Terminale C · Leçon 5
Coniques
Exercices corrigés
Courbe paramétrée — équation cartésienne
Exercice 1 — Éliminer le paramètre
Soit la courbe $\Gamma$ définie par $x(t)=t^2+1$ et $y(t)=2t$, $t\in\mathbb{R}$.
1. Exprimer $t$ en fonction de $y$.
2. En déduire une relation entre $x$ et $y$ ne comportant plus $t$.
3. Reconnaître la nature de $\Gamma$.
Voir le corrigé
- Isoler t
De $y=2t$, on tire $t=\dfrac{y}{2}$. - Substitution
En remplaçant dans $x=t^2+1$ : $$x = \left(\dfrac{y}{2}\right)^2+1 = \dfrac{y^2}{4}+1, \quad\text{soit}\quad y^2 = 4(x-1).$$ - Nature
C'est l'équation d'une parabole d'axe $(Ox)$, translatée de celle d'équation $y^2=4x$, de sommet $(1\,;0)$.
Vecteur dérivé et tangente en un point
Exercice 2 — Tangente en un point d'une courbe paramétrée
Soit la courbe définie par $x(t)=t^2$, $y(t)=t^3$. On étudie le point $M$ obtenu pour $t=1$.
1. Calculer le vecteur dérivé $(x'(t)\,;y'(t))$ en $t=1$.
2. Justifier qu'il dirige la tangente en $M$.
3. Donner une équation de la tangente en $M$.
Voir le corrigé
- Vecteur dérivé
$x'(t)=2t$ et $y'(t)=3t^2$, donc en $t=1$ : $(x'(1)\,;y'(1)) = (2\,;3)$. - Justification
Le vecteur dérivé n'est pas nul en $t=1$ (car $(2\,;3)\neq(0\,;0)$) : c'est donc bien un vecteur directeur de la tangente à la courbe au point $M(1)$. - Équation de la tangente
$M$ a pour coordonnées $(x(1)\,;y(1))=(1\,;1)$. La tangente passe par $(1\,;1)$ et admet $(2\,;3)$ comme vecteur directeur : $$\dfrac{y-1}{x-1} = \dfrac{3}{2} \;\Longleftrightarrow\; 3x-2y-1=0.$$
Symétrie d'une courbe paramétrée
Exercice 3 — Étude de symétrie
Soit la courbe définie par $x(t)=t^3$, $y(t)=t$, $t\in\mathbb{R}$.
1. Comparer $M(-t)$ et $M(t)$ : montrer que $M(-t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à l'origine $O$.
2. Que peut-on en déduire pour l'étude de la courbe ?
3. Donner l'équation cartésienne de cette courbe.
Voir le corrigé
- Comparaison M(-t) et M(t)
$x(-t) = (-t)^3 = -t^3 = -x(t)$ et $y(-t) = -t = -y(t)$. Donc $M(-t)$ a pour coordonnées $(-x(t)\,;-y(t))$ : c'est bien le symétrique de $M(t)$ par rapport à $O$. - Conséquence pour l'étude
Il suffit d'étudier la courbe pour $t \geqslant 0$, puis d'obtenir la partie manquante ($t<0$) par la symétrie de centre $O$ mise en évidence. - Équation cartésienne
De $y=t$, on tire $t=y$, donc $x=t^3=y^3$ : l'équation cartésienne est $$x = y^3.$$
Hyperbole — éléments caractéristiques et asymptotes
Exercice 6 — Étudier une hyperbole
Soit l'hyperbole d'équation réduite $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$.
1. Donner les valeurs de $a$ et $b$.
2. Calculer $c$.
3. Donner les foyers et l'excentricité.
4. Donner les équations des asymptotes.