Terminale C · Leçon 6
Applications affines de l’espace
Ce que dit le programme officiel (8 points)
- Translation, homothétie, symétrie orthogonale par rapport à un plan ou par rapport à une droite, rotation, vissage
- Définir ces applications
- Reconnaître parmi ces applications celles qui sont des isométries de l’espace
- Construire le transformé d’un point par chacune de ces applications
- Utiliser les propriétés de ces applications pour démontrer l’alignement, le parallélisme, l’orthogonalité
- Isométries de l’espace
- Classer les isométries de l’espace à partir des points invariants
- Limite : l’étude de ces applications se fait sur des exemples
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Translation, symétrie centrale et symétrie orthogonale
Rappel de SecondeUne translation, une symétrie centrale ou une symétrie orthogonale déplace une figure sans la déformer. Cette idée simple devient un outil de démonstration : pour prouver que deux segments ont la même longueur, que deux droites sont parallèles ou qu'un point est le milieu d'un segment, il suffit souvent de trouver la transformation qui envoie une partie de la figure sur l'autre. Dans un repère, ces transformations se traduisent aussi par des formules très simples sur les coordonnées.
- La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). Si \(\vec u(a\,;b)\) et \(M(x\,;y)\), alors \(M'(x+a\,;y+b)\).
- La symétrie centrale de centre \(\Omega\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\Omega\) soit le milieu de \([MM']\). Si \(\Omega(a\,;b)\), alors \(M'(2a-x\,;2b-y)\).
- La symétrie orthogonale d'axe \(\Delta\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\Delta\) soit la médiatrice de \([MM']\) (et \(M'=M\) si \(M\in\Delta\)). Axe \((Ox)\) : \(M'(x\,;-y)\) ; axe \((Oy)\) : \(M'(-x\,;y)\) ; droite d'équation \(y=x\) : \(M'(y\,;x)\).
Ces trois transformations conservent les distances, l'alignement, les milieux, le parallélisme, l'orthogonalité et les angles géométriques. En conséquence :
- l'image d'un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de même longueur ;
- l'image d'une droite est une droite ; pour une translation ou une symétrie centrale, cette droite image est parallèle à la droite de départ ;
- l'image d'un cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(C'\) et de même rayon \(r\) ;
- une droite qui passe par le centre d'une symétrie centrale est sa propre image (droite globalement invariante).
- Repère deux parties de la figure qui « se correspondent » (même forme, même taille).
- Cherche la transformation qui envoie l'une sur l'autre : un milieu commun suggère une symétrie centrale, deux vecteurs égaux une translation, une médiatrice une symétrie orthogonale.
- Justifie l'image de chaque point utile à partir de la définition (milieu, vecteur, médiatrice).
- Conclus avec une propriété de conservation : longueurs égales, droites parallèles, milieu conservé.
Dans un repère, remplace les étapes 2 et 3 par un calcul de coordonnées avec les formules de la définition.
Énoncé : Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\) et \(\vec u(-2\,;1)\). Détermine l'image de \(A\) et de \(B\) par la translation de vecteur \(\vec u\), l'image de \(A\) par la symétrie de centre \(\Omega(2\,;0)\), puis l'image de \(B\) par la symétrie d'axe \((Ox)\).
Solution : Par la translation : \(A'(1-2\,;2+1)=(-1\,;3)\) et \(B'(4-2\,;3+1)=(2\,;4)\). On contrôle : \(\overrightarrow{AB}(3\,;1)\) et \(\overrightarrow{A'B'}(3\,;1)\) sont égaux, donc \(A'B'=AB\) et \((A'B')\parallel(AB)\).
Par la symétrie de centre \(\Omega(2\,;0)\) : \(A_1(2\times2-1\,;2\times0-2)=(3\,;-2)\). Contrôle : le milieu de \([AA_1]\) est \(\left(\dfrac{1+3}2\,;\dfrac{2-2}2\right)=(2\,;0)=\Omega\).
Par la symétrie d'axe \((Ox)\) : \(B_2(4\,;-3)\).
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Voir les offresTranslation d’un triangle de vecteur \(\vec u(3\,;1)\)
Chaque point du triangle \(ABC\) est déplacé du même vecteur \(\vec u\) : les trois flèches sont parallèles, de même sens et de même longueur, et le triangle image \(A'B'C'\) est superposable au triangle de départ.
Une translation et une symétrie centrale envoient toute droite sur une droite parallèle. Ce n'est pas vrai pour une symétrie orthogonale : par la symétrie d'axe \((Ox)\), la droite d'équation \(y=x\) a pour image la droite d'équation \(y=-x\), qui lui est perpendiculaire. N'utilise donc jamais « droite image parallèle » avec une symétrie orthogonale.
