(x>\frac{3}{2}\).
Points remarquables : \(A(0\,;\,-2)\) · traversée de l'AH en \(\left(\frac{3}{2}\,;\,1\right)\)
Tangente en \(x=0\) : \(f(0)=-2\), \(f'(0)=-1\) → \(T:y=-x-2\)
Question 1 — Domaine et limites aux bornes.
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) car \(e^{x}\) et les fonctions polynômes sont définies sur \(\mathbb{R}\).
En \(-\infty\) : Quand \(x \to -\infty\), \(e^{x} \to 0\) avec une vitesse beaucoup plus grande que \(|x|\) croît (\(e^x\) est une infiniment petite rapide). Donc \((x-1)e^{x} \to 0\), soit \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = 1\). La droite \(y = 1\) est une asymptote horizontale en \(-\infty\).
En \(+\infty\) : \((x-1) \to +\infty\) et \(e^{x} \to +\infty\), donc \((x-1)e^x \to +\infty\) et \(f(x) \to +\infty\).
Question 2 — Dérivée et tableau de variations.
On dérive \(f(x) = (x-1)e^{x} + 1\) par la règle du produit :
\(f'(x) = 1 \cdot e^{x} + (x-1) \cdot e^{x} = e^{x}(1 + x - 1) = x\,e^{x}.\)
Comme \(e^{x} > 0\) pour tout \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x\) : \(f'(x) < 0\) pour \(x < 0\) et \(f'(x) > 0\) pour \(x > 0\). Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) et croissante sur \([0\,;+\infty[\), avec un minimum en \(x = 0\) : \(f(0) = (0-1)e^0 + 1 = -1 + 1 = 0\).
Question 3 — Sens de la variation de \(f'\).
On calcule \(f''(x) = (xe^x)' = e^x + xe^x = (1+x)e^x\). \(f''(x) > 0 \iff x > -1\), donc \(f'\) est croissante sur \([-1\,;+\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty\,;-1]\). La courbe de \(f\) présente un point d'inflexion en \(x = -1\) : \(f(-1) = (-2)e^{-1} + 1 = 1 - 2/e\).
Question 4 — Position par rapport à l'axe des abscisses.
Le minimum de \(f\) est \(f(0) = 0\). Comme \(f(0) = 0\) et c'est le minimum global, on a \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\), avec égalité uniquement en \(x = 0\).
Cela implique en particulier que \((x-1)e^{x} \geq -1\) pour tout réel \(x\), inégalité que l'on peut retrouver en posant \(t = x\) dans l'inégalité \(e^t \geq t + 1\) vue en cours.
Question 5 — Équation de la tangente au minimum.
Au point \((0\,;\, f(0)) = (0\,;\,0)\), la pente de la tangente est \(f'(0) = 0 \cdot e^0 = 0\). La tangente est donc l'axe des abscisses \(y = 0\). C'est cohérent avec le fait que \(x = 0\) est un minimum : la tangente y est toujours horizontale.