Terminale C · Leçon 11
Exemples d’étude de fonctions
Ce que dit le programme officiel (8 points)
- Représentation graphique
- Résolutions d’équations et d’inéquations
- Point d’inflexion
- Utiliser la représentation graphique d’une fonction pour résoudre une équation, une inéquation
- Rechercher les directions asymptotiques, les asymptotes
- Déterminer la position d’une courbe par rapport à ses asymptotes
- Déterminer la position d’une courbe par rapport à sa tangente en un point donné
- Étudier des exemples de fonctions comportant des fonctions rationnelles, irrationnelles, trigonométriques, logarithmiques et exponentielles
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Lecture graphique et représentations d'une fonction
Rappel de SecondeUne fonction peut être définie de plusieurs façons : tracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou même touches d'une calculatrice. Savoir passer d'une représentation à l'autre est l'objectif central de ce chapitre.
Une fonction \(f\) associe à chaque réel \(x\) d'un ensemble \(D_f\) (l'ensemble de définition) au plus un réel noté \(f(x)\), l'image de \(x\) par \(f\). Un réel \(x\) tel que \(f(x)=y\) est un antécédent de \(y\).
La courbe représentative de \(f\), notée \(\mathcal{C}_f\), est l'ensemble des points \(M(x\,;\,f(x))\) pour \(x \in D_f\).
Pour lire l'image de \(a\) : tracer la verticale \(x=a\), lire l'ordonnée du point d'intersection avec \(\mathcal{C}_f\). Pour lire les antécédents de \(b\) : tracer l'horizontale \(y=b\), lire les abscisses des points d'intersection — il peut y en avoir zéro, un, ou plusieurs.
L'image d'un intervalle \(I \subset D_f\) est l'ensemble \(f(I) = \{f(x)\ /\ x \in I\}\) : l'ensemble des ordonnées atteintes quand \(x\) parcourt \(I\). L'image réciproque d'un intervalle \(J\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(f(x) \in J\) : l'ensemble des abscisses dont l'image tombe dans \(J\).
Facile. Pour \(f(x)=x^2\), l'image de \(3\) est \(f(3)=9\). Les antécédents de \(9\) sont \(3\) et \(-3\) (deux antécédents).
Intermédiaire. Pour \(f(x)=x^2\) sur \(D_f=\mathbb{R}\), l'image de l'intervalle \(I=[-2;3]\) est \(f(I)=[0;9]\) (le minimum \(0\) est atteint en \(0 \in I\), le maximum \(9\) en \(x=3\), car \(3^2=9 > (-2)^2=4\)).
Image réciproque. Toujours pour \(f(x)=x^2\), l'image réciproque de \(J=[4;9]\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(4 \le x^2 \le 9\), soit \(x \in [-3;-2]\cup[2;3]\).
Équations et inéquations avec radicaux
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Les courbes \(y=\sqrt{2x+3}\) et \(y=x\) ne se croisent qu'en \(x=3\) : \(x=-1\), trouvé après élévation au carré, est une solution parasite (la droite \(y=x\) y est négative, incompatible avec une racine carrée).
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Tout repose sur : (1) \(e^x>0\) toujours et (2) \(e^x\) strictement croissante. Pas de condition de domaine à vérifier.
\[e^{A(x)}=e^{B(x)}\Longleftrightarrow A(x)=B(x)\]
Ex. 1 : \(e^{2x+1}=e^{5-x}\Rightarrow 2x+1=5-x\Rightarrow x=\frac{4}{3}\)
Ex. 2 : \(e^{x^2-3x}=1=e^0\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x=0\text{ ou }x=3\)
\[e^{A(x)}=k\Longleftrightarrow A(x)=\ln(k)\quad(k>0\text{ seulement})\]
Si \(k\leq 0\) : pas de solution (car \(e^x>0\) toujours).
Ex. : \(e^{3x-2}=5\Rightarrow 3x-2=\ln 5\Rightarrow x=\dfrac{\ln 5+2}{3}\)
\[e^{A(x)}>k\Longleftrightarrow A(x)>\ln(k)\quad(k>0)\]
Ex. : \(e^{2x-1}\geq 7\Rightarrow 2x-1\geq\ln 7\Rightarrow x\geq\dfrac{\ln 7+1}{2}\)
Ex. : \(e^{-x}<2\Rightarrow -x<\ln 2\Rightarrow x>-\ln 2\)
\(-x<\ln(2)\overset{\times(-1)}{\Longleftrightarrow}x>-\ln(2)\) — multiplier par un nombre négatif inverse le sens.
\[P(x)\cdot e^{Q(x)}=0\Longleftrightarrow P(x)=0\]
Ex. : \((x-2)e^x=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)
A. \(e^A=e^B\) → égaliser les exposants B. \(e^A=k>0\) → appliquer ln C. \(e^A=k\leq 0\) → impossible D. Produit → facteur polynomial seul.
