Terminale C · Leçon 4
Applications affines du plan
Ce que dit le programme officiel (30 points)
- Généralités : définition, propriétés
- Application linéaire associée à une application affine
- Matrice d’une application linéaire
- Définir une application affine
- Déterminer l’image d’une droite, d’un plan par une application affine
- Définir l’application linéaire associée à une application affine
- Déterminer l’expression analytique d’une application linéaire associée à une application affine
- Déterminer la matrice d’une application linéaire
- Utiliser les propriétés des applications linéaires pour faire des démonstrations
- Limite : l’application affine est définie comme une application qui conserve le barycentre
- Limite : il ne s’agit pas de faire une théorie sur les matrices
- Applications affines particulières : isométries affines, définition
- Isométrie vectorielle associée
- Translations ; symétries orthogonales ; symétries centrales ; rotations ; symétrie glissée
- Classification des isométries
- Définir une isométrie affine, l’isométrie vectorielle associée
- Déterminer l’isométrie vectorielle associée à une isométrie affine donnée
- Reconnaître que ces applications sont des isométries affines
- Classer les isométries du plan en déplacements et antidéplacements et selon leurs points invariants
- Similitudes planes directes et indirectes : définition, caractérisation, propriétés
- Définir une similitude
- Limite : la similitude est définie comme la composée d’une isométrie et d’une homothétie
- Déterminer l’application complexe associée à une similitude et réciproquement
- Déterminer les éléments caractéristiques d’une similitude
- Déterminer l’expression analytique d’une similitude
- Déterminer et construire les images de figures simples (droites, cercles…) par une similitude
- Utiliser la propriété : f est une similitude si et seulement si d(f(A), f(B)) = k.d(A, B), k ∈ ℝ+*
- Projections, affinités : définitions, propriétés
- Définir ces applications affines
- Utiliser leurs propriétés pour construire et résoudre des problèmes
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Fonctions associées : changement d'origine, d'échelle, |f|
Rappel de PremièreÀ partir de la courbe d'une fonction \(f\), on obtient graphiquement, sans nouveau calcul de dérivée :
• la courbe de \(f^+\) (partie positive, \(f^+(x)=f(x)\) si \(f(x)\geqslant0\),
sinon \(0\)) en effaçant les portions où \(f\) est négative ;
• la courbe de \(|f|\) en repliant vers le haut, par symétrie d'axe \((Ox)\), les
portions où \(f\) est négative ;
• la courbe de \(x\mapsto f(x+a)\) par translation horizontale de la courbe de
\(f\).
Exemple. Pour \(f(x)=x^2-1\) (nulle en \(-1\) et \(1\), négative entre les deux) : \(f^+\) coïncide avec \(f\) hors de \([-1;1]\) et vaut \(0\) sur \([-1;1]\) ; \(|f|\) coïncide avec \(f\) hors de \([-1;1]\) et vaut \(1-x^2\) (symétrique par rapport à \((Ox)\)) sur \([-1;1]\) ; la courbe de \(x\mapsto f(x+2)=(x+2)^2-1\) est celle de \(f\) décalée de \(2\) vers la gauche.
Matrices : vocabulaire et opérations
En algèbre, il arrive fréquemment qu'on veuille manipuler plusieurs nombres en même temps : les coefficients d'un système d'équations, les coordonnées d'une transformation géométrique, les données d'un tableau statistique. L'outil matriciel répond exactement à ce besoin.
Une matrice de dimension \(m \times n\) est un tableau rectangulaire de \(m\) lignes et \(n\) colonnes de réels, noté \(A = (a_{ij})\) où \(a_{ij}\) désigne le coefficient situé à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\).
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}). \]La matrice est dite carrée d'ordre \(n\) lorsque \(m = n\) : autant de lignes que de colonnes. Les coefficients \(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}\) forment la diagonale principale.
Deux cas particuliers sont à connaître par cœur. La matrice nulle \(O\) a tous ses coefficients nuls ; elle joue le rôle du \(0\) pour l'addition. La matrice identité \(I_n\) a des \(1\) sur la diagonale et des \(0\) partout ailleurs.
\[ O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]Une matrice de dimension \(n \times 1\) est appelée matrice colonne (ou vecteur colonne). C'est la forme standard pour représenter les inconnues d'un système linéaire.
\[ X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R}). \]Exemple 1 (basique). Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & -4 \end{pmatrix}\). \(A\) est de dimension \(2 \times 3\) (2 lignes, 3 colonnes). On lit : \(a_{12} = -1\), \(a_{23} = -4\), \(a_{21} = 2\).
