Terminale C · Leçon 16
Variables aléatoires
Ce que dit le programme officiel (10 points)
- Notion de variable aléatoire : définition
- Définir une variable aléatoire réelle
- Loi de probabilité
- Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle
- Espérance mathématique ; variance et écart-type
- Déterminer l’espérance mathématique, la variance, l’écart type d’une variable aléatoire
- Fonction de répartition
- Déterminer la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle
- Loi binomiale : schéma de Bernoulli ; épreuves répétées
- Définir et utiliser la loi binomiale
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Variable aléatoire discrète : loi, espérance, variance
Une variable aléatoire est un outil qui permet de quantifier l'issue d'une expérience aléatoire. Plutôt que de raisonner sur des événements qualitatifs, on traduit chaque issue en un nombre, puis on analyse la distribution de ces nombres.
Une variable aléatoire discrète \(X\) est une fonction qui associe un réel à chaque issue de \(\Omega\). Sa loi de probabilité est la donnée, pour chaque valeur \(x_i\) prise par \(X\), de la probabilité \(p_i = P(X = x_i)\), avec \(\displaystyle\sum_i p_i = 1\).
La fonction de répartition de \(X\) est \(F(x) = P(X \le x)\). C'est une fonction en escalier, croissante, allant de \(0\) (à gauche de toutes les valeurs) à \(1\) (à droite de toutes les valeurs).
L'espérance \(E(X)\) est la moyenne pondérée des valeurs de \(X\) par leurs probabilités : c'est la valeur « attendue en moyenne » sur un grand nombre d'épreuves. La variance \(V(X)\) mesure la dispersion des valeurs autour de cette moyenne. L'écart-type \(\sigma(X)\) est exprimé dans la même unité que \(X\).
Propriétés de linéarité : pour \(a, b \in \mathbb{R}\),
\[ E(aX + b) = a\,E(X) + b \qquad V(aX + b) = a^{2}\,V(X) \]\(X\) prend les valeurs \(0, 1, 2, 3\) avec les probabilités \(\tfrac{1}{8}, \tfrac{3}{8}, \tfrac{3}{8}, \tfrac{1}{8}\).
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(p_i\) | \(\tfrac{1}{8}\) | \(\tfrac{3}{8}\) | \(\tfrac{3}{8}\) | \(\tfrac{1}{8}\) |
| \(x_i \cdot p_i\) | \(0\) | \(\tfrac{3}{8}\) | \(\tfrac{6}{8}\) | \(\tfrac{3}{8}\) |
\(E(X) = 0 + \tfrac{3}{8} + \tfrac{6}{8} + \tfrac{3}{8} = \tfrac{12}{8} = \tfrac{3}{2}\).
\(E(X^2) = 0 \cdot \tfrac{1}{8} + 1 \cdot \tfrac{3}{8} + 4 \cdot \tfrac{3}{8}
+ 9 \cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{0 + 3 + 12 + 9}{8} = 3\).
\(V(X) = 3 - \left(\tfrac{3}{2}\right)^2 = 3 - \tfrac{9}{4} = \tfrac{3}{4}\).
\(\sigma(X) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87\).
Un jeu coûte 2 € à jouer. On lance un dé équilibré. On gagne 6 € si
on obtient un 6, 0 € sinon. Soit \(G\) le gain net du joueur.
Si le joueur obtient 6 : \(G = 6 - 2 = 4\) € (probabilité \(\tfrac{1}{6}\)).
Sinon : \(G = 0 - 2 = -2\) € (probabilité \(\tfrac{5}{6}\)).
\(E(G) = 4 \times \tfrac{1}{6} + (-2) \times \tfrac{5}{6}
= \tfrac{4 - 10}{6} = -1\) €.
Ce jeu est défavorable : en moyenne, le joueur perd 1 € par partie.
Pour calculer \(V(X)\), il est plus rapide d'utiliser \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\). On calcule \(E(X^2)\) en remplaçant chaque \(x_i\) par \(x_i^2\) dans la somme pondérée. Attention à ne pas confondre \([E(X)]^2\) (carré de l'espérance) et \(E(X^2)\) (espérance du carré).