Équations et inéquations avec ln
- Domaine de validité \(\mathcal{D}\) — tous les arguments de \(\ln\) doivent être \(>0\)
- Résoudre — utiliser les propriétés algébriques et la croissance de \(\ln\)
- Conclure — rejeter les solutions hors \(\mathcal{D}\), écrire l'ensemble solution \(S\)
\[\ln(A)=\ln(B)\Longleftrightarrow A=B \qquad \ln(A)<\ln(B)\Longleftrightarrow A<B\]
Dom. : \(2x-1>0\) et \(x+3>0\) → \(\mathcal{D}=\left]\tfrac{1}{2};+\infty\right[\)
Résol. : \(2x-1=x+3\Rightarrow x=4\in\mathcal{D}\)
\(S=\{4\}\)
\(\ln x>\ln(e^2)\Leftrightarrow x>e^2\) → \(S=\;]e^2;+\infty[\)
Dom. : \(x^2-4>0\) et \(3x>0\) → \(\mathcal{D}=\;]2;+\infty[\)
Résol. : \(x^2-3x-4=0\Rightarrow x=-1\) (rejeté, hors \(\mathcal{D}\)) ou \(x=4\)
\(S=\{4\}\)
\(\ln(x(x-1))=\ln 2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=2\) (valide) ou \(x=-1\) (rejeté)
\(S=\{2\}\)
Dom. : \(x>-1\) et \(x<5\) → \(\mathcal{D}=]-1\,;\,5[\)
Résol. : \(x+1\leq 5-x\Rightarrow x\leq 2\)
\(S=]-1\,;\,2]\)
- Utiliser \(\ln A=\ln B\Rightarrow A=B\) sans avoir vérifié \(A>0\) et \(B>0\)
- Oublier l'intersection avec \(\mathcal{D}\) à l'étape de conclusion
- Regrouper \(\ln A+\ln B\) sans vérifier que \(A,B>0\)
Avant tout calcul impliquant \(\ln\), déterminer et écrire explicitement \(\mathcal{D}=\ldots\)
- Identifier tous les \(\ln\) présents
- Écrire les conditions : chaque argument \(>0\)
- Résoudre chaque inéquation
- Faire l'intersection des conditions
- Écrire \(\mathcal{D}=\ldots\)
\(x^2-4>0\Leftrightarrow|x|>2\) → \(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[\)
Erreur fréquente : écrire \(]-2\,;\,2[\) qui est l'ensemble interdit.
\(\mathcal{D}=\left]\frac{5}{2}\,;\,+\infty\right[\)
Tableau de signes de \(\dfrac{x}{x+1}\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | −1 | 0 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\) | − | − | 0 | + | |||
| \(x+1\) | − | || | + | + | |||
| \(\frac{x}{x+1}\) | + | || | − | 0 | + |
\(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[\)
\(x>0\) ET \(x>2\) → intersection → \(\mathcal{D}=]2\,;\,+\infty[\)
Erreur : faire l'union au lieu de l'intersection.
\(e^x>1=e^0\Rightarrow x>0\) → \(\mathcal{D}=]0\,;\,+\infty[\)
- Oublier de déterminer et d'écrire le domaine de définition
- Écrire \(\ln(a+b)=\ln a+\ln b\) — FAUX
- Oublier \(u'\) dans \((\ln u)'=u'/u\)
- Confondre \(\ln(x^2)\) et \((\ln x)^2\)
- Ne pas utiliser les croissances comparées pour les formes indéterminées en \(\pm\infty\)
- Commencer par écrire \(\mathcal{D}=\ldots\) avant tout calcul
- Simplifier avec les 5 propriétés avant de dériver
- Vérifier l'appartenance au domaine (étape 3 des équations)
- Utiliser la croissance de \(\ln\) pour les inéquations
- Invoquer les croissances comparées dès que \(\ln\) concurrence une puissance
Équations et inéquations trigonométriques
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Rappel de SecondeL'ordre est conservé par addition d'un même réel, et par multiplication par un réel strictement positif. Il est inversé par multiplication par un réel strictement négatif. Toute virtuosité technique au-delà de ces règles élémentaires est exclue du programme.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Résoudre \(-2x+5 \le 11\).