Exemple 2 (carrée). \(B = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\) est carrée d'ordre 2. Sa diagonale principale est \((4, 2)\). On note \(b_{12} = 7\), \(b_{21} = -3\).
Exemple 3 (colonne). \(C = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) est une matrice colonne de dimension \(3 \times 1\). Elle représente, par exemple, les coordonnées d'un vecteur dans \(\mathbb{R}^3\).
L'indice \(a_{ij}\) se lit « ligne \(i\), colonne \(j\) » — pensez à « Ligne avant Colonne », comme les coordonnées \((y, x)\) d'une grille de tableau. On fait attention : \(a_{12}\) est à la première ligne, deuxième colonne, pas l'inverse.
On peut doter l'ensemble des matrices de plusieurs lois de calcul. Certaines sont très proches de ce qu'on connaît avec les réels ; d'autres réservent des surprises.
La somme de deux matrices de même dimension se calcule terme à terme. Le produit par un réel \(\lambda\) multiplie chaque coefficient.
\[ A + B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix}, \qquad \lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} \end{pmatrix}. \]Ces deux opérations sont commutatives et vérifient les mêmes propriétés que pour les réels (associativité, distributivité). La matrice nulle \(O\) est le neutre de l'addition.
Avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\) :
\[ 3A - 2B = \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ -6 & -8 \end{pmatrix}. \]Le produit \(AB\) est défini si le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\). Pour des matrices carrées d'ordre 2 :
\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aa' + bc' & ab' + bd' \\ ca' + dc' & cb' + dd' \end{pmatrix}. \]La règle à mémoriser : le coefficient à la ligne \(i\), colonne \(j\) du produit est le produit scalaire de la ligne \(i\) de \(A\) par la colonne \(j\) de \(B\). On multiplie terme à terme puis on additionne.
La matrice identité \(I_2\) est neutre pour ce produit : \(A I_2 = I_2 A = A\) pour toute matrice carrée \(A\) d'ordre 2.
Pour calculer \(AB\), on procède position par position. Pour le coefficient \((AB)_{ij}\), on prend la ligne \(i\) de \(A\) et la colonne \(j\) de \(B\), on multiplie les termes deux à deux et on les additionne.
Concrètement avec \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix}\), le calcul complet :
- Position (1,1) : \(a \cdot a' + b \cdot c'\)
- Position (1,2) : \(a \cdot b' + b \cdot d'\)
- Position (2,1) : \(c \cdot a' + d \cdot c'\)
- Position (2,2) : \(c \cdot b' + d \cdot d'\)
Exemple 1. \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\).
\[ AB = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}. \]Exemple 2 — Produit avec matrice colonne. Si \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) et \(X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\), alors :
\[ AX = \begin{pmatrix} 2x + y \\ x + y \end{pmatrix}. \]On retrouve exactement les membres gauches d'un système : \(\begin{cases} 2x+y=5 \\ x+y=3 \end{cases}\) s'écrit \(AX = B\) avec \(B = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\).
En général, \(AB \neq BA\). Il faut à chaque fois préciser si l'on multiplie à gauche ou à droite. Par exemple, avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) :
\[ AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{mais} \qquad BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. \]Les deux résultats sont différents. Dans les calculs matriciels, on ne peut donc pas factoriser ou développer comme avec des réels sans précaution.
Calculateur de produit matriciel — matrices \(2 \times 2\)
Entrez les coefficients des matrices \(A\) et \(B\), puis observez \(AB\), \(BA\) et la différence \(AB - BA\).
Matrice A
Matrice B
AB =
BA =
AB − BA =
Modifiez les coefficients — les produits \(AB\) et \(BA\) se recalculent instantanément. Essayez de trouver une paire \((A,B)\) pour laquelle \(AB = BA\) (commutatif) !
