Terminale C · Leçon 12
Encadrements et approximations
Ce que dit le programme officiel (7 points)
- Inégalité des accroissements finis : première forme
- Inégalité des accroissements finis : deuxième forme
- Utiliser le théorème des accroissements finis (1ère et 2ème forme)
- Encadrements d’une fonction (par des constantes, par 2 fonctions)
- Encadrer une fonction par deux constantes, par deux fonctions
- Approximations d’un zéro d’une fonction
- Déterminer une valeur approchée d’un zéro d’une fonction
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Inégalité des accroissements finis
Soit \(f\) dérivable sur \(I\). S'il existe \(M \ge 0\) tel que \(|f'(t)| \le M\) pour tout \(t \in I\), alors :
\[ \forall\, a, b \in I,\quad |f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|. \]Si la pente est bornée, la variation de \(f\) est bornée en proportion de la variation de \(x\).
Si \(m \le f'(t) \le M\) pour tout \(t \in [a\,;b]\) (avec \(a < b\)), alors :
\[ m(b-a) \le f(b) - f(a) \le M(b-a). \]La pente de la corde reliant \((a\,;\,f(a))\) à \((b\,;\,f(b))\) est encadrée par les valeurs extrêmes de \(f'\) sur \([a\,;b]\).
Soit \(f(t) = \sqrt{t}\) sur \([100\,;101]\). On a \(f'(t) = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}\).
Sur \([100\,;101]\) : \(\dfrac{1}{22} \le f'(t) \le \dfrac{1}{20}\). La forme encadrement donne :
\[\frac{1}{22} \le \sqrt{101} - 10 \le \frac{1}{20}, \quad \text{soit} \quad 10{,}04\overline{5} \le \sqrt{101} \le 10{,}05.\]Valeur exacte : \(\sqrt{101} \approx 10{,}0499\) — bien dans l'encadrement.
Pour \(f(t) = \sin t\) : \(|f'(t)| = |\cos t| \le 1\). La forme majoration avec \(a = 0\) donne :
\[|\sin x| \le 1 \times |x| = |x|.\]Résultat souvent utilisé dans les gendarmes, démontré ici en deux lignes.
Pour \(f(t) = e^t\) : \(f'(t) = e^t \ge 1\) pour \(t \ge 0\). La forme encadrement avec \(a=0\), \(b=x\) (\(x \ge 0\)) :
\[e^x - 1 \ge x, \quad \text{soit} \quad e^x \ge 1 + x.\]On retrouve ainsi l'inégalité tangente sans étude de signe.
- Identifier la fonction \(f\) et l'intervalle \([a\,;b]\).
- Calculer \(f'(t)\) et l'encadrer sur \([a\,;b]\) : \(m \le f'(t) \le M\).
- Appliquer : \(m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)\).
- Interpréter : si \(f(a)\) est connu, en déduire un encadrement de \(f(b)\).
Figure interactive — Inégalité des accroissements finis sur \(\sqrt{t}\)
corde \([a\,;b]\)
droites de pentes \(m\) et \(M\)
Déplacer les curseurs pour changer \(a\) et \(b\)
La corde relie \((a\,;\,\sqrt{a})\) à \((b\,;\,\sqrt{b})\). Les deux droites vertes en pointillés correspondent aux pentes extrêmes \(m\) et \(M\) de \(f'\) sur \([a\,;b]\) : la corde reste toujours entre elles.
Encadrements et valeurs approchées
Rappel de SecondeEn pratique, un résultat exact est rarement utile tel quel : on travaille avec une valeur approchée, à une précision donnée. Le programme se limite volontairement à des encadrements simples — pas de recherche systématique de tous les majorants et minorants possibles.
Une valeur approchée d'un réel \(x\) à \(10^{-n}\) près est un réel \(a\) tel que \(|x - a| \le 10^{-n}\). L'approximation décimale d'ordre \(n\) par défaut de \(x\) est le plus grand décimal à \(n\) chiffres après la virgule inférieur ou égal à \(x\) ; par excès, le plus petit supérieur ou égal à \(x\). L'arrondi d'ordre \(n\) est la valeur approchée décimale à \(n\) chiffres la plus proche de \(x\).
Le programme se limite à l'encadrement d'une somme, d'une différence, d'un produit et d'un quotient de deux réels strictement positifs.