\(-2x \le 6\), puis on divise par \(-2\) (négatif : l'inégalité s'inverse) : \(x \ge -3\). Solution : \(x \in [-3\,;+\infty[\).
Facile. \(3x-1 > 8 \iff 3x > 9 \iff x > 3\), soit \(x \in\ ]3\,;+\infty[\).
Intervalle. \(x \in [-2\,;5[\) signifie \(-2 \le x < 5\) : borne de gauche incluse, borne de droite exclue.
Figure interactive — Fonction de proportionnalité
La droite \(y=ax\) passe toujours par l'origine, quel que soit \(a\).
Signe du trinôme et inéquations du second degré
Rappel de SecondeSi \(\Delta > 0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe de \(-a\) entre les racines.
Si \(\Delta = 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) partout, sauf en \(x_0\) où il s'annule.
Si \(\Delta < 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) pour tout réel \(x\) (jamais nul).
Règle mnémotechnique du Bac : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».
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Voir les offresFigure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)
Observez comment le signe du discriminant détermine le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses.
Dérivées successives, dérivée seconde et concavité
Si \(f\) est dérivable sur \(I\) et si \(f'\) est elle-même dérivable, on appelle dérivée seconde la fonction \(f'' = (f')'\), notée aussi \(f^{(2)}\). On définit par récurrence les dérivées successives :
\[ f^{(0)} = f, \qquad f^{(1)} = f', \qquad f^{(n+1)} = \left(f^{(n)}\right)'. \]On dit que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\) si elle est \(n\) fois dérivable et si \(f^{(n)}\) est continue sur \(I\).
- \(f''(x) > 0\) sur \(I\) : \(f'\) croissante, courbe convexe (forme en U).
- \(f''(x) < 0\) sur \(I\) : \(f'\) décroissante, courbe concave (forme en ∩).
- \(f''\) change de signe en \(a\) avec \(f''(a) = 0\) : point d'inflexion — la tangente traverse la courbe.
Les dérivées de \(\sin\) se répètent avec une période de 4. Pour \(f^{(n)}\), calculer \(n \bmod 4\). Par exemple, \(f^{(17)} = f^{(1)} = \cos\).
En particulier, \(f^{(n)}(x) = n!\) et \(f^{(n+1)} \equiv 0\). Tout polynôme de degré \(n\) a sa dérivée \((n+1)\)-ième identiquement nulle.
Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\). Alors \(f'(x) = 3x^2 - 6x\) et \(f''(x) = 6(x-1)\).
- \(f''(x) < 0\) pour \(x < 1\) : courbe concave.
- \(f''(x) > 0\) pour \(x > 1\) : courbe convexe.
- \(f''(1) = 0\) avec changement de signe : point d'inflexion en \((1\,;\,0)\).
La dérivée seconde permet deux choses concrètes : confirmer la nature d'un extremum (si \(f'(a)=0\) et \(f''(a) > 0\) → minimum local ; si \(f''(a) < 0\) → maximum local), et localiser les points d'inflexion. Ce critère est souvent plus rapide que l'étude du signe de \(f'\) de part et d'autre.
Figure interactive — Dérivée seconde et concavité
\(f''(x) = 6x - 6\)
point d'inflexion
Cochez les éléments via les cases
La dérivée seconde (verte) change de signe en \(x=1\) : là où elle passe de négatif à positif, la courbe passe de concave à convexe — c'est le point d'inflexion.
Asymptotes horizontales, verticales, obliques et branches infinies
\(x=a\) est une AV si \(\displaystyle\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty\). On la cherche là où \(f\) n'est pas définie.
\(y=\ell\) est une AH en \(\pm\infty\) si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\).
\(y=ax+b\) (\(a\neq 0\)) est une AO en \(+\infty\) si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\).
- Calculer \(a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\)
- Si \(a\) fini et \(\neq 0\), calculer \(b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-ax]\)
- Si \(b\) fini → \(y=ax+b\) est l'AO
Raccourci pour les fractions rationnelles : effectuez directement la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
Pour \(f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}\) :
\[x^2+2x+3=(x+1)(x+1)+2 \implies f(x)=x+1+\frac{2}{x+1}\]
\(\dfrac{2}{x+1}\to 0\) en \(\pm\infty\) → \(y=x+1\) est l'asymptote oblique.
Nombre dérivé, tangente et approximation affine
\(f\) est dérivable en \(a\) si la limite suivante existe et est finie :
\[f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
Interprétation géométrique : \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) en \(x=a\).
