Terminale C · Leçon 17
Séries statistiques à deux variables (doubles)
Exercices corrigés
Droite de régression des moindres carrés $y=ax+b$
Exercice 2 — Régression linéaire
Chiffre d'affaires (en millions de FCFA) d'une entreprise sur 5 ans :
| Année $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| CA $y$ | 12 | 15 | 17 | 20 | 24 |
Formules : $a=\dfrac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\overline{x^2}-\bar{x}^2}$ $b=\bar{y}-a\bar{x}$
1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\overline{xy}$, $\overline{x^2}$.
2. Déterminer la droite de régression $y=ax+b$.
3. Prévision pour l'année 6 et l'année 8.
Voir le corrigé
- $\bar{x}=3$ · $\bar{y}=\dfrac{12+15+17+20+24}{5}=\dfrac{88}{5}=17{,}6$
$\overline{xy}=\dfrac{1\times12+2\times15+3\times17+4\times20+5\times24}{5}=\dfrac{12+30+51+80+120}{5}=\dfrac{293}{5}=58{,}6$
$\overline{x^2}=\dfrac{1+4+9+16+25}{5}=\dfrac{55}{5}=11$ - $a=\dfrac{58{,}6-3\times17{,}6}{11-9}=\dfrac{58{,}6-52{,}8}{2}=\dfrac{5{,}8}{2}=\boxed{2{,}9}$
$b=17{,}6-2{,}9\times3=17{,}6-8{,}7=\boxed{8{,}9}$
Droite : $\boxed{y=2{,}9x+8{,}9}$ - Année 6 : $y=2{,}9\times6+8{,}9=\boxed{26{,}3}$ M FCFA
Année 8 : $y=2{,}9\times8+8{,}9=\boxed{32{,}1}$ M FCFA
Point moyen d'un nuage
Exercice 1 — Point moyen
Soit la série $(1\,;3)$, $(2\,;5)$, $(3\,;7)$, $(4\,;9)$. Calculer $\bar x$ et $\bar y$.
Voir le corrigé
- Moyenne des abscisses
$\bar x = \dfrac{1+2+3+4}{4} = 2{,}5$. - Moyenne des ordonnées
$\bar y = \dfrac{3+5+7+9}{4} = 6$.
Sommes préparatoires
Exercice 2 — Sommes préparatoires
Pour la série $(1\,;3)$, $(2\,;5)$, $(3\,;7)$, $(4\,;9)$, calculer $\sum x_iy_i$ et $\sum x_i^2$.
Voir le corrigé
- $\sum x_iy_i$
$1\times3+2\times5+3\times7+4\times9 = 3+10+21+36 = 70$. - $\sum x_i^2$
$1+4+9+16 = 30$.
Ajustement affine complet — prévision et résidus
Exercice 4 — Production agricole
Production de coton (tonnes) dans une province du Burkina selon la pluviométrie (mm) :
| Pluie $x$ (mm) | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Production $y$ (t) | 120 | 150 | 195 | 230 | 270 | 310 |
1. Calculer les paramètres de la droite de régression de $y$ en $x$.
2. Calculer $r$ et conclure sur la qualité de l'ajustement.
3. Estimer la production pour $x=750$ mm et $x=1000$ mm.
4. Calculer les résidus $e_i=y_i-\hat{y}_i$ et commenter.
Voir le corrigé
- $\bar{x}=650$ · $\bar{y}=212{,}5$ · $\overline{xy}=\dfrac{400\times120+\cdots+900\times310}{6}=\dfrac{893000}{6}\approx148833$
$\overline{x^2}=\dfrac{400^2+\cdots+900^2}{6}=\dfrac{2870000}{6}\approx478333$
$a=\dfrac{148833-650\times212{,}5}{478333-422500}=\dfrac{148833-138125}{55833}=\dfrac{10708}{55833}\approx\boxed{0{,}3755}$
$b=212{,}5-0{,}3755\times650\approx212{,}5-244\approx\boxed{-31{,}6}$
Droite : $\boxed{\hat{y}=0{,}376x-31{,}6}$ - $\sigma_x\approx182{,}6$ · $\sigma_y\approx64{,}5$ · $r=\dfrac{a\sigma_x}{\sigma_y}=\dfrac{0{,}376\times182{,}6}{64{,}5}\approx\boxed{0{,}995}$ → ajustement excellent.