Somme et différence. Si \(3{,}1 \le x \le 3{,}2\) et \(1{,}4 \le y \le 1{,}5\), alors \(4{,}5 \le x+y \le 4{,}7\) (on additionne les bornes de même sens) et \(1{,}6 \le x - y \le 1{,}8\) (on soustrait les bornes opposées : minorant de \(x\) moins majorant de \(y\), et inversement).
Produit. Si \(2 \le x \le 2{,}1\) et \(5 \le y \le 5{,}2\) (deux réels strictement positifs), alors \(10 \le xy \le 10{,}92\) (produit des bornes inférieures d'un côté, des bornes supérieures de l'autre).
Quotient. Avec les mêmes encadrements, \(\dfrac{2}{5{,}2} \le \dfrac{x}{y} \le \dfrac{2{,}1}{5}\), c'est-à-dire \(0{,}384\ldots \le \dfrac{x}{y} \le 0{,}42\) (on divise par les bornes en croisant : borne inférieure de \(x\) sur borne supérieure de \(y\), et inversement).
Facile. \(\pi \approx 3{,}14\) est une valeur approchée de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près par défaut ; \(3{,}15\) en est une par excès.
Intermédiaire. On donne \(1{,}41 \le \sqrt{2} \le 1{,}42\) et \(1{,}73 \le \sqrt{3} \le 1{,}74\). Encadrer \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) : \(3{,}14 \le \sqrt{2}+\sqrt{3} \le 3{,}16\).
Ordre de grandeur. Estimer \(\dfrac{4\,987 \times 0{,}0203}{9{,}8}\) sans calculatrice : on remplace par des valeurs proches simples, \(\dfrac{5\,000 \times 0{,}02}{10} = \dfrac{100}{10} = 10\). L'ordre de grandeur du résultat est \(10\).
Figure interactive — Encadrement d'une somme
Les deux intervalles bleus représentent \(x\) et \(y\) ; l'intervalle vert en dessous représente l'encadrement obtenu pour \(x + y\), largeur cumulée des deux.
Localisation et approximation d'une solution (dichotomie)
On cherche \(\alpha \in [a\,;b]\) tel que \(f(\alpha) = 0\), avec \(f\) continue et strictement monotone.
- Tester la valeur médiane \(m = \dfrac{a+b}{2}\).
- Si \(f(m) = 0\) : trouvé. Sinon, si \(f(a)\) et \(f(m)\) sont de signes opposés, la solution est dans \([a\,;m]\) ; sinon dans \([m\,;b]\).
- Recommencer avec le nouvel intervalle, deux fois plus petit.
- Arrêter quand l'intervalle atteint la précision souhaitée.
Après \(n\) étapes, la précision est \(\dfrac{b-a}{2^n}\).
On reprend \(f(x) = x^3 + x - 1\) sur \([0\,;1]\). On cherche \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
| Étape | Intervalle | Milieu \(m\) | \(f(m)\) | Nouveau sous-intervalle |
|---|---|---|---|---|
| 1 | [0 ; 1] | 0,5 | \(-0{,}375 < 0\) | [0,5 ; 1] |
| 2 | [0,5 ; 1] | 0,75 | \(0{,}172 > 0\) | [0,5 ; 0,75] |
| 3 | [0,5 ; 0,75] | 0,625 | \(-0{,}119 < 0\) | [0,625 ; 0,75] |
| 4 | [0,625 ; 0,75] | 0,6875 | \(0{,}022 > 0\) | [0,625 ; 0,6875] |
| 5 | [0,625 ; 0,6875] | 0,656 | \(-0{,}049 < 0\) | [0,656 ; 0,6875] |
| 6 | [0,656 ; 0,6875] | 0,672 | \(-0{,}014 < 0\) | [0,672 ; 0,6875] |
| 7 | [0,672 ; 0,6875] | 0,680 | \(0{,}004 > 0\) | [0,672 ; 0,680] |
Après 7 étapes, l'intervalle a une longueur \(\approx 0{,}008 < 0{,}01\). On conclut :
\[0{,}672 \le \alpha \le 0{,}680,\]soit \(\alpha \approx 0{,}68\) à \(10^{-2}\) près.
Pour atteindre une précision de \(10^{-p}\) sur un intervalle de longueur \(L\), il faut \(n\) étapes telles que \(L / 2^n \le 10^{-p}\). Sur \([0\,;1]\), il faut environ \(3{,}32\, p\) étapes pour \(p\) décimales de précision.