Équation de la tangente en \(a\) : \(\quad y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
Figure interactive — Tangente en mouvement
En x=±1, la tangente est horizontale (f′=0) : ce sont les extremums locaux. Entre −1 et 1, f′<0 : f est décroissante.
Étude d'une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est une fonction de la forme \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\), où \(P\) et \(Q\) sont des polynômes avec \(Q \not\equiv 0\). Son domaine de définition est \(\mathbb{R}\) privé des racines de \(Q\) : \(\mathcal{D}_f = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}\).
On appelle asymptote verticale en \(x = x_0\) toute droite verticale telle que \(f(x) \to \pm\infty\) quand \(x \to x_0\) (avec \(x_0\) racine de \(Q\) non racine de \(P\)). On appelle asymptote horizontale en \(y = \ell\) toute droite horizontale telle que \(f(x) \to \ell\) quand \(x \to +\infty\) ou \(x \to -\infty\).
- Asymptote verticale : résoudre \(Q(x) = 0\). Pour chaque racine \(x_0\), calculer \(\lim_{x \to x_0^+} f(x)\) et \(\lim_{x \to x_0^-} f(x)\) (analyser les signes au voisinage).
- Asymptote horizontale : diviser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de \(x\) présente, puis passer à la limite. Si \(\deg P < \deg Q\), la limite est \(0\). Si \(\deg P = \deg Q\), la limite est le rapport des coefficients dominants.
- Décomposer : pour \(f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}\), écrire \(f(x) = \dfrac{a}{c} + \dfrac{k}{cx+d}\) (division euclidienne) permet de lire simultanément l'asymptote horizontale \(y = a/c\) et la forme de la dérivée.
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Division euclidienne : \(2x + 1 = 2(x-1) + 3\), donc \(f(x) = 2 + \dfrac{3}{x-1}\).
Asymptote verticale \(x = 1\) : quand \(x \to 1^+\), \(\frac{3}{x-1} \to +\infty\) ; quand \(x \to 1^-\), \(\frac{3}{x-1} \to -\infty\). Asymptote horizontale \(y = 2\) : quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{3}{x-1} \to 0\).
Dérivée : \(f'(x) = -\dfrac{3}{(x-1)^2} < 0\) sur tout le domaine. La fonction est donc strictement décroissante sur chacun des deux intervalles \(]-\infty\,;1[\) et \(]1\,;+\infty[\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\). Division : \(x + 3 = \tfrac{1}{2}(2x-4) + 5\), donc \(f(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2x-4}\).
Asymptote verticale \(x = 2\) : quand \(x \to 2^+\), \(\frac{5}{2x-4} \to +\infty\) ; quand \(x \to 2^-\), \(\frac{5}{2x-4} \to -\infty\).
Asymptote horizontale \(y = \tfrac{1}{2}\) : quand \(x \to \pm\infty\).
Dérivée (règle du quotient, avec \(u = x+3\), \(v = 2x-4\)) :
\[ f'(x) = \frac{1 \cdot (2x-4) - (x+3) \cdot 2}{(2x-4)^2} = \frac{2x - 4 - 2x - 6}{(2x-4)^2} = \frac{-10}{(2x-4)^2} < 0. \]\(f'\) est partout strictement négative : \(f\) est décroissante sur chacun des deux intervalles de son domaine.
Soit \(h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}\). Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Division euclidienne de \(x^2 - 1\) par \(x + 2\) : \(x^2 - 1 = (x+2)(x-2) + 3\), donc \(h(x) = x - 2 + \dfrac{3}{x+2}\).
Quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{3}{x+2} \to 0\) donc \(h(x) \approx x - 2\) : la droite \(y = x - 2\) est une asymptote oblique (voir section suivante). L'asymptote verticale est \(x = -2\).
Si \(Q(x_0) = 0\) et \(P(x_0) = 0\) simultanément, il n'y a pas nécessairement d'asymptote verticale en \(x_0\). Par exemple \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2\) pour \(x \neq 2\). La droite \(x = 2\) n'est pas une asymptote : la fonction se prolonge par continuité. Toujours simplifier avant de conclure.
Quand on obtient \(f'(x) = \dfrac{k}{(cx+d)^2}\), le dénominateur est toujours positif. Le signe de \(f'\) est donc entièrement déterminé par le signe de la constante \(k\) : si \(k < 0\), la fonction est décroissante partout sur son domaine sans exception. Pas besoin de tableau de signes complexe.