Figure interactive — Loi de probabilité et fonction de répartition
Répartition \(F(k)\)
Fonction de répartition
La fonction de répartition d'une variable aléatoire \(X\) est la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[F(x) = P(X \le x).\]C'est une fonction en escalier, croissante au sens large, qui vaut 0 avant la plus petite valeur de \(X\) et vaut 1 à partir de la plus grande. À chaque valeur \(x_i\), elle fait un saut d'amplitude \(p_i = P(X = x_i)\).
La fonction de répartition permet de calculer directement des probabilités d'intervalles :
\[ P(X \le b) = F(b) \qquad P(X > a) = 1 - F(a) \qquad P(a < X \le b) = F(b) - F(a). \]Attention : la convention habituelle est \(F(x) = P(X \le x)\), qui inclut la valeur \(x\). Ainsi \(P(X < x) = F(x) - P(X = x)\) (différent de \(F(x)\) si \(X\) prend la valeur \(x\) avec une probabilité non nulle).
Pour construire le graphe de \(F\) : (1) écrire les valeurs \(x_i\) dans l'ordre croissant ; (2) calculer les paliers de \(F\) en cumulant les probabilités de gauche à droite (\(F(x_i) = p_1 + p_2 + \cdots + p_i\)) ; (3) tracer des segments horizontaux avec un point plein à gauche et un cercle vide à droite (convention de continuité à droite).
Pour \(X\) définie par \(P(X=0)=\tfrac{1}{2}\), \(P(X=20)=\tfrac{1}{3}\), \(P(X=100)=\tfrac{1}{6}\), la fonction de répartition est :
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0, \\[4pt] \dfrac{1}{2} & \text{si } 0 \le x < 20, \\[6pt] \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} & \text{si } 20 \le x < 100, \\[6pt] 1 & \text{si } x \ge 100. \end{cases} \]Par exemple : \(P(X \le 50) = F(50) = \tfrac{5}{6}\) (on tient compte des cas \(X=0\) et \(X=20\)) ; \(P(X > 20) = 1 - F(20) + P(X=20)\) … attention ici à la convention ! Comme \(F(20) = P(X \le 20) = \tfrac{5}{6}\), on obtient \(P(X > 20) = 1 - \tfrac{5}{6} = \tfrac{1}{6}\).
Fonction de répartition — Loi de X interactive
Curseur \(t\)
Épreuve et schéma de Bernoulli, loi binomiale
La loi binomiale est l'aboutissement naturel du chapitre. Elle modélise efficacement toute situation où l'on répète plusieurs fois la même expérience à deux issues — à condition que les répétitions soient indépendantes. C'est un point sur lequel le Bac insiste systématiquement.
Une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\) est une expérience aléatoire à deux issues : succès (probabilité \(p \in [0\,;1]\)) et échec (probabilité \(q = 1 - p\)).
Un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\) est la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Les résultats peuvent être représentés par un arbre binaire à \(n\) niveaux.
Si \(X\) est le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\), alors \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;p)\) et, pour tout entier \(k \in \{0, 1, \ldots, n\}\) :
\[ P(X = k) = C_{n}^{k}\;p^{k}\,q^{\,n-k} \] \[ E(X) = np \qquad V(X) = npq \qquad \sigma(X) = \sqrt{npq} \]Le coefficient \(C_n^k\) compte le nombre de façons d'obtenir exactement \(k\) succès parmi \(n\) épreuves (l'ordre n'importe pas). Le terme \(p^k\,q^{n-k}\) est la probabilité d'une séquence particulière avec \(k\) succès et \(n-k\) échecs.
Un basketteur réussit chaque lancer franc avec la probabilité
\(p = 0{,}7\). Il tire \(n = 5\) fois indépendamment.
\(X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}7)\).
a) \(P(X = 3) = C_5^3 \times (0{,}7)^3 \times (0{,}3)^2
= 10 \times 0{,}343 \times 0{,}09 = 0{,}3087\).
b) \(P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5)\).
\(P(X=4) = C_5^4 \times (0{,}7)^4 \times (0{,}3) = 5 \times 0{,}2401 \times 0{,}3 = 0{,}36015\).
\(P(X=5) = (0{,}7)^5 = 0{,}16807\).
\(P(X \ge 4) = 0{,}36015 + 0{,}16807 = 0{,}52822\).
c) \(E(X) = 5 \times 0{,}7 = 3{,}5\) réussites en moyenne.
\(\sigma(X) = \sqrt{5 \times 0{,}7 \times 0{,}3} = \sqrt{1{,}05} \approx 1{,}02\).