- $x=750$ : $\hat{y}=0{,}376\times750-31{,}6\approx\boxed{250}$ t
$x=1000$ : $\hat{y}=0{,}376\times1000-31{,}6\approx\boxed{344}$ t (extrapolation — prudence !) - Résidus : $e_1\approx+0{,}4$ · $e_2\approx-0{,}5$ · $e_3\approx+3{,}1$ · $e_4\approx-2{,}4$ · $e_5\approx+0{,}4$ · $e_6\approx-1{,}0$
Très petits → la droite est une bonne représentation.
Ajustement puissance $y=ax^b$ et logarithmique
Exercice 6 — Ajustement puissance
Revenus $x$ (milliers FCFA) et dépenses en alimentation $y$ selon la loi de puissance $y=ax^b$ :
| $x$ | 50 | 100 | 200 | 400 | 800 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 30 | 48 | 76 | 121 | 192 |
1. Linéariser par $\ln y=\ln a+b\ln x$. 2. Régression de $\ln y$ en $\ln x$. 3. Déduire $a$, $b$. 4. Prévision pour $x=600$. 5. Comparer avec ajustement logarithmique $y=\alpha\ln x+\beta$.
Droite de régression complète
Exercice 3 — Droite de régression
Pour la série $(1\,;3)$, $(2\,;5)$, $(3\,;7)$, $(4\,;9)$, calculer $\text{cov}(x,y)$ et $V(x)$, puis en déduire les coefficients $a$ et $b$ de la droite de régression $y=ax+b$.
Voir le corrigé
- Covariance
$$\text{cov}(x,y) = \frac{70}{4}-2{,}5\times6 = 17{,}5-15 = 2{,}5.$$ - Variance de $x$
$$V(x) = \frac{30}{4}-2{,}5^2 = 7{,}5-6{,}25 = 1{,}25.$$ - Coefficients
$a=\dfrac{2{,}5}{1{,}25}=2$ ; $b=6-2\times2{,}5=1$. - Résultat
Droite : $y=2x+1$ (ajustement parfait ici, les points sont exactement alignés).
Problème complet type Bac — régression et prévision
Exercice 9 — Problème type Bac Burkina Faso
On étudie la relation entre le nombre d'années d'expérience $x$ et le salaire mensuel $y$ (en milliers de FCFA) de 7 employés :
| $x$ (années) | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ (k FCFA) | 85 | 95 | 112 | 135 | 155 | 178 | 200 |
Partie A — Ajustement linéaire
1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $r$, droite de régression $\hat{y}=ax+b$.
2. Prévision pour $x=15$ ans. Discuter la fiabilité.
Partie B — Ajustement exponentiel
3. Poser $Y=\ln y$ : trouver la droite de régression de $Y$ en $x$.
4. Comparer les deux modèles via leur coefficient $r$. Lequel choisir ?
Partie C — Application
5. Avec le meilleur modèle, après combien d'années le salaire dépasse-t-il 300 k FCFA ?
Coefficient de corrélation
Exercice 4 — Coefficient de corrélation
Pour la série $(2\,;1)$, $(4\,;3)$, $(6\,;4)$, $(8\,;7)$, $(10\,;8)$, calculer $\bar x$, $\bar y$, $\text{cov}(x,y)$, $V(x)$, $V(y)$ et le coefficient de corrélation $r$. Conclure sur la qualité de l'ajustement affine.
Régression et extrapolation
Exercice 5 — Régression et extrapolation
En utilisant $\bar x=6$, $\bar y=4{,}6$, $\text{cov}(x,y)=7{,}2$ et $V(x)=8$ (résultats de l'exercice précédent), déterminer l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$, puis estimer $y$ pour $x=12$.
Méthode de Mayer
Exercice 6 — Méthode de Mayer
Un nuage de $6$ points, trié par abscisses croissantes, donne deux sous-nuages : $\{(1;2),(2;3),(3;5)\}$ et $\{(6;10),(7;12),(8;13)\}$. Déterminer la droite de Mayer, puis vérifier qu'elle passe par le point moyen global $G$.