Deuxième erreur fréquente : écrire \(M'(x-a\,;y-b)\) pour la translation de vecteur \(\vec u(a\,;b)\). On ajoute les coordonnées du vecteur, car \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\) donne \(x'-x=a\) et \(y'-y=b\).
Après un calcul d'image, vérifie la définition : pour une translation, recalcule \(\overrightarrow{MM'}\) ; pour une symétrie centrale, calcule le milieu de \([MM']\) ; pour une symétrie orthogonale, vérifie que le milieu de \([MM']\) est sur l'axe et que \((MM')\) est perpendiculaire à l'axe. Ce contrôle prend quelques secondes et évite la plupart des erreurs de signe.
La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). La symétrie centrale de centre \(O\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(O\) soit le milieu de \([MM']\). La symétrie orthogonale (ou axiale) d'axe \(d\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(d\) soit la médiatrice de \([MM']\).
Homothétie : définition et propriétés
Rappel de SecondeQuand on agrandit une photo, quand on projette une diapositive sur un mur ou quand on dessine un plan à l'échelle, la figure change de taille mais garde exactement sa forme : les angles ne bougent pas, toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre. L'homothétie est la transformation du plan qui décrit ces agrandissements et ces réductions à partir d'un point fixe, le centre. C'est aussi un outil de démonstration : reconnaître une homothétie dans une figure donne d'un seul coup des droites parallèles, des points alignés et des rapports de longueurs.
L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) (\(k\in\mathbb{R}^*\)) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\). Elle correspond exactement à la multiplication par le scalaire \(k\) en écriture vectorielle depuis le centre \(O\) — c'est le même \(k\) que celui du théorème de Thalès.
Conserve l'alignement, le parallélisme, les barycentres. Multiplie les distances par \(|k|\) et les aires par \(k^2\). Si \(k=1\) : identité. Si \(k=-1\) : symétrie centrale de centre \(O\). Une droite est envoyée sur une droite parallèle ; un cercle de rayon \(r\) sur un cercle de rayon \(|k|r\).
Facile. \(O(0;0)\), \(k=2\), \(A(3;1)\). L'image \(A'\) vérifie \(\overrightarrow{OA'}=2\overrightarrow{OA}\), donc \(A'(6;2)\).
Rapport négatif. \(O(1;1)\), \(k=-\tfrac12\), \(B(5;3)\). \(\overrightarrow{OB}(4;2)\), donc \(\overrightarrow{OB'}=-\tfrac12(4;2)=(-2;-1)\), soit \(B'(-1;0)\) : \(B'\) est de l'autre côté de \(O\) par rapport à \(B\).
Figure interactive — Homothétie de centre O
Le triangle bleu est l'image du triangle gris par l'homothétie de centre O et de rapport k.
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) (avec \(k\ne 0\)), et \(M\) un point distinct de \(O\), d'image \(M'=h(M)\). L'égalité \(\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}\) dit où se trouve \(M'\) :
- \(M'\) est toujours sur la droite \((OM)\), à la distance \(OM'=|k|\times OM\) du centre ;
- si \(k\gt 0\), \(M\) et \(M'\) sont du même côté de \(O\) ; si \(k\lt 0\), ils sont de part et d'autre de \(O\) ;
- si \(|k|\gt 1\), l'homothétie est un agrandissement : \(M'\) est plus loin de \(O\) que \(M\) ; si \(|k|\lt 1\), c'est une réduction : \(M'\) est plus près de \(O\).
Par exemple, pour \(k=\dfrac{1}{2}\), \(M'\) est le milieu de \([OM]\) ; pour \(k=-2\), \(O\) est entre \(M\) et \(M'\) et \(OM'=2\,OM\).
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
- Point invariant. Le centre est sa propre image : \(h(O)=O\). Si \(k\ne 1\), c'est le seul point invariant. En effet, si \(M'=M\), alors \(\overrightarrow{OM}=k\,\overrightarrow{OM}\), donc \((1-k)\,\overrightarrow{OM}=\vec{0}\), ce qui impose \(M=O\).
- Alignement. Un point, son image et le centre sont toujours alignés, car les vecteurs \(\overrightarrow{OM}\) et \(\overrightarrow{OM'}\) sont colinéaires.
- Homothétie réciproque. Si \(M'=h(M)\), alors \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{k}\,\overrightarrow{OM'}\) : on revient de \(M'\) à \(M\) par l'homothétie de même centre \(O\) et de rapport \(\dfrac{1}{k}\).