Barycentre de points pondérés
Soient \(n\) points pondérés \((A_1, a_1), \ldots, (A_n, a_n)\) avec \(a_1 + \cdots + a_n \neq 0\). Le barycentre \(G\) de ce système est l'unique point vérifiant la relation vectorielle :
\[ a_1\,\overrightarrow{GA_1} + a_2\,\overrightarrow{GA_2} + \cdots + a_n\,\overrightarrow{GA_n} = \vec{0}. \]Lorsque tous les coefficients sont égaux (\(a_i = 1\) pour tout \(i\)), \(G\) est l'isobarycentre : c'est le milieu si \(n = 2\), le centre de gravité du triangle si \(n = 3\).
Formule de réduction. Pour tout point \(M\) du plan (ou de l'espace) :
\[ \sum_{i=1}^n a_i\,\overrightarrow{MA_i} \;=\; \Big(\sum_{i=1}^n a_i\Big)\overrightarrow{MG}. \]Coordonnées. Dans un repère \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\) :
\[ x_G = \frac{\displaystyle\sum a_i\,x_{A_i}}{\displaystyle\sum a_i}, \qquad y_G = \frac{\displaystyle\sum a_i\,y_{A_i}}{\displaystyle\sum a_i}. \]Homogénéité. Multiplier tous les coefficients par une constante \(k \neq 0\) ne modifie pas la position de \(G\) : seuls les rapports entre les poids comptent.
Associativité. On peut regrouper une partie des points en leur substituant leur propre barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients. Cela permet de calculer \(G\) en deux étapes quand le système est complexe.
Pour deux points \(A\) et \(B\) avec coefficients \(a\) et \(b\) (\(a + b \neq 0\)), on part de la définition \(a\,\overrightarrow{GA} + b\,\overrightarrow{GB} = \vec{0}\) et on exprime tout en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) :
- Écrire \(\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BG}\) (ou simplement utiliser \(\overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{AG}\)).
- Exprimer \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\) : \(G\) divise \([AB]\) dans le rapport \(b:a\) à partir de \(A\).
- Vérifier le sens : si \(a\) et \(b\) sont de même signe, \(G\) est entre \(A\) et \(B\) ; sinon il est à l'extérieur.
Exemple 1 — Deux points. Soit \(G\) barycentre de \((A, 2)\) et \((B, 1)\). On a \(2\,\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}\), d'où \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\). \(G\) est situé au tiers du segment \([AB]\) à partir de \(A\), à l'intérieur du segment car les deux poids sont positifs.
Exemple 2 — Trois points. Soit \(G\) barycentre de \((A, 3)\), \((B, -1)\), \((C, 2)\). La somme est \(3 + (-1) + 2 = 4\). En coordonnées, avec \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(1;3)\) :
\[ x_G = \frac{3\times0 + (-1)\times4 + 2\times1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \qquad y_G = \frac{3\times0 + (-1)\times0 + 2\times3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}. \]Exemple 3 — Associativité. Dans un triangle \(ABC\) avec masses \((A, 1)\), \((B, 2)\), \((C, 3)\) : on calcule d'abord \(G_{BC}\), barycentre de \((B, 2)\) et \((C, 3)\), qui vérifie \(\overrightarrow{BG_{BC}} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC}\) ; puis \(G\) est le barycentre de \((A, 1)\) et \((G_{BC}, 5)\), soit \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{5}{6}\overrightarrow{AG_{BC}}\). C'est bien plus rapide que de partir des coordonnées brutes.
Ne pas oublier de vérifier que \(\sum a_i \neq 0\) avant de définir \(G\) : si la somme est nulle, le barycentre n'existe pas (les vecteurs \(a_i\overrightarrow{MA_i}\) se compensent quel que soit \(M\), le système est dit libre). Autre erreur classique : écrire \(x_G = \sum a_i x_{A_i}\) sans diviser par \(\sum a_i\).
Barycentre de \((A, a)\) et \((B, b)\) — déplacer les curseurs
Point \(B\) (poids \(b\))
Barycentre \(G\)
Isométries du plan : classification et conservation
Une isométrie du plan est une transformation \(f : \mathcal{P} \to \mathcal{P}\) qui conserve les distances : pour tous points \(M\) et \(N\) du plan, \(f(M)f(N) = MN\). Toute isométrie est bijective, conserve l'alignement, les milieux, les angles géométriques, les aires, et transforme droites en droites et cercles en cercles de même rayon.
