Terminale C · Leçon 12
Encadrements et approximations
Exercices corrigés
Situation d'intégration — Chauffeur de taxi-brousse
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un chauffeur de taxi-brousse sait que la consommation de son véhicule est comprise entre $7{,}5$ et $8{,}2$ litres aux $100$ km selon l'état de la route, et que le prix du litre d'essence varie entre $750$ et $780$ F selon la station-service.
Consigne : En utilisant les propriétés des encadrements de réels strictement positifs, encadrer le coût en carburant pour un trajet de $100$ km, puis en déduire un encadrement du coût pour un trajet de $250$ km.
Voir le corrigé
- Coût pour 100 km. Consommation et prix sont deux réels strictement positifs : $7{,}5\times750\le\text{coût}\le8{,}2\times780$, soit $5\,625\le\text{coût}\le6\,396$ F.
- Coût pour 250 km. $250$ km $=2{,}5\times100$ km : on multiplie l'encadrement par $2{,}5$ (positif, l'ordre est conservé) : $5\,625\times2{,}5\le\text{coût}\le6\,396\times2{,}5$, soit $14\,062{,}5\le\text{coût}\le15\,990$ F.
Encadrement par l'IAF
Exercice 4 — Encadrement par l'inégalité des accroissements finis
En utilisant l'IAF appliquée à $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[121\,;122]$, donner un encadrement de $\sqrt{122}$.
Voir le corrigé
- Dérivée et monotonie
$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, strictement décroissante sur $]0;+\infty[$. - Encadrement de $f'$ sur $]121;122[$
Puisque $]121;122[ \subset ]121;144[$ et $f'$ est décroissante : $f'(144) < f'(c) < f'(121)$, soit $\dfrac{1}{24} < f'(c) < \dfrac{1}{22}$. - Inégalité des accroissements finis
$$\frac{1}{24} < \sqrt{122}-11 < \frac{1}{22}.$$ - Résultat
$11+\dfrac{1}{24} < \sqrt{122} < 11+\dfrac{1}{22}$, soit $\sqrt{122} \in\ ]11{,}0417\,;11{,}0455[$ environ.
Majoration à l'aide de l'IAF
Exercice 5 — Majoration à l'aide de l'IAF
Soit $f$ dérivable sur $[0\,;+\infty[$ telle que $f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$ pour tout $x\ge0$, et $f(0)=0$. Montrer que pour tout $x \ge 0$, $f(x) \le x$.