Conséquence pratique : si deux points \(A\) et \(B\) ont pour images \(A'\) et \(B'\), le centre est à la fois sur \((AA')\) et sur \((BB')\).
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\). Si \(A'=h(A)\) et \(B'=h(B)\), alors
\[\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}.\]Démonstration. Avec la relation de Chasles, \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{A'O}+\overrightarrow{OB'}=-k\,\overrightarrow{OA}+k\,\overrightarrow{OB}=k\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right)=k\,\overrightarrow{AB}\).
Ce que l'on en tire.
- \(A'B'=|k|\times AB\) : toutes les longueurs sont multipliées par \(|k|\).
- Les droites \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles : l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
- Si \(k\gt 0\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{A'B'}\) ont le même sens ; si \(k\lt 0\), ils sont de sens contraires.
Caractérisation. Réciproquement, si une transformation vérifie \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) pour tous les points \(A\) et \(B\), avec \(k\) différent de 0 et de 1, alors c'est une homothétie de rapport \(k\).
Par une homothétie de rapport \(k\) :
- l'image d'un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de longueur \(|k|\times AB\) ; l'image du milieu de \([AB]\) est le milieu de \([A'B']\) ;
- l'image d'une droite est une droite parallèle ; une droite qui passe par le centre est sa propre image ;
- l'image d'une demi-droite d'origine \(A\) est une demi-droite d'origine \(A'\) ;
- l'image du cercle de centre \(I\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(I'=h(I)\) et de rayon \(|k|\times r\) ;
- l'image d'un triangle est un triangle qui a les mêmes angles : deux droites perpendiculaires ont des images perpendiculaires, deux droites parallèles ont des images parallèles.
Aires. Les longueurs sont multipliées par \(|k|\), donc les aires sont multipliées par \(k^2\). Pour un rectangle de côtés \(a\) et \(b\), l'image a pour côtés \(|k|a\) et \(|k|b\), donc pour aire \(k^2\times ab\).
Image d'un point \(M\) par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
- Trace la droite \((OM)\).
- Regarde le signe de \(k\) : pour \(k\gt 0\), l'image est sur la demi-droite \([OM)\) ; pour \(k\lt 0\), elle est sur la demi-droite opposée.
- Reporte la distance \(OM'=|k|\times OM\) à partir de \(O\).
Image d'une figure. On ne construit ainsi qu'un seul point. Pour les suivants, on utilise le parallélisme : si \(A'\) est connu, l'image \(B'\) de \(B\) est le point d'intersection de la droite \((OB)\) et de la parallèle à \((AB)\) passant par \(A'\). C'est plus rapide et plus précis que de mesurer à chaque fois.
Image d'un cercle. Il suffit de construire l'image \(I'\) du centre, puis de tracer le cercle de centre \(I'\) et de rayon \(|k|\times r\).
On connaît deux points \(A\), \(B\) et leurs images \(A'\), \(B'\).
- Le rapport. Écris \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\). La valeur absolue de \(k\) est \(\dfrac{A'B'}{AB}\) ; son signe est positif si les deux vecteurs ont le même sens, négatif sinon.
- Le centre. Sur une figure, c'est le point d'intersection des droites \((AA')\) et \((BB')\). Par le calcul, on traduit \(\overrightarrow{OA'}=k\,\overrightarrow{OA}\) en coordonnées et on résout deux équations du premier degré.
- La vérification. Contrôle que l'on a bien aussi \(\overrightarrow{OB'}=k\,\overrightarrow{OB}\).
Pour démontrer avec une homothétie, la rédaction suit toujours le même plan : nommer le centre et le rapport, justifier l'image de chaque point utilisé, puis citer la propriété qui donne la conclusion (parallélisme, longueurs multipliées par \(|k|\), alignement avec le centre).
Énoncé. \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB=4\) cm et \(AC=3\) cm. On note \(A'B'C'\) son image par une homothétie de rapport 3. Calcule les côtés, le périmètre et l'aire de \(A'B'C'\).
Solution. D'après le théorème de Pythagore, \(BC^2=4^2+3^2=25\), donc \(BC=5\) cm. Une homothétie de rapport 3 multiplie les longueurs par 3 : \(A'B'=12\) cm, \(A'C'=9\) cm et \(B'C'=15\) cm.
Les droites perpendiculaires \((AB)\) et \((AC)\) ont des images perpendiculaires : le triangle \(A'B'C'\) est rectangle en \(A'\). On le contrôle : \(12^2+9^2=144+81=225=15^2\).