On distingue deux familles selon qu'elles conservent ou renversent l'orientation du plan. Les déplacements conservent les angles orientés : ce sont les translations et les rotations. Les antidéplacements changent les angles orientés en leurs opposés : ce sont les réflexions (symétries axiales) et les symétries glissées (réflexion composée d'une translation selon l'axe).
La composée de deux réflexions d'axes parallèles est une translation : le vecteur est perpendiculaire aux axes, de norme égale au double de leur distance. La composée de deux réflexions d'axes sécants en \(O\) est une rotation de centre \(O\), d'angle égal au double de l'angle orienté formé par les deux axes (pris dans l'ordre de composition).
Soient \(d_1 : x = 0\) (axe des ordonnées) et \(d_2 : x = 2\). La composée \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la translation de vecteur \(\vec{u} = (4,\,0)\). En effet les axes sont parallèles, écartés de \(2\), et le vecteur est perpendiculaire d'amplitude \(2 \times 2 = 4\).
Soient \(d_1 : y = 0\) et \(d_2\) l'axe faisant un angle de \(\dfrac{\pi}{6}\) avec \(d_1\), tous deux passant par \(O\). La composée \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la rotation de centre \(O\) et d'angle \(2 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}\).
L'ordre de composition compte pour les réflexions d'axes sécants : \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la rotation d'angle \(+2\alpha\) où \(\alpha = (d_1, d_2)\), mais \(s_{d_1} \circ s_{d_2}\) donne l'angle \(-2\alpha\). On n'intervertit pas les facteurs sans signe.
Figure interactive — Composition de deux réflexions axiales
axe \(d_2\)
point \(P\) initial
image \(P'\) finale
image intermédiaire \(P_1\)
Translation, symétrie centrale et symétrie orthogonale
Rappel de SecondeUne translation, une symétrie centrale ou une symétrie orthogonale déplace une figure sans la déformer. Cette idée simple devient un outil de démonstration : pour prouver que deux segments ont la même longueur, que deux droites sont parallèles ou qu'un point est le milieu d'un segment, il suffit souvent de trouver la transformation qui envoie une partie de la figure sur l'autre. Dans un repère, ces transformations se traduisent aussi par des formules très simples sur les coordonnées.
- La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). Si \(\vec u(a\,;b)\) et \(M(x\,;y)\), alors \(M'(x+a\,;y+b)\).
- La symétrie centrale de centre \(\Omega\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\Omega\) soit le milieu de \([MM']\). Si \(\Omega(a\,;b)\), alors \(M'(2a-x\,;2b-y)\).
- La symétrie orthogonale d'axe \(\Delta\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\Delta\) soit la médiatrice de \([MM']\) (et \(M'=M\) si \(M\in\Delta\)). Axe \((Ox)\) : \(M'(x\,;-y)\) ; axe \((Oy)\) : \(M'(-x\,;y)\) ; droite d'équation \(y=x\) : \(M'(y\,;x)\).
Ces trois transformations conservent les distances, l'alignement, les milieux, le parallélisme, l'orthogonalité et les angles géométriques. En conséquence :
- l'image d'un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de même longueur ;
- l'image d'une droite est une droite ; pour une translation ou une symétrie centrale, cette droite image est parallèle à la droite de départ ;
- l'image d'un cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(C'\) et de même rayon \(r\) ;
- une droite qui passe par le centre d'une symétrie centrale est sa propre image (droite globalement invariante).
- Repère deux parties de la figure qui « se correspondent » (même forme, même taille).
- Cherche la transformation qui envoie l'une sur l'autre : un milieu commun suggère une symétrie centrale, deux vecteurs égaux une translation, une médiatrice une symétrie orthogonale.
- Justifie l'image de chaque point utile à partir de la définition (milieu, vecteur, médiatrice).
- Conclus avec une propriété de conservation : longueurs égales, droites parallèles, milieu conservé.
Dans un repère, remplace les étapes 2 et 3 par un calcul de coordonnées avec les formules de la définition.
