Terminale C · Leçon 15
Probabilité sur un ensemble fini
Ce que dit le programme officiel (15 points)
- Notion de probabilité : définition, vocabulaire
- Calcul des probabilités par dénombrement
- Définir une probabilité
- Reconnaître le vocabulaire relatif
- Déterminer la probabilité d’un événement
- Retrouver quelques propriétés des probabilités et les utiliser
- Probabilité conditionnelle : définition
- Utiliser la formule : P_B(A) = P(A∩B) / P(B), P(B) ≠ 0
- Reconnaître et utiliser la formule de la probabilité totale
- Limite : pour la loi de probabilité totale, se limiter au plus au cas n = 3
- Évènements indépendants
- Reconnaître des événements indépendants
- Produit de n espaces probabilisés finis
- Définir le produit de n espaces probabilisés finis
- Limite : on se limite au cas n = 2 ; on admet les résultats généraux
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Probabilités : univers, événements, équiprobabilité
Ce premier temps de révision pose le vocabulaire commun qui sera mobilisé tout au long du chapitre. Même si les notions semblent familières, les confusions restent fréquentes au Bac, notamment entre les opérateurs \(\cup\) et \(\cap\), ou l'oubli du terme \(P(A \cap B)\) dans la formule de l'union.
On appelle univers \(\Omega\) l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Une probabilité \(P\) sur \(\Omega\) est une fonction qui associe à chaque événement \(A \subseteq \Omega\) un réel \(P(A) \in [0\,;1]\), vérifiant \(P(\Omega) = 1\) et, pour \(A, B\) incompatibles (\(A \cap B = \emptyset\)) : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
\[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]Lorsque toutes les issues de \(\Omega\) sont équiprobables, la probabilité d'un événement \(A\) est simplement le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles :
\[ P(A) = \frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)} \]Le nombre de façons de choisir \(k\) objets parmi \(n\) (sans tenir compte de l'ordre) est donné par le coefficient binomial :
\[ C_{n}^{k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \]
On lance un dé cubique équilibré. \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\),
chaque issue a la probabilité \(\tfrac{1}{6}\).
Soit \(A\) = « obtenir un nombre pair » et \(B\) = « obtenir un nombre
strictement supérieur à 4 ».
\(A = \{2,4,6\}\), \(B = \{5,6\}\), \(A \cap B = \{6\}\).
\(P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6}
= \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\).
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire simultanément 2 boules. L'univers \(\Omega\) contient \(C_{8}^{2} = 28\) issues équiprobables. Soit \(A\) = « tirer 2 boules rouges » : \(\operatorname{card}(A) = C_{5}^{2} = 10\), donc \(P(A) = \dfrac{10}{28} = \dfrac{5}{14}\).
La formule \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) n'est valable que si \(A\) et \(B\) sont incompatibles. Dans tous les autres cas, il faut soustraire \(P(A \cap B)\), sous peine de compter l'intersection deux fois.
Opérations sur les événements, événements incompatibles
Définitions essentielles
Univers \(\Omega\) : ensemble de toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire.
Événement : sous-ensemble de \(\Omega\). Opérations : complémentaire \(\bar{A}\), union \(A\cup B\), intersection \(A\cap B\).
\[P(A)=\frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}\quad\text{(équiprobabilité)} \qquad P(\bar{A})=1-P(A) \qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
Probabilité conditionnelle et indépendance, probabilités totales
La probabilité conditionnelle répond à une question naturelle : comment la connaissance d'un événement \(B\) modifie-t-elle nos chances que \(A\) se réalise ? Cette notion est au cœur des arbres de probabilité et des problèmes de tirage sans remise.