Le périmètre passe de \(4+3+5=12\) cm à \(12+9+15=36\) cm : il est multiplié par 3, comme toute longueur. L'aire de \(ABC\) vaut \(\dfrac{4\times 3}{2}=6\) cm² ; celle de \(A'B'C'\) vaut \(\dfrac{12\times 9}{2}=54\) cm², soit \(9\times 6\) : elle est multipliée par \(k^2=9\), et non par 3.
Remarque : le résultat ne dépend pas de la position du centre. Le centre fixe l'endroit où se trouve l'image, pas sa taille.
Énoncé. \(ABCD\) est un trapèze tel que \(\overrightarrow{DC}=\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}\), avec \(AB=6\) cm. Ses diagonales \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en \(I\). Démontre que \(IA=3\,IC\), puis calcule \(IA\) et \(IC\) sachant que \(AC=8\) cm.
Solution. Les points \(I\), \(A\) et \(C\) sont alignés et \(I\) est distinct de \(A\) : il existe une homothétie \(h\) de centre \(I\) qui envoie \(A\) sur \(C\). Notons \(k\) son rapport.
L'image de la droite \((AB)\) est la droite parallèle à \((AB)\) passant par \(C\), c'est-à-dire \((CD)\). L'image de \(B\) est donc sur \((CD)\). Elle est aussi sur la droite \((IB)\), qui est la droite \((BD)\). Le seul point commun à ces deux droites est \(D\) : \(h(B)=D\).
D'après la propriété fondamentale, \(\overrightarrow{CD}=k\,\overrightarrow{AB}\). Or \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}\), donc \(k=-\dfrac{1}{3}\). Ainsi \(\overrightarrow{IC}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{IA}\), d'où \(IC=\dfrac{1}{3}\,IA\), c'est-à-dire \(IA=3\,IC\).
Le rapport est négatif : \(I\) est entre \(A\) et \(C\), donc \(AC=IA+IC=4\,IC\). Avec \(AC=8\) cm, on obtient \(IC=2\) cm et \(IA=6\) cm. De même \(IB=3\,ID\).
Énoncé. Dans un repère, une homothétie \(h\) envoie \(A(2;1)\) sur \(A'(4;5)\) et \(B(3;0)\) sur \(B'(7;2)\). Détermine son rapport et son centre, puis l'image du point \(C(0;2)\).
Rapport. \(\overrightarrow{AB}(1;-1)\) et \(\overrightarrow{A'B'}(3;-3)\), donc \(\overrightarrow{A'B'}=3\,\overrightarrow{AB}\) : le rapport est \(k=3\).
Centre. Soit \(O(x;y)\) le centre. L'égalité \(\overrightarrow{OA'}=3\,\overrightarrow{OA}\) s'écrit \(4-x=3(2-x)\) et \(5-y=3(1-y)\). La première équation donne \(2x=2\), soit \(x=1\) ; la seconde donne \(2y=-2\), soit \(y=-1\). Le centre est \(O(1;-1)\).
Vérification avec \(B\). \(\overrightarrow{OB}(2;1)\) et \(\overrightarrow{OB'}(6;3)\) : on a bien \(\overrightarrow{OB'}=3\,\overrightarrow{OB}\).
Image de \(C\). \(\overrightarrow{OC}(-1;3)\), donc \(\overrightarrow{OC'}=3\,\overrightarrow{OC}\) a pour coordonnées \((-3;9)\), et \(C'\) a pour coordonnées \((1-3;-1+9)\), soit \(C'(-2;8)\).
Premier piège : le signe. L'égalité \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) porte sur des vecteurs. Pour les longueurs, c'est \(A'B'=|k|\times AB\) : une longueur n'est jamais négative. Avec \(k=-\dfrac{1}{2}\) et \(AB=4\) cm, on trouve \(A'B'=2\) cm, et non \(-2\) cm.
Deuxième piège : les aires. Les aires sont multipliées par \(k^2\), pas par \(k\). Avec \(k=-\dfrac{1}{2}\), un triangle d'aire 6 cm² a une image d'aire \(\dfrac{1}{4}\times 6=1{,}5\) cm². Une aire doublée ne correspond donc pas à des longueurs doublées.
Troisième piège : le centre. Le centre \(O\) n'est le milieu de \([MM']\) que pour \(k=-1\). Dans tous les autres cas, on sait seulement que \(O\), \(M\) et \(M'\) sont alignés.
