Terminale C · Leçon 10
Fonctions exponentielles
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Équations exponentielles
Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.
Dérivée d'une fonction composée
Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée
Calculer la dérivée de $f(x) = (2x+1)^5$.
Voir le corrigé
- Reconnaître la forme $u^n$
$f = u^5$ avec $u(x)=2x+1$, donc $u'(x)=2$. - Formule de dérivation composée
$$f'(x) = 5\,u'(x)\,u(x)^4 = 5\times2\times(2x+1)^4.$$ - Résultat
$f'(x) = 10(2x+1)^4$.
Résolution d'une équation exponentielle
Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.
Voir le corrigé
- Injectivité de l'exponentielle
$e^{2x-1}=e^3 \iff 2x-1=3$. - Résolution
$2x=4 \iff x=2$. - Résultat
$\mathbb{S} = \{2\}$.
Inéquation, optimisation et interprétation — niveau Bac
Exercice 6 — Optimisation — niveau Bac
Un agriculteur dispose de 120 mètres de clôture pour délimiter un terrain rectangulaire dont un côté est longé par un mur (pas besoin de clôture de ce côté).
On note $x$ la longueur du côté perpendiculaire au mur ($0 < x < 60$).
1. Exprimer la longueur du côté parallèle au mur en fonction de $x$.
2. Exprimer l'aire $A(x)$ du terrain en fonction de $x$.
3. Étudier les variations de $A$ sur $]0\,;\,60[$. Trouver la valeur de $x$ qui maximise l'aire.
4. Calculer l'aire maximale et les dimensions optimales.
5. Pour quelles valeurs de $x$ l'aire est-elle supérieure à $1\,600\ \text{m}^2$ ?
Décroissance radioactive et demi-vie — niveau Bac
Exercice 13 — Décroissance radioactive et demi-vie
$Q(t) = 200\,e^{-\lambda t}$ grammes, avec demi-vie $T_{1/2} = 30$ ans.
1. Montrer que $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$. Valeur approchée à $10^{-4}$.
2. Calculer $Q(60)$ et $Q(90)$.
3. Calculer $Q'(t)$. Interpréter.
4. Au bout de combien d'années reste-t-il moins de 10 g ?
5. Calculer la quantité moyenne $\bar{Q}$ sur $[0\,;\,30]$.
Inéquation exponentielle par changement de variable
Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.
Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.