Nombres complexes

Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.

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Exercice 1 — Forme algébrique et opérations de base

On donne $z_1 = 3 + 2i$ et $z_2 = 1 - 4i$.

1. Donner la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1$ et $z_2$.

2. Calculer $z_1 + z_2$ et $z_1 - z_2$. Mettre sous forme algébrique $a + ib$.

3. Calculer $z_1 \times z_2$. Développer et simplifier en utilisant $i^2 = -1$.

Exercice 2 — Conjugué, module et géométrie

On donne $z = 3 - 4i$.

1. Calculer le conjugué $\bar{z}$.

2. Calculer le module $|z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}$.

3. Vérifier que $z \times \bar{z} = |z|^2$.

4. Interpréter géométriquement $\bar{z}$ par rapport à $z$ dans le plan.

Exercice 1 — Forme exponentielle

Formule d'Euler : $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.

Écrire sous forme $re^{i\theta}$ ($r>0$, $\theta\in]{-\pi;\pi}]$) :

1. $z_1=1+i$  2. $z_2=-\sqrt{3}+i$  3. $z_3=-2i$

Mettre sous forme algébrique : $z_4=3e^{i\pi/6}$

Exercice 1 — Produit sous forme algébrique

Calculer $(2+3i)(1-2i)$ sous forme algébrique.

Exercice 2 — Module et argument

Déterminer le module et un argument de $z = -1+i\sqrt{3}$.

Exercice 1 — Équation du second degré

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2+2z+5=0$.

Exercice 2 — Équation du second degré

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-4z+13=0$.

Exercice 3 — Division de nombres complexes

On rappelle la méthode : pour écrire $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme $a+ib$, on multiplie numérateur et dénominateur par $\overline{z_2}$.

On donne $z_1 = 5 + i$ et $z_2 = 2 + 3i$.

1. Calculer $\overline{z_2}$ et $|z_2|^2$.

2. Calculer $z_1 \times \overline{z_2}$.

3. En déduire $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique $a + ib$.

4. Vérifier en calculant $\dfrac{z_1}{z_2} \times z_2$ et en retrouvant $z_1$.

Exercice 3 — Quotient et conjugué

Écrire sous forme algébrique $z = \dfrac{3-i}{1+2i}$, puis déterminer son conjugué $\bar z$.

Exercice 3 — Équation de degré 3

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3-4z^2+6z-4=0$, sachant qu'elle admet une racine réelle évidente.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un coopérative agricole de la région des Hauts-Bassins dispose d'une parcelle rectangulaire pour la culture du coton. Le périmètre de la parcelle est fixé à $200$ m par la clôture déjà achetée. On note $x$ la longueur (en mètres) d'un des côtés.

Le rendement de la parcelle, en tonnes, est modélisé par la fonction $R(x) = -\dfrac{1}{250}x^3+\dfrac{2}{5}x^2-20x$ pour $x\in]0;100[$, une fois la largeur exprimée en fonction de $x$ et le modèle agronomique de la coopérative appliqué.

Le président de la coopérative sait que $R(x)$ s'annule pour $x=50$ (largeur = longueur, parcelle carrée) et souhaite savoir s'il existe d'autres largeurs qui annuleraient le rendement modélisé, ce qui indiquerait une erreur dans le choix de $x$.

Consigne : Vérifier que $x=50$ est bien racine de l'équation $R(x)=0$, factoriser complètement le polynôme obtenu, puis dire pour quelles valeurs de $x$ dans $]0;100[$ le président doit éviter de choisir sa longueur.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un ingénieur de la SONABEL étudie la tension instantanée d'une ligne électrique alimentant un quartier. Cette tension, en volts, est modélisée par $u(t)=100\cos(t)+100\sqrt3\sin(t)$, où $t$ est un temps exprimé en radians.

Pour dimensionner correctement les protections électriques du réseau, l'ingénieur a besoin de connaître la tension maximale atteinte par la ligne au cours du temps.

Consigne : Écrire $u(t)$ sous la forme $R\cos(t-\varphi)$ avec $R>0$ et $\varphi\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, en déduire la tension maximale atteinte par la ligne, et donner la plus petite valeur positive de $t$ pour laquelle ce maximum est atteint.

Exercice 5 — Forme trigonométrique — niveau Bac

On rappelle : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.

On donne $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = \sqrt{3} - i$.

1. Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$. En déduire $|z_1 z_2|$ et $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|$.

2. Déterminer $\arg(z_1)$ et $\arg(z_2)$ en utilisant les valeurs du cercle trigonométrique.

3. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.

4. En déduire $\arg(z_1 z_2)$ et $\arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)$. Vérifier en calculant $z_1 z_2$ algébriquement.

5. Placer $z_1$, $z_2$, $z_1 z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$ dans le plan de Gauss.

Exercice 4 — Racines carrées d'un complexe

Déterminer les racines carrées de $-3+4i$.

Exercice 5 — Puissance via la formule de Moivre

Calculer $(1+i)^8$ en utilisant la forme trigonométrique.

Exercice 6 — Linéarisation par les formules d'Euler

Linéariser $\cos^2\theta\sin\theta$ (l'exprimer comme somme de sinus/cosinus d'angles multiples de $\theta$).

Exercice 4 — Racines cubiques de l'unité et $z^3=8$

Déterminer les racines cubiques de l'unité et vérifier que leur somme est nulle. En déduire les solutions de $z^3=8$.

Exercice 5 — Nature d'un triangle

Soit $A(1+i)$, $B(4+2i)$, $C(4i)$. Déterminer la nature du triangle $ABC$.

Exercice 6 — Lieu géométrique

Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\dfrac{z-2i}{z+2}$ soit un réel non nul.

Problème — Soit $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$.

Partie A. 1) Vérifier que $1$ est racine de $P$. 2) Déterminer les réels $a,b,c$ tels que $P(x)=(x-1)(x^2+ax+b)$. 3) Résoudre l'équation $P(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.

Partie B. On considère l'application $f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{P(x)}{x-2}$. 1) Simplifier l'expression de $f(x)$ (on effectuera la division euclidienne de $P(x)$ par $x-2$). 2) En déduire le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$, à l'aide des résultats de la Partie A. 3) L'application $g:[3;+\infty[\to\mathbb{R}$ définie par $g(x)=f(x)$ est-elle injective ? Justifier à l'aide du signe de $f'$.