Une usine produit des articles dont 5 % sont défectueux. On prélève
un lot de 20 articles. \(X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}05)\).
Quelle est la probabilité qu'au moins un article soit défectueux ?
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}95)^{20}
\approx 1 - 0{,}3585 = 0{,}6415\).
Il y a donc environ 64 % de chance qu'un lot de 20 contienne au moins
un article défectueux — la technique du complémentaire évite ici des
calculs fastidieux.
La loi binomiale exige impérativement que les épreuves soient indépendantes et en nombre fixé \(n\) à l'avance, et que la probabilité de succès \(p\) soit la même à chaque épreuve. Pour des tirages sans remise dans un petit effectif, ces conditions ne sont pas satisfaites : il faut revenir à l'arbre et aux probabilités conditionnelles. (Pour un très grand effectif, \(n < 5\,\%\) de la population, on peut approcher par une loi binomiale.)
Pour calculer \(P(X \ge k)\) avec \(k\) petit devant \(n\), il est souvent plus rapide d'utiliser \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k - 1)\). En particulier, \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - q^n\) se calcule en une seule opération.
Figure interactive — Distribution binomiale \(\mathcal{B}(n\,;p)\)
\(E(X) = np\)
Résumé
\(P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\) — valable uniquement quand toutes les issues sont équiprobables.
\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). \(P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
Tableau \((x_i, p_i)\) avec \(\sum p_i = 1\). Toujours vérifier la somme des probabilités.
\(F(x) = P(X \le x)\) — fonction en escalier croissante de 0 à 1, paliers cumulés de gauche à droite.
\(E(X) = \sum x_i p_i\). \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\). \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
Si \(X\) est le gain net : jeu équitable \(\Leftrightarrow\) \(E(X)=0\). Favorable au joueur \(\Leftrightarrow\) \(E(X)>0\).
Sujet type Bac
Énoncé. Une cible circulaire est divisée en trois zones concentriques. La probabilité d'atteindre la zone centrale (rouge) est \(\tfrac{1}{5}\), celle d'atteindre la zone intermédiaire (bleue) est \(\tfrac{2}{5}\), et celle d'atteindre la zone extérieure (blanche) est \(\tfrac{2}{5}\). Un joueur lance une fléchette et reçoit 150 F s'il touche le rouge, 50 F s'il touche le bleu, et 0 F s'il touche le blanc. Le coût de participation est de 40 F.
Soit \(G\) le gain brut (avant soustraction du coût) et \(X = G - 40\) le gain net du joueur.
Question 1 — Loi de probabilité de G.
Les valeurs de \(G\) sont directement données par les gains de chaque zone. La loi de \(G\) est donc :
| \(g_i\) | 0 | 50 | 150 |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g_i)\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) |
Vérification : \(\tfrac{2}{5}+\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{5} = \tfrac{5}{5} = 1\).
Question 2 — Espérance de G.
En moyenne, le joueur gagne brut 50 F par partie.
Question 3 — Loi de X et espérance de X.
Le gain net est \(X = G - 40\). On en déduit les valeurs de \(X\) : \(X = 0 - 40 = -40\) si blanc ; \(X = 50 - 40 = 10\) si bleu ; \(X = 150 - 40 = 110\) si rouge.
| \(x_i\) | \(-40\) | 10 | 110 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) |
On calcule alors :
\[ E(X) = (-40) \cdot \frac{2}{5} + 10 \cdot \frac{2}{5} + 110 \cdot \frac{1}{5} = \frac{-80+20+110}{5} = \frac{50}{5} = 10 \text{ F}. \]Remarque : on pouvait aussi utiliser la linéarité de l'espérance : \(E(X) = E(G) - 40 = 50 - 40 = 10\) F. Les deux méthodes s'accordent.
Question 4 — Le jeu est-il favorable au joueur ?
Un jeu est favorable au joueur si \(E(X) > 0\). Ici \(E(X) = 10 > 0\) : le jeu est favorable au joueur — en moyenne, il gagne 10 F par partie. Ce n'est pas un jeu équitable (\(E(X) \ne 0\)).
Question 5 — Variance et écart-type du gain net.
L'écart-type de 54,77 F est bien supérieur à l'espérance de 10 F : les résultats sont très dispersés, ce qui traduit une forte part d'aléatoire dans ce jeu.