Énoncé : Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\) et \(\vec u(-2\,;1)\). Détermine l'image de \(A\) et de \(B\) par la translation de vecteur \(\vec u\), l'image de \(A\) par la symétrie de centre \(\Omega(2\,;0)\), puis l'image de \(B\) par la symétrie d'axe \((Ox)\).
Solution : Par la translation : \(A'(1-2\,;2+1)=(-1\,;3)\) et \(B'(4-2\,;3+1)=(2\,;4)\). On contrôle : \(\overrightarrow{AB}(3\,;1)\) et \(\overrightarrow{A'B'}(3\,;1)\) sont égaux, donc \(A'B'=AB\) et \((A'B')\parallel(AB)\).
Par la symétrie de centre \(\Omega(2\,;0)\) : \(A_1(2\times2-1\,;2\times0-2)=(3\,;-2)\). Contrôle : le milieu de \([AA_1]\) est \(\left(\dfrac{1+3}2\,;\dfrac{2-2}2\right)=(2\,;0)=\Omega\).
Par la symétrie d'axe \((Ox)\) : \(B_2(4\,;-3)\).
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Voir les offresTranslation d’un triangle de vecteur \(\vec u(3\,;1)\)
Chaque point du triangle \(ABC\) est déplacé du même vecteur \(\vec u\) : les trois flèches sont parallèles, de même sens et de même longueur, et le triangle image \(A'B'C'\) est superposable au triangle de départ.
Une translation et une symétrie centrale envoient toute droite sur une droite parallèle. Ce n'est pas vrai pour une symétrie orthogonale : par la symétrie d'axe \((Ox)\), la droite d'équation \(y=x\) a pour image la droite d'équation \(y=-x\), qui lui est perpendiculaire. N'utilise donc jamais « droite image parallèle » avec une symétrie orthogonale.
Deuxième erreur fréquente : écrire \(M'(x-a\,;y-b)\) pour la translation de vecteur \(\vec u(a\,;b)\). On ajoute les coordonnées du vecteur, car \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\) donne \(x'-x=a\) et \(y'-y=b\).
Après un calcul d'image, vérifie la définition : pour une translation, recalcule \(\overrightarrow{MM'}\) ; pour une symétrie centrale, calcule le milieu de \([MM']\) ; pour une symétrie orthogonale, vérifie que le milieu de \([MM']\) est sur l'axe et que \((MM')\) est perpendiculaire à l'axe. Ce contrôle prend quelques secondes et évite la plupart des erreurs de signe.
La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). La symétrie centrale de centre \(O\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(O\) soit le milieu de \([MM']\). La symétrie orthogonale (ou axiale) d'axe \(d\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(d\) soit la médiatrice de \([MM']\).
Rotation : définition, réciproque, composée
Rappel de PremièreRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresLa réciproque de la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) est la rotation de même centre \(\Omega\) et d'angle \(-\theta\). La composée de deux rotations de même centre \(\Omega\), d'angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\), est la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta_1+\theta_2\).
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Voir les offresFigure interactive — Rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\)
Faites glisser \(\theta\) : le triangle image tourne autour de \(O\) en conservant sa forme et sa taille (isométrie).
Similitudes directes
Une similitude directe est une transformation qui multiplie toutes les distances par un réel \(k > 0\) (son rapport) et conserve les angles orientés. Ce sont exactement les transformations d'écriture complexe de la forme :
\[z' = az + b, \qquad a \in \mathbb{C}^*,\ b \in \mathbb{C}.\]Cas particuliers : si \(|a|=1\), c'est une rotation (ou une translation si \(a=1\)) ; si \(\arg a = 0\), c'est une homothétie (ou une translation si \(a=1\)).
Pour \(s : z' = az + b\) avec \(a \neq 1\) :
\[k = |a| \quad \text{(rapport)}, \qquad \theta = \arg a \quad \text{(angle)}\] \[\omega = \frac{b}{1-a} \quad \text{(affixe du centre } \Omega\text{)}\]La similitude est alors la composée commutative de la rotation de centre \(\Omega\) d'angle \(\theta\) et de l'homothétie de centre \(\Omega\) de rapport \(k\). Si \(a = 1\), \(s\) est la translation de vecteur d'affixe \(b\).
