Exemples d’étude de fonctions

Exercice 2 — Équations et inéquations

1. $\ln(2x - 1) = \ln 5$

2. $e^{3x-1} = e^5$

3. $\ln(x+2) \geq \ln(3x - 4)$

Exercice 1 — Résolution d'une équation logarithmique

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(2x-1) = \ln(x+3)$.

Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.

Exercice 2 — Équation d'une tangente

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2-3x+2$ au point d'abscisse $x_0=1$.

Exercice 2 — Asymptotes

Déterminer les asymptotes de $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$.

Exercice 1 — QCM

1) L'équation $\sqrt{2x+3}=x$ admet dans $\mathbb{R}$ :
a) deux solutions   b) une seule solution   c) aucune solution   d) une infinité de solutions

2) Pour résoudre $\sqrt{x+1}=x-1$, la condition nécessaire à vérifier avant d'élever au carré est :
a) $x\geqslant -1$   b) $x-1\geqslant 0$   c) $x\leqslant 1$   d) $x\in\mathbb{R}$

3) Le système $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;3)$   b) $(3;1)$   c) $(1;5)$   d) $(4;-1)$

4) Par la méthode du pivot de Gauss sur $\begin{cases}x+y+z=6\\2y-z=1\\z=2\end{cases}$, la valeur de $y$ est :
a) $1$   b) $1{,}5$   c) $2$   d) $3$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) L'ensemble des solutions réelles de $\cos(x)=\cos\!\left(\dfrac\pi5\right)$ est :
a) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ uniquement, $k\in\mathbb Z$   b) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$   c) $x=\dfrac\pi5+k\pi$, $k\in\mathbb Z$   d) $x=\dfrac{2\pi}5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$

2) Dans un triangle $ABC$ (notations usuelles $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), la loi des cosinus s'écrit :
a) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$   b) $a^2=b^2+c^2+2bc\cos\widehat A$   c) $a^2=b^2-c^2-2bc\cos\widehat A$   d) $a=b+c-2bc\cos\widehat A$

3) Un triangle a pour côtés $b=6$, $c=8$ et un angle $\widehat A=90°$ entre eux. Par la loi des cosinus, le troisième côté $a$ vaut :
a) $10$   b) $14$   c) $2$   d) $100$

4) L'aire d'un triangle avec $b=4$, $c=6$ et $\widehat A=30°$ vaut :
a) $6$   b) $12$   c) $24$   d) $3$

Exercice 8 — Équations et inéquations combinant $\ln$ et $\exp$

1. $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$  (Poser $X = e^x$)

2. $\ln(x^2 - 3) = \ln(2x - 3)$

3. $e^x > 2x + 1$

4. $2\ln x - \ln(x+6) \leq \ln 3$

Exercice 3 — Une inégalité classique

Étudier le signe de $f(x) = \ln x - x + 1$ sur $]0\,;+\infty[$, et en déduire que $\ln x \le x-1$ pour tout $x>0$, avec égalité si et seulement si $x=1$.

Exercice 3 — Étude complète

Étudier complètement $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ (dérivée, signe, variations, valeurs remarquables).

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².

Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.

Exercice 6 — Optimisation — niveau Bac

Un agriculteur dispose de 120 mètres de clôture pour délimiter un terrain rectangulaire dont un côté est longé par un mur (pas besoin de clôture de ce côté).

On note $x$ la longueur du côté perpendiculaire au mur ($0 < x < 60$).

1. Exprimer la longueur du côté parallèle au mur en fonction de $x$.

2. Exprimer l'aire $A(x)$ du terrain en fonction de $x$.

3. Étudier les variations de $A$ sur $]0\,;\,60[$. Trouver la valeur de $x$ qui maximise l'aire.

4. Calculer l'aire maximale et les dimensions optimales.

5. Pour quelles valeurs de $x$ l'aire est-elle supérieure à $1\,600\ \text{m}^2$ ?

Exercice 13 — Décroissance radioactive et demi-vie

$Q(t) = 200\,e^{-\lambda t}$ grammes, avec demi-vie $T_{1/2} = 30$ ans.

1. Montrer que $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$. Valeur approchée à $10^{-4}$.

2. Calculer $Q(60)$ et $Q(90)$.

3. Calculer $Q'(t)$. Interpréter.

4. Au bout de combien d'années reste-t-il moins de 10 g ?

5. Calculer la quantité moyenne $\bar{Q}$ sur $[0\,;\,30]$.

Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.

Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$

Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.

Exercice 4 — Étude d'une fonction rationnelle

Étudier $f(x)=\dfrac{2x-3}{x-2}$ : domaine, asymptotes, sens de variation (via la dérivée du quotient).

Exercice 5 — Étude d'un polynôme de degré 4

Étudier $f(x)=x^4-8x^2+7$ : dérivée factorisée, tableau de signes, variations et valeurs remarquables.

Exercice 6 — Synthèse

Étudier $f(x)=\dfrac{3x+2}{2x-6}$ : domaine, asymptotes, et sens de variation (dérivée via la forme $\dfrac{3}{2}+\dfrac{11}{2x-6}$).

Partie A. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{3x+7}-\sqrt{x+2}=1$ (on isolera un des deux radicaux avant d'élever au carré, et on vérifiera soigneusement chaque solution trouvée).

Partie B. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss le système : $\begin{cases}x+2y-z=2\\2x-y+3z=9\\3x+y+z=8\end{cases}$.

Partie C. Vérifier que le couple $(x_0;y_0)$ formé par la solution de la Partie A (la valeur de $x$) et la valeur de $y$ obtenue en Partie B satisfait l'inéquation $x_0+y_0\leqslant 6$.

Problème.

Partie A. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $2\cos(x)-\sqrt3=0$.

Partie B. Un triangle $ABC$ vérifie $AB=c=10$, $AC=b=14$, et l'angle $\widehat{BAC}=A$ tel que $\cos A=\dfrac12$ (déduit d'une mesure de terrain, et cohérent avec l'une des solutions trouvées en Partie A ramenée en degrés). 1) Donner la valeur exacte de l'angle $\widehat A$ en degrés. 2) Calculer $BC=a$. 3) En déduire l'aire du triangle $ABC$ (on donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième).

Problème. Deux compagnies assurent le trajet entre deux villes pour les passagers voyageant avec des bagages supplémentaires. La compagnie $A$ facture un forfait unique de $3\,000$ F quel que soit le nombre $x$ de bagages supplémentaires. La compagnie $B$ facture $500$ F de frais fixes plus $400$ F par bagage supplémentaire.

Partie A. 1) Exprimer le prix payé chez $B$ en fonction du nombre $x$ de bagages.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation traduisant « la compagnie $B$ est strictement moins chère que la compagnie $A$ » et en déduire, pour un nombre entier de bagages, à partir de combien de bagages la compagnie $A$ redevient la moins chère.

Partie C. 3) Vérifier les résultats précédents pour $x=5$ puis pour $x=7$ bagages, en comparant les deux prix.