Terminale C · Leçon 14
Équations différentielles linéaires homogènes du 1er et du 2ème ordre à coefficients constants
Exercices corrigés
Équation du premier ordre
Exercice 1 — Équation du premier ordre
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y'+3y=0$ avec $y(0)=2$.
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- Solution générale
$y = Ce^{-3x}$, $C\in\mathbb{R}$. - Condition initiale
$y(0)=C=2$. - Résultat
$y = 2e^{-3x}$.
Second ordre, $\Delta>0$
Exercice 2 — Second ordre, $\Delta>0$
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''-5y'+6y=0$.
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- Équation caractéristique
$r^2-5r+6=0$, $\Delta=25-24=1$. - Racines
$r = \dfrac{5\pm1}{2}$, soit $r=3$ ou $r=2$. - Résultat
$y = Ae^{3x}+Be^{2x}$, $A,B\in\mathbb{R}$.
ED du 2ⁿᵈ ordre $y''+py'+qy=0$ — équation caractéristique
Exercice 4 — Équation caractéristique
1. $y''-5y'+6y=0$ ($\Delta>0$) 2. $y''-4y'+4y=0$ ($\Delta=0$) 3. $y''-2y'+5y=0$ ($\Delta<0$)
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Équation avec second membre
Exercice 4 — Équation avec second membre
Résoudre $y'-3y=e^{2x}$ avec $y(0)=4$.
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Racine double, second ordre
Exercice 5 — Racine double
Résoudre $y''-2y'+y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=3$.
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