Une similitude directe de rapport \(k\) : transforme droites en droites et cercles en cercles ; multiplie les longueurs par \(k\), les aires par \(k^2\) ; conserve les angles orientés, le parallélisme, l'orthogonalité et les rapports de barycentres.
Caractérisons \(s : z' = (1+i)z + 2\).
On a \(a = 1+i\), donc \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) et
\(\theta = \arg(1+i) = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{2}{1-(1+i)} = \dfrac{2}{-i} = \dfrac{2}{-i} \cdot \dfrac{i}{i}
= \dfrac{2i}{-i^2} = \dfrac{2i}{1} = 2i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(0;\,2)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
On compose \(s_1 : z' = (1+i)z + 2\) et \(s_2 : z'' = 2z' - 4\).
La composée \(s_2 \circ s_1\) : \(z'' = 2((1+i)z+2)-4 = (2+2i)z\).
Rapport : \(|2+2i| = 2\sqrt{2}\) ; angle : \(\dfrac{\pi}{4}\) ; centre : \(\omega = 0\)
(l'origine est fixe puisque \(b=0\)).
Soit le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(A(1)\) et de rayon \(r = 1\),
et \(s : z' = (1+i)z + 2\) de rapport \(k = \sqrt{2}\).
L'image \(s(\mathcal{C})\) est un cercle de rayon \(k \times r = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}\),
centré en \(s(A)\). Or \(s(1) = (1+i)\cdot 1 + 2 = 3+i\).
Donc \(s(\mathcal{C})\) est le cercle de centre \((3;\,1)\) et de rayon \(\sqrt{2}\).
Si \(a = 1\), il n'y a pas de centre fixe et la formule \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) est indéfinie : c'est une translation, pas une similitude au sens strict. Vérifiez toujours \(a \neq 1\) avant d'appliquer la formule du centre.
Figure interactive — Similitude directe \(z' = az + b\)
image \(A'B'C'\)
centre \(\Omega\)
Étant donnés deux couples de points distincts \((A, B)\) et \((A', B')\) avec \(A \neq B\) et \(A' \neq B'\), il existe une unique similitude directe \(s\) telle que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\).
On cherche \(s : z' = az + b\). Le système \(\begin{cases} z_{A'} = az_A + b \\ z_{B'} = az_B + b \end{cases}\) donne par soustraction :
\[a = \frac{z_{B'} - z_{A'}}{z_{B} - z_{A}} \qquad \text{puis} \qquad b = z_{A'} - a\,z_A.\]Le rapport est \(k = |a| = \dfrac{A'B'}{AB}\) et l'angle \(\theta = \arg a = \left(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{A'B'}\right)\).
- Écrire \(z' = az + b\) et calculer \(a\) à partir des affixes des deux couples.
- Calculer \(k = |a|\) en mettant \(a\) sous forme trigonométrique.
- Lire \(\theta = \arg a\).
- Si \(a \neq 1\), calculer \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) et préciser le centre \(\Omega\).
- Conclure : « \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega\), de rapport \(k\), d'angle \(\theta\). »
Soient \(A(0)\), \(B(2)\), \(A'(1+i)\), \(B'(3+3i)\).
\(a = \dfrac{(3+3i)-(1+i)}{2-0} = \dfrac{2+2i}{2} = 1+i\).
\(b = z_{A'} - a \cdot 0 = 1+i\).
Rapport : \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) ; angle : \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{1+i}{1-(1+i)} = \dfrac{1+i}{-i}
= \dfrac{(1+i) \cdot i}{-i \cdot i} = \dfrac{i-1}{1} = -1+i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(-1;\,1)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
Après avoir trouvé \(a\) et \(b\), vérifiez que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\) en substituant. Un calcul de contrôle évite les erreurs de signe qui font perdre des points au Bac.
