Terminale C · Leçon 15
Probabilité sur un ensemble fini
Exercices corrigés
Tirage dans une urne — probabilité et événement contraire
Exercice 1 — Tirage dans une urne
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
1. Calculer la probabilité $P(R)$ de tirer une boule rouge.
2. En déduire $P(\overline{R})$, la probabilité de ne pas tirer une boule rouge.
3. On remet la boule tirée dans l'urne, puis on tire une seconde boule. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge aux deux tirages.
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- Probabilité de R
L'univers comporte $10$ issues équiprobables, dont $4$ favorables à $R$. $$P(R) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4.$$ - Événement contraire
$$P(\overline{R}) = 1 - P(R) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6 = \dfrac{3}{5}.$$ - Tirages indépendants (avec remise)
Les deux tirages sont indépendants car la boule est remise. $$P(R \text{ puis } R) = P(R)\times P(R) = 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16.$$
Dé équilibré — réunion de deux événements
Exercice 2 — Réunion de deux événements
On lance un dé cubique équilibré à 6 faces. Soit $A$ l'événement « obtenir un nombre pair » et $B$ l'événement « obtenir un multiple de 3 ».
1. Calculer $P(A)$ et $P(B)$.
2. Décrire l'événement $A \cap B$ et calculer $P(A \cap B)$.
3. En déduire $P(A \cup B)$.
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- Probabilités de A et B
$A = \{2,4,6\}$ donc $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. $B = \{3,6\}$ donc $P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. - Intersection
$A \cap B = \{6\}$ (le seul multiple de 3 qui soit pair), donc $P(A\cap B) = \dfrac{1}{6}$. - Formule de la réunion
$$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6} = \dfrac{3+2-1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.$$
Tirages successifs sans remise — indépendance
Exercice 3 — Tirages sans remise
Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement et sans remise deux boules. Soit $N_1$ l'événement « la 1ʳᵉ boule est noire » et $N_2$ « la 2ᵉ boule est noire ».
1. Calculer $P(N_2 \mid N_1)$.
2. En déduire $P(N_1 \cap N_2)$.
3. Calculer $P(N_2)$ (on pourra utiliser une partition selon l'issue du premier tirage). Les événements $N_1$ et $N_2$ sont-ils indépendants ?
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- Probabilité conditionnelle
Si la 1ʳᵉ boule tirée est noire, il reste $7$ boules dont $2$ noires : $$P(N_2\mid N_1) = \dfrac{2}{7}.$$ - Intersection via la formule des probabilités composées
$$P(N_1\cap N_2) = P(N_1)\times P(N_2\mid N_1) = \dfrac{3}{8}\times\dfrac{2}{7} = \dfrac{6}{56} = \dfrac{3}{28}.$$ - Partition et indépendance
$N_1$ et $\overline{N_1}$ forment une partition de l'univers. $$P(N_2) = P(N_1)P(N_2\mid N_1) + P(\overline{N_1})P(N_2\mid \overline{N_1}) = \dfrac{3}{8}\times\dfrac{2}{7} + \dfrac{5}{8}\times\dfrac{3}{7} = \dfrac{6+15}{56} = \dfrac{21}{56} = \dfrac{3}{8}.$$ Or $P(N_2\mid N_1) = \dfrac{2}{7} \neq P(N_2) = \dfrac{3}{8}$ : les événements $N_1$ et $N_2$ ne sont pas indépendants.
Partition de l'univers — contrôle qualité sur deux machines
Exercice 4 — Deux machines de production
Une usine produit des pièces sur deux machines : la machine $A$ fournit $70\%$ de la production, la machine $B$ fournit $30\%$. Le taux de pièces défectueuses est de $2\%$ pour la machine $A$ et de $5\%$ pour la machine $B$. On prélève une pièce au hasard dans la production totale et on note $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».
1. Calculer $P(A\cap D)$ et $P(B\cap D)$.
2. En déduire $P(D)$.
3. La pièce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine $B$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.