Figure III.2 — Fraction rationnelle : asymptotes et courbe
asymptote verticale
asymptote horizontale
Étude d'une fonction polynôme
Une fonction polynôme de degré \(n\) est une fonction de la forme \[f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0,\] où les \(a_i\) sont des réels et \(a_n \neq 0\). Son domaine de définition est toujours \(\mathbb{R}\) tout entier : il n'y a aucune valeur interdite.
Si \(f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0\), alors \[f'(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1.\] En pratique on dérive terme à terme : \((x^n)' = n x^{n-1}\), \((ax)' = a\), \((a)' = 0\).
Sur un intervalle où \(f'(x) > 0\), la fonction \(f\) est strictement croissante. Sur un intervalle où \(f'(x) < 0\), elle est strictement décroissante. En un point \(x_0\) où \(f'(x_0) = 0\) et où \(f'\) change de signe, \(f\) admet un extremum local.
- Domaine : \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\) toujours.
- Dériver \(f\) terme à terme pour obtenir \(f'\).
- Factoriser \(f'\) (mise en facteur, identités remarquables, facteur commun) pour déterminer facilement son signe.
- Tableau de signes de \(f'\) puis tableau de variations de \(f\).
- Calculer les valeurs en les points critiques et aux extrémités (ou limites en \(\pm\infty\)).
Soit \(f(x) = x^3 - 3x + 2\). On dérive terme à terme : \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)\).
Le produit \(3(x-1)(x+1)\) est positif quand les deux facteurs sont de même signe, négatif quand ils sont de signes opposés. On obtient : \(f'(x) > 0\) sur \(]-\infty\,;-1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\), et \(f'(x) < 0\) sur \(]-1\,;1[\).
Ainsi \(f\) est croissante, puis décroissante, puis croissante. Les extrema locaux sont : maximum \(f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4\) et minimum \(f(1) = 1 - 3 + 2 = 0\).
Soit \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 1\). On reconnaît une identité remarquable : \(f(x) = (x^2 - 1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2 \geq 0\).
Dérivée : \(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)\). C'est un produit de trois facteurs linéaires de coefficient dominant \(4 > 0\). Tableau de signe :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(1\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
La fonction admet deux minimums globaux en \(x = \pm 1\) (valeur \(0\)) et un maximum local en \(x = 0\) (valeur \(1\)).
Soit \(g(x) = x^4 - 8x^2 + 12\). Alors \(g'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x-2)(x+2)\). Les racines de \(g'\) sont \(x = -2, 0, 2\).
Valeurs remarquables : \(g(-2) = 16 - 32 + 12 = -4\), \(g(0) = 12\), \(g(2) = 16 - 32 + 12 = -4\). La courbe possède donc deux minimums globaux (\(-4\)) et un maximum local (\(12\)).
Quand \(f'(x_0) = 0\), on dit que \(x_0\) est un point critique, mais cela ne signifie pas forcément un extremum. Si \(f'\) ne change pas de signe en \(x_0\) — par exemple \(h(x) = x^3\) avec \(h'(0) = 0\) mais \(h'\) reste positive de part et d'autre — alors il n'y a pas d'extremum, seulement un point d'inflexion à tangente horizontale. Toujours vérifier le changement de signe.
Pour un polynôme \(f(x) = a_n x^n + \cdots\), le comportement en \(\pm\infty\) est dicté par \(a_n x^n\) seul. Si \(a_n > 0\) et \(n\) pair : \(f \to +\infty\) des deux côtés. Si \(a_n > 0\) et \(n\) impair : \(f \to -\infty\) à gauche et \(+\infty\) à droite. Ces informations guident la lecture du tableau de variations avant même de calculer.
Figure III.1 — Polynôme de degré 3 : exploration interactive
\(f'(x)\)
Étude de la fonction ln : limites, dérivée, variations
La fonction \(\ln\) naît d'un besoin précis : trouver une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (chapitre II) ; on choisit celle qui s'annule en 1 — ce choix de normalisation est la définition.
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est l'unique primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) vérifiant \(\ln 1 = 0\).
Par construction : \((\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0\) pour tout \(x > 0\), donc \(\ln\) est strictement croissante.
Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\) :
\[\ln(ab) = \ln a + \ln b.\]Idée : les deux membres ont la même dérivée en \(b\) (en fixant \(a\)) et la même valeur en \(b = 1\). Par unicité de la primitive avec condition initiale, ils sont égaux.
Pour \(a > 0\), \(b > 0\) et \(n \in \mathbb{Z}\) :
\[\ln\frac{1}{b} = -\ln b \qquad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^n) = n\ln a \qquad \ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a.\]- \(\ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2\).