Quatrième piège : l'ordre des points. Dire que \(h\) envoie \(A\) sur \(A'\) avec le rapport \(k\) s'écrit \(\overrightarrow{OA'}=k\,\overrightarrow{OA}\). Écrire \(\overrightarrow{OA}=k\,\overrightarrow{OA'}\) revient à prendre l'homothétie réciproque, de rapport \(\dfrac{1}{k}\).
Rotation : définition, réciproque, composée
Rappel de PremièreRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresLa réciproque de la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) est la rotation de même centre \(\Omega\) et d'angle \(-\theta\). La composée de deux rotations de même centre \(\Omega\), d'angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\), est la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta_1+\theta_2\).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure interactive — Rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\)
Faites glisser \(\theta\) : le triangle image tourne autour de \(O\) en conservant sa forme et sa taille (isométrie).
Isométries de l'espace
Dans l'espace, les isométries usuelles sont les translations, les rotations autour d'un axe, les réflexions par rapport à un plan et leurs composées. Comme dans le plan, elles conservent les distances, l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, ainsi que les aires et les volumes.
Espace : incidence, parallélisme et orthogonalité (géométrie de position)
Rappel de PremièreUne droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan. Deux plans sont parallèles s'ils ne se coupent pas (ou sont confondus). Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan — elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.
Pour démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de trouver deux droites sécantes de ce plan, chacune orthogonale à la droite étudiée — inutile de vérifier toutes les droites du plan une à une. Ces propriétés serviront directement pour la sphère (XXIV.2) et les sections de polyèdres (XXV).
Résumé
\(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\). Multiplie distances par \(|k|\), aires par \(k^2\). Conserve alignement, parallélisme, barycentres.
Conserve toutes les distances et les aires. Propriétés admises, jamais démontrées à ce niveau — simple initiation.
Homothétie de rapport \(-1\) = symétrie centrale. Rotation de \(180°\) = symétrie centrale de même centre.
Étude systématique des composées de transformations — aucune capacité exigible à ce sujet.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
\(M'=h(M)\) signifie \(\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}\). Même côté de \(O\) si \(k\gt 0\), côtés opposés si \(k\lt 0\).
\(O\) est le seul point invariant si \(k\ne 1\). \(O\), \(M\) et \(M'\) sont alignés. Réciproque : même centre, rapport \(\dfrac{1}{k}\).
\(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) : \((A'B')\) est parallèle à \((AB)\) et \(A'B'=|k|\times AB\).
Droite, segment, cercle : image de même nature. Angles, milieux, parallélisme conservés. Longueurs multipliées par \(|k|\), aires par \(k^2\).
Nommer le centre et le rapport, justifier chaque image, conclure avec le parallélisme, les longueurs ou l'alignement.
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Voir les offresOrthogonale à deux droites sécantes du plan ⟹ orthogonale au plan entier.
\(d<R\) : cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).
\(d=R\) : un seul point, plan orthogonal au rayon en ce point.
\(d>R\) : aucune intersection.
Sujet type Bac
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O(0;0)\) et de rapport \(k=3\). Soit \(A(2;1)\) et \(B(-1;4)\).
Question 1. Déterminer les images \(A'\) et \(B'\) de \(A\) et \(B\) par \(h\).
\(A'(3\times2;3\times1)=(6;3)\). \(B'(3\times(-1);3\times4)=(-3;12)\).
Question 2. Comparer \(A'B'\) et \(AB\).
\(AB=\sqrt{(-1-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt2\). \(A'B'=\sqrt{(-3-6)^2+(12-3)^2}=\sqrt{81+81}=9\sqrt2\).
On a bien \(A'B' = |k|\times AB = 3\times3\sqrt2=9\sqrt2\), conforme à la propriété : l'homothétie multiplie les distances par \(|k|\).
Question 3. \((AB)\) et \((A'B')\) sont-elles parallèles ? Justifier sans calcul de coordonnées supplémentaire.
Oui : une propriété générale de l'homothétie est que l'image d'une droite est une droite parallèle. Comme \((A'B')\) est l'image de \((AB)\) par \(h\), elles sont nécessairement parallèles.
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Voir les offresQuestion 1. Sphère de centre \(O\) et de rayon \(R=13\). Un plan \(P_1\) est à distance \(d_1=5\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ? Donner son rayon.
\(d_1=5<13=R\) : plan sécant. Rayon \(r=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\).
Question 2. Un plan \(P_2\) est à distance \(d_2=13\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_2=13=R\) : plan tangent à la sphère en un unique point.
Question 3. Un plan \(P_3\) est à distance \(d_3=15\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_3=15>13=R\) : plan extérieur à la sphère, aucune intersection.