Terminale C · Leçon 3
Calculs barycentriques
Exercices corrigés
Réduction vectorielle simple
Exercice 1 — Réduction vectorielle
Soit $A$ et $B$ deux points, $G$ le barycentre de $(A,3)$ et $(B,1)$. Exprimer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
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- Définition du barycentre
$3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\vec0$. - Relation de Chasles
$\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}$, donc $3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}=\vec0$, soit $4\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{AB}$. - Résultat
$\overrightarrow{AG} = \dfrac14\overrightarrow{AB}$.
Coordonnées d'un barycentre
Exercice 2 — Coordonnées d'un barycentre
Soit $A(1\,;2)$, $B(5\,;-2)$, $C(-2\,;4)$ affectés des coefficients $1$, $2$, $1$. Calculer les coordonnées du barycentre $G$.
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- Abscisse
$$x_G = \frac{1\times1+2\times5+1\times(-2)}{1+2+1} = \frac{9}{4}.$$ - Ordonnée
$$y_G = \frac{1\times2+2\times(-2)+1\times4}{4} = \frac{2}{4} = \frac12.$$ - Résultat
$G\!\left(\dfrac94\,;\dfrac12\right)$.
Ligne de niveau : théorème de la médiane
Exercice 3 — Théorème de la médiane
Soit $A$, $B$ deux points avec $AB=6$. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2+MB^2=50$.
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- Théorème de la médiane
Avec $I$ milieu de $[AB]$ : $$MA^2+MB^2 = 2MI^2+\frac{AB^2}{2}.$$ - Application
$\dfrac{AB^2}{2}=\dfrac{36}{2}=18$, donc $2MI^2+18=50 \Rightarrow MI^2=16 \Rightarrow MI=4$. - Résultat
L'ensemble cherché est le cercle de centre $I$ (milieu de $[AB]$), de rayon $4$.
Ligne de niveau pondérée
Exercice 4 — Ligne de niveau pondérée
Soit $A$, $B$ deux points avec $AB=4$. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $2MA^2+MB^2=24$, en utilisant le barycentre $G$ de $(A,2)$ et $(B,1)$.
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