- \(\ln\dfrac{e^2}{3} = \ln(e^2) - \ln 3 = 2 - \ln 3\).
- \(\ln\sqrt{e} = \dfrac{1}{2}\ln e = \dfrac{1}{2}\).
- \(\ln\dfrac{1}{x^3} = -3\ln x\) pour \(x > 0\).
Comme \(\ln\) est continue, strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) avec des limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes, elle prend toutes les valeurs réelles. Il existe donc un unique réel strictement positif dont le logarithme vaut 1 :
\[\ln e = 1, \qquad e \approx 2{,}718\,28\ldots\]Signe de \(\ln x\) : négatif sur \(]0\,;1[\), nul en 1, positif sur \(]1\,;+\infty[\).
- Déterminer l'ensemble de validité : arguments de \(\ln\) strictement positifs.
- Utiliser la stricte croissance : \(\ln a = \ln b \Leftrightarrow a = b\) et \(\ln a \le \ln b \Leftrightarrow a \le b\).
- Conclure en précisant l'ensemble de définition.
Résoudre \(\ln(2x-1) = \ln(x+3)\).
Validité : \(2x-1 > 0\) et \(x+3 > 0\), donc \(x > \dfrac{1}{2}\).
Par stricte croissance : \(2x-1 = x+3\), soit \(x = 4\). On vérifie \(4 > \dfrac{1}{2}\). Solution : \(\boxed{x = 4}\).
Résoudre \(\ln(x^2 - 3) \ge \ln(2x)\).
Validité : \(x^2-3 > 0\) et \(2x > 0\), donc \(x > \sqrt{3}\).
Par stricte croissance : \(x^2-3 \ge 2x\), soit \((x-3)(x+1) \ge 0\). Sur \(]\sqrt{3}\,;+\infty[\), cela donne \(x \ge 3\). Solution : \(\boxed{x \ge 3}\).
L'égalité \(\ln(x^2) = 2\ln x\) n'est valable que pour \(x > 0\). Pour \(x < 0\), \(\ln(x^2) = 2\ln(-x) \neq 2\ln x\). L'ensemble de validité s'impose avant toute manipulation algébrique.
Figure interactive — La fonction logarithme népérien
tangente en \(x = a\)
propriétés algébriques
Déplacer le curseur pour faire varier le point \(a\)
La pente de la tangente en \(x=a\) vaut \(f'(a) = 1/a\) : grande pour \(a\) proche de 0, elle tend vers 0 quand \(a\) grandit. Le point \((e\,;\,1)\) et le point \((1\,;\,0)\) sont les deux repères fondamentaux de la courbe.
Étude de la fonction exponentielle : limites, dérivée, variations
\(\ln\) est continue et strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), avec limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes — elle réalise une bijection de \(]0\,;+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\). Sa réciproque est bien définie.
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^x\), est la bijection réciproque de \(\ln\) :
\[y = e^x \iff x = \ln y \quad (y > 0).\]Les deux fonctions sont inverses l'une de l'autre :
\[e^{\ln x} = x \quad (x > 0) \qquad \ln(e^x) = x \quad (x \in \mathbb{R}).\]De plus : \(e^0 = 1\), \(e^1 = e\), et \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
\(\exp\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((e^x)' = e^x\). Comme \(e^x > 0\), elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0.\]Les courbes de \(\ln\) et de \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Le point \((a\,;\,b)\) est sur la courbe de \(\ln\) si et seulement si \((b\,;\,a)\) est sur la courbe de \(\exp\).
- \(e^x = e^y \Leftrightarrow x = y\).
- \(e^x = k \Leftrightarrow x = \ln k\) (avec \(k > 0\) ; impossible si \(k \le 0\)).
- \(e^x \ge k \Leftrightarrow x \ge \ln k\) si \(k > 0\).
Résoudre \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\).
Poser \(X = e^x > 0\) : \(X^2 - 3X + 2 = 0\), soit \((X-1)(X-2) = 0\).
- \(X = 1 \Rightarrow x = 0\).
- \(X = 2 \Rightarrow x = \ln 2\).
Résoudre \(\ln(e^x + 1) = 2\).
\[e^x + 1 = e^2 \Rightarrow e^x = e^2 - 1 \Rightarrow x = \ln(e^2 - 1) \approx 1{,}87.\]On vérifie \(e^2 - 1 > 0\).
- \((e^{3x+1})' = 3e^{3x+1}\).
- \((e^{-x^2})' = -2x\,e^{-x^2}\).
- \(\left(\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}\right)' = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\).