Soient \(A\) et \(B\) deux événements avec \(P(B) \neq 0\). La probabilité de \(A\) sachant \(B\) est :
\[ P_{B}(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad\text{soit}\qquad P(A \cap B) = P(B)\cdot P_{B}(A) \]Si \(\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}\) forme une partition de \(\Omega\) (événements deux à deux incompatibles, de réunion \(\Omega\), tous de probabilité non nulle), alors pour tout événement \(A\) :
\[ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)\cdot P_{B_i}(A) \]En pratique, cette formule correspond à la lecture d'un arbre de probabilité : on multiplie les probabilités le long d'un chemin, puis on additionne les chemins favorables.
1. Identifier la partition. Les premières branches de
l'arbre correspondent à une partition de \(\Omega\) (ex. : qualité d'une
pièce, couleur d'une boule, résultat d'un test).
2. Placer les probabilités sur les branches. Sur le
premier niveau, ce sont les probabilités simples \(P(B_i)\). Sur le
second niveau, ce sont les probabilités conditionnelles \(P_{B_i}(A)\).
3. Règle du produit. La probabilité d'un chemin
\(B_i \to A\) est \(P(B_i) \times P_{B_i}(A) = P(B_i \cap A)\).
4. Règle de la somme. \(P(A)\) est la somme des
probabilités de tous les chemins aboutissant à \(A\).
Une urne contient 3 boules rouges (R) et 2 vertes (V). On tire successivement 2 boules sans remise. On note \(R_i\) : « la \(i\)-ième boule est rouge ».
| 1er tirage | 2e tirage | Probabilité du chemin |
|---|---|---|
| \(P(R_1) = \tfrac{3}{5}\) | \(P_{R_1}(R_2) = \tfrac{2}{4}\) | \(\tfrac{3}{5}\times\tfrac{2}{4} = \tfrac{3}{10}\) |
| \(P(R_1) = \tfrac{3}{5}\) | \(P_{R_1}(V_2) = \tfrac{2}{4}\) | \(\tfrac{3}{5}\times\tfrac{2}{4} = \tfrac{3}{10}\) |
| \(P(\bar{R}_1) = \tfrac{2}{5}\) | \(P_{\bar{R}_1}(R_2) = \tfrac{3}{4}\) | \(\tfrac{2}{5}\times\tfrac{3}{4} = \tfrac{3}{10}\) |
| \(P(\bar{R}_1) = \tfrac{2}{5}\) | \(P_{\bar{R}_1}(V_2) = \tfrac{1}{4}\) | \(\tfrac{2}{5}\times\tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{10}\) |
Par la formule des probabilités totales : \(P(R_2) = \tfrac{3}{10} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{3}{5}\). Ce résultat est cohérent : par symétrie, les boules de chaque couleur ont la même probabilité d'apparaître en \(2^{\text{e}}\) position qu'en \(1^{\text{re}}\).
Une usine produit des pièces sur deux lignes : la ligne A fournit 60 %
de la production, la ligne B fournit 40 %. Le taux de défaut est
2 % sur A et 5 % sur B. On choisit une pièce au hasard.
Soit \(D\) = « la pièce est défectueuse ».
\(P(D) = P(A)\cdot P_A(D) + P(B)\cdot P_B(D)
= 0{,}60 \times 0{,}02 + 0{,}40 \times 0{,}05
= 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032\).
La probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse est
donc 3,2 %.
Deux événements \(A\) et \(B\) sont dits indépendants lorsque la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre. Formellement :
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \qquad \text{(équivalent à } P_B(A) = P(A) \text{ si } P(B) \neq 0\text{)} \]Attention : indépendance et incompatibilité sont des notions opposées. Si \(P(A) > 0\) et \(P(B) > 0\), deux événements incompatibles ne peuvent pas être indépendants.
Un classique des copies de Bac : confondre « \(A\) et \(B\) sont incompatibles » (ils ne peuvent pas se réaliser simultanément) avec « \(A\) et \(B\) sont indépendants » (la réalisation de l'un n'influence pas l'autre). Ces deux propriétés sont distinctes et la plupart du temps incompatibles entre elles dès que les deux événements ont une probabilité non nulle.
Figure interactive — Arbre de probabilité à deux niveaux