Écriture complexe des transformations du plan
Dans le plan complexe, on note \(M(z)\) le point d'affixe \(z\) et \(M'(z')\) son image. Les transformations fondamentales s'écrivent :
\[\text{Translation de vecteur d'affixe } b : \quad z' = z + b\] \[\text{Rotation de centre } \Omega(\omega), \text{ angle } \theta : \quad z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)\] \[\text{Homothétie de centre } \Omega(\omega), \text{ rapport } k \in \mathbb{R}^* : \quad z' - \omega = k(z - \omega)\] \[\text{Réflexion d'axe } (Ox) : \quad z' = \bar{z}\]Partant de \(z' = az + b\) avec \(|a| = 1\) et \(a \neq 1\), on identifie \(\theta = \arg a\) et le centre \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\). Il suffit ensuite de vérifier que \(\omega\) est bien fixe : \(a\omega + b = \omega \Leftrightarrow \omega(a-1) = -b \Leftrightarrow \omega = \dfrac{b}{1-a}\).
Déterminons l'écriture de la rotation \(r\) de centre \(\Omega(1+i)\)
et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
On écrit \(z' - (1+i) = e^{i\pi/2}(z - (1+i)) = i(z-1-i)\),
donc \(z' = iz - i(1+i) + 1 + i = iz + 1 - i^2 + i - i = iz + 1 + 1 = iz + 2\).
Vérification : \(r(\Omega)\) vaut \(i(1+i)+2 = i - 1 + 2 = 1 + i = \omega\). Correct.
On donne \(f : z' = -z + 2 + 4i\). Ici \(a = -1 = e^{i\pi}\), donc \(|a| = 1\) et \(\theta = \pi\) : il s'agit d'une rotation d'angle \(\pi\), c'est-à-dire d'une symétrie centrale. Son centre vaut \(\omega = \dfrac{2+4i}{1-(-1)} = \dfrac{2+4i}{2} = 1+2i\). C'est la symétrie centrale de centre \((1;\,2)\).
Soit \(h : z' = 3z - 6 + 6i\). On a \(a = 3 \in \mathbb{R}^*\), \(\theta = 0\) : c'est une homothétie de rapport \(3\). Centre : \(\omega = \dfrac{-6+6i}{1-3} = \dfrac{-6+6i}{-2} = 3 - 3i\). L'homothétie a pour centre \(\Omega(3;\,-3)\) et pour rapport \(3\).
Quand \(a\) est réel positif, c'est une homothétie (angle nul). Quand \(a\) est réel négatif, c'est une homothétie de rapport \(|a|\) suivie d'une rotation d'angle \(\pi\), ce qui revient à une similitude directe dont on calcule quand même le centre par la formule.
Figure interactive — Rotation dans le plan complexe
image \(M'(z')\)
centre \(\Omega\)
Résumé
Déplacements (translations, rotations) conservent les angles orientés. Antidéplacements (réflexions, symétries glissées) les renversent. Composée de 2 réflexions d'axes parallèles = translation ; d'axes sécants en O = rotation.
Translation : \(z' = z + b\).
Rotation de centre \(\omega\) : \(z' - \omega = e^{i\theta}(z-\omega)\).
Homothétie de centre \(\omega\) : \(z' - \omega = k(z-\omega)\).
Réflexion \((Ox)\) : \(z' = \bar{z}\).
Rapport : \(k = |a|\). Angle : \(\theta = \arg a\).
Centre (\(a \neq 1\)) : \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\).
Si \(a = 1\) : translation de vecteur \(b\).
Longueurs \(\times k\), aires \(\times k^2\).
\(a = \dfrac{z_{B'} - z_{A'}}{z_B - z_A}\), puis \(b = z_{A'} - az_A\).
Toujours vérifier \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\).
\(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\). Multiplie distances par \(|k|\), aires par \(k^2\). Conserve alignement, parallélisme, barycentres.
Conserve toutes les distances et les aires. Propriétés admises, jamais démontrées à ce niveau — simple initiation.
Homothétie de rapport \(-1\) = symétrie centrale. Rotation de \(180°\) = symétrie centrale de même centre.
Étude systématique des composées de transformations — aucune capacité exigible à ce sujet.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
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Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \((O;\,\vec{u},\,\vec{v})\), on pose \(A(0)\), \(B(4)\), \(C(4+4i)\), \(D(4i)\) les sommets d'un carré, et \(A'(0)\), \(B'(2+2i\sqrt{3})\).
Question 1. Calculer \(AB\) et \(A'B'\), puis en déduire le rapport de la similitude directe \(s\) telle que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\).
On a \(A(0)\), \(B(4)\), donc \(AB = |4-0| = 4\).