\(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). L'équation \(e^x = 0\) n'a aucune solution. Si un raisonnement aboutit à \(e^x \le 0\), une erreur a été commise en amont. Ne pas écrire non plus \(e^a \times e^b = e^{ab}\) : la règle est \(e^a \times e^b = e^{a+b}\).
Figure interactive — Symétrie de \(\ln\) et \(\exp\) par rapport à \(y = x\)
\(y = \ln x\)
\(y = x\) (axe de symétrie)
point et symétrique
Déplacer le curseur pour choisir un point sur la courbe de ln
Le point \(A = (a\,;\,\ln a)\) est sur la courbe de \(\ln\). Son symétrique \(A' = (\ln a\,;\,a)\) est sur la courbe de \(\exp\). Le segment \(AA'\) est perpendiculaire à la droite \(y=x\) et coupé en son milieu par elle.
Fonctions cosinus et sinus
Rappel de SecondeLes fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont définies sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([-1;1]\), et périodiques de période \(2\pi\). La fonction cosinus est paire ; la fonction sinus est impaire.
Sur \([0;\pi]\), le cosinus est décroissant (de \(1\) à \(-1\)). Sur \([-\pi/2;\pi/2]\), le sinus est croissant (de \(-1\) à \(1\)).
Résumé
\(\ln(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}\) · \(\mathbb{D}=]0;+\infty[\) · \(\ln 1=0\) · \(\ln e=1\) · \(\ln e^a=a\)
\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) · \(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\) · \(\ln(a^n)=n\ln a\) · \(\ln(1/a)=-\ln a\)
\((\ln x)'=\frac{1}{x}\) · \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\) si \(u>0\)
\(\lim_{0^+}\ln x=-\infty\) · \(\lim_{+\infty}\ln x=+\infty\) · \(\frac{\ln x}{x^n}\to 0\) · \(x^n\ln x\to 0\)
3 étapes : \(\mathcal{D}\) → Résoudre → Conclure · \(\ln A=\ln B\Leftrightarrow A=B\) · \(\ln A<\ln B\Leftrightarrow A<B\)
Écrire \(\mathcal{D}\) en premier · Vérifier \(u>0\) avant \((\ln u)'\) · Croissances comparées pour les limites
Réciproque de ln · Définie sur \(\mathbb{R}\) · \(e^x>0\) toujours · \(e^0=1\), \(e^1=e\approx2{,}718\)
\(e^{a+b}=e^a e^b\) · \(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\) · \((e^a)^n=e^{na}\) · \(\frac{1}{e^a}=e^{-a}\) · \(e^0=1\)
\((e^x)'=e^x\) · \((e^u)'=u'e^u\) · Factoriser \(e^x\) · Signe = signe du polynôme
\(e^{-\infty}=0\), \(e^{+\infty}=+\infty\) · \(\frac{e^x}{x^n}\to+\infty\) · \(\frac{x^n}{e^x}\to 0\) · \(x^n e^x\to 0\) en \(-\infty\)
A: \(e^A=e^B\to A=B\) · B: \(e^A=k>0\to A=\ln k\) · C: \(k\leq 0\to\emptyset\) · D: \(P(x)e^Q=0\to P=0\)
Factoriser \(e^x\) · AH si limite finie · Croissances comparées pour FI · Pas de domaine à vérifier
Domaine toujours \(\mathbb{R}\). Dériver terme à terme, factoriser \(f'\), dresser le tableau de signes. Le coefficient dominant détermine le comportement en \(\pm\infty\).
Dénominateur nul, numérateur non nul. Analyser les signes à gauche et à droite pour savoir si \(f \to +\infty\) ou \(-\infty\).
Diviser par la plus haute puissance. Si \(\deg P = \deg Q\) : limite = rapport des coefficients dominants. Si \(\deg P < \deg Q\) : limite = 0.
Division euclidienne de \(P\) par \(Q\) quand \(\deg P = \deg Q + 1\). Écrire \(f(x) = mx + p + \frac{r(x)}{Q(x)}\).
\(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\). Si le résultat est \(\dfrac{k}{v^2}\) avec \(k\) constant, le signe de \(f'\) est celui de \(k\).
Si \(f'(x_0) = 0\) mais \(f'\) ne change pas de signe, c'est un point d'inflexion. Toujours vérifier le changement de signe avant de conclure.
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Soit \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=x-2\ln(x)\).
1. Limites :
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=0-2(-\infty)=+\infty\quad\Rightarrow\text{ AV : }x=0\]
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\!\left(1-\frac{2\ln x}{x}\right)=+\infty\quad\text{(croissances comparées)}\]
2. Dérivée et signe :
\[f'(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}\]
\(f'(x)<0\) sur \(]0\,;\,2[\), \(f'(2)=0\), \(f'(x)>0\) sur \(]2\,;\,+\infty[\).
3. Tableau de variations :
\(f(2)=2-2\ln 2\approx 0{,}61\)
| \(x\) | \(0^+\) | 2 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(2-2\ln 2\) | ↗ | \(+\infty\) |
4. Signe de f : Le minimum \(f(2)=2-2\ln 2>0\) → \(f(x)>0\) pour tout \(x>0\).
\[x-2\ln(x)>0\Longleftrightarrow x>2\ln(x)\quad\text{pour tout }x>0\]
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(2x-3)e^x+1\).
Valeurs remarquables : \(f(0)=-2\) · \(f(1)=1-e\approx-1{,}72\)
Dérivée — produit \((uv)'=u'v+uv'\) :
\[f'(x)=2e^x+(2x-3)e^x=e^x(2+2x-3)=(2x-1)e^x\]
Signe de \(f'\) : \(e^x>0\) toujours → signe de \(2x-1\) seul.
Limites :
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0+1=1\) (croissances comparées : \((2x-3)e^x\to 0\)) → AH : \(y=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
Tableau de variations : minimum en \(x=\frac{1}{2}\) : \(f\!\left(\frac{1}{2}\right)=(1-3)\sqrt{e}+1=1-2\sqrt{e}\approx-2{,}30\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 1 | ↘ | \(1-2\sqrt{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
Asymptote horizontale en \(-\infty\) : \(y=1\).
Position : \(f(x)-1=(2x-3)e^x\) · négatif pour \(x<\frac{3}{2}\), nul en \(x=\frac{3}{2}\), positif pour \(x>\frac{3}{2}\).
Points remarquables : \(A(0\,;\,-2)\) · traversée de l'AH en \(\left(\frac{3}{2}\,;\,1\right)\)
Tangente en \(x=0\) : \(f(0)=-2\), \(f'(0)=-1\) → \(T:y=-x-2\)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) par \[f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}.\]
Question 1 — Domaine et simplification éventuelle.
Le seul réel interdit est \(x = 2\) (racine du dénominateur). Factorisons le numérateur : \(x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)\). On obtient donc \[f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x + 1 \quad \text{pour } x \neq 2.\] La valeur \(x = 2\) est exclue du domaine, mais la courbe est en réalité la droite \(y = x + 1\) avec un trou en \((2\,;\,3)\). Il n'y a ni asymptote verticale, ni asymptote oblique proprement dite.
Question 2 — Dérivée et variations.
Sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\), \(f(x) = x + 1\) donc \(f'(x) = 1 > 0\) partout sur le domaine. La fonction est strictement croissante sur \(]-\infty\,;2[\) et sur \(]2\,;+\infty[\).
Question 3 — Étude de \(g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Le numérateur \(x^2 + 1 \geq 1 > 0\) ne s'annule jamais, donc il n'y a pas de simplification.
Division euclidienne : \(x^2 + 1 = (x-1)(x+1) + 2\), donc \(g(x) = x + 1 + \dfrac{2}{x-1}\).
Asymptote verticale \(x = 1\) et asymptote oblique \(y = x + 1\).
Dérivée :
\[ g'(x) = 1 - \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 2}{(x-1)^2}. \]\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 = 2 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}\). Soit \(x_1 = 1 - \sqrt{2} \approx -0{,}41\) et \(x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}41\).
Question 4 — Tableau de variations de \(g\).
Le dénominateur \((x-1)^2 > 0\) toujours, le signe de \(g'\) est celui de \((x-1)^2 - 2\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | || | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(g\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(x_1+1+\frac{2}{x_1-1}\) | \(\searrow\) | || | \(\searrow\) | \(x_2+1+\frac{2}{x_2-1}\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
Valeur au maximum local : \(g(x_1) = (1-\sqrt{2})+1+\dfrac{2}{-\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} \approx -0{,}83\). Valeur au minimum local : \(g(x_2) = 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} \approx 4{,}83\).
Question 5 — Position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique.
On a \(g(x) - (x+1) = \dfrac{2}{x-1}\). Ce reste est positif quand \(x > 1\) (la courbe est au-dessus de l'asymptote) et négatif quand \(x < 1\) (la courbe est en-dessous). La courbe ne coupe donc jamais son asymptote oblique, mais est de part et d'autre selon la branche considérée.
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