\(A'(0)\), \(B'(2+2i\sqrt{3})\), donc
\(A'B' = |2+2i\sqrt{3}| = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4\).
Donc \(k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{4}{4} = 1\) :
la similitude est une isométrie (rotation ou translation).
Question 2. Calculer \(a = \dfrac{z_{B'}-z_{A'}}{z_B - z_A}\) et identifier la nature de \(s\).
\(a = \dfrac{(2+2i\sqrt{3}) - 0}{4 - 0} = \dfrac{2+2i\sqrt{3}}{4}
= \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}\).
Donc \(|a| = 1\) (rotation) et \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\).
\(b = z_{A'} - a \cdot z_A = 0 - e^{i\pi/3} \cdot 0 = 0\).
Ainsi \(s : z' = e^{i\pi/3} z\) : c'est la rotation de centre
\(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\).
Question 3. Déterminer l'image du carré \(ABCD\) par \(s\).
On calcule les images des quatre sommets par \(z' = e^{i\pi/3}z\) :
\(s(A) = 0 = A'\).
\(s(B) = 4e^{i\pi/3} = 4\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
= 2+2i\sqrt{3} = B'\).
\(s(C) = (4+4i)e^{i\pi/3}\). En posant \(e^{i\pi/3} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2}\) :
\(s(C) = (4+4i)\cdot\frac{1+i\sqrt{3}}{2}
= 2(1+i)(1+i\sqrt{3}) = 2(1+i\sqrt{3}+i-\sqrt{3})
= 2(1-\sqrt{3}) + 2i(\sqrt{3}+1)\).
\(s(D) = 4i\cdot e^{i\pi/3} = 4i\cdot\frac{1+i\sqrt{3}}{2}
= 2i(1+i\sqrt{3}) = 2i - 2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}+2i\).
L'image du carré est le quadrilatère \(A'B'C''D''\) dont les quatre sommets
sont les affixes calculées ci-dessus.
Question 4. Montrer que le triangle image \(OAB\) est équilatéral.
Notons que \(A' = A = O\) (point fixe de la rotation), donc le triangle « \(OA'B'\) » est dégénéré au sens littéral. Reformulation correcte : le triangle \(OAB\) a pour image \(OA'B'\) avec \(OA = OB = A'B' = 4\) et \(\widehat{A'OB'} = \dfrac{\pi}{3}\). Puisque \(OA' = OA = 4\), \(OB' = OB = 4\) (isométrie) et l'angle au sommet vaut \(\dfrac{\pi}{3}\), le triangle \(OAB\) image est équilatéral (trois côtés égaux à 4).
Question 5. La similitude \(s\) est-elle une similitude directe au sens strict ou un cas particulier ? Justifier.
\(s : z' = e^{i\pi/3}z\) a \(a = e^{i\pi/3} \neq 1\) et \(|a| = 1\). C'est un cas particulier de similitude directe où \(k = 1\) : autrement dit une rotation. Toute rotation est une similitude directe de rapport 1, mais on ne parle généralement de « similitude stricte » que pour \(k \neq 1\). Ici la similitude est en réalité une rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{3}\).
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O(0;0)\) et de rapport \(k=3\). Soit \(A(2;1)\) et \(B(-1;4)\).
Question 1. Déterminer les images \(A'\) et \(B'\) de \(A\) et \(B\) par \(h\).
\(A'(3\times2;3\times1)=(6;3)\). \(B'(3\times(-1);3\times4)=(-3;12)\).
Question 2. Comparer \(A'B'\) et \(AB\).
\(AB=\sqrt{(-1-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt2\). \(A'B'=\sqrt{(-3-6)^2+(12-3)^2}=\sqrt{81+81}=9\sqrt2\).
On a bien \(A'B' = |k|\times AB = 3\times3\sqrt2=9\sqrt2\), conforme à la propriété : l'homothétie multiplie les distances par \(|k|\).
Question 3. \((AB)\) et \((A'B')\) sont-elles parallèles ? Justifier sans calcul de coordonnées supplémentaire.
Oui : une propriété générale de l'homothétie est que l'image d'une droite est une droite parallèle. Comme \((A'B')\) est l'image de \((AB)\) par \(h\), elles sont nécessairement parallèles.
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