Terminale C · Leçon 13
Calcul intégral
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Calcul intégral
Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.
Recherche d'une primitive
Exercice 2 — Recherche d'une primitive
Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2-4x+5$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(0)=2$.
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- Primitive générale
$F(x) = x^3-2x^2+5x+C$, $C \in \mathbb{R}$. - Condition initiale
$F(0) = C = 2$. - Résultat
$F(x) = x^3-2x^2+5x+2$.
Intégrale d'un polynôme
Exercice 1 — Intégrale d'un polynôme
Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx$.
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- Primitive
Une primitive de $3x^2-2x+1$ est $x^3-x^2+x$. - Évaluation
$$\big[x^3-x^2+x\big]_0^2 = (8-4+2)-0 = 6.$$ - Résultat
$\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx = 6$.
Intégrale de $1/x$
Exercice 2 — Intégrale de $1/x$
Calculer $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$.
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- Primitive
Une primitive de $1/x$ sur $]0;+\infty[$ est $\ln x$. - Évaluation
$$\big[\ln x\big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1-0 = 1.$$ - Résultat
$\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = 1$.
Valeur moyenne d'une fonction
Exercice 3 — Valeur moyenne
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0\,;3]$.
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- Formule
$$\mu = \frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx.$$ - Calcul de l'intégrale
$$\int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} = 9.$$ - Résultat
$\mu = \dfrac{9}{3} = 3$.
Primitive d'une forme $u'e^u$
Exercice 6 — Primitive d'une forme $u'e^u$
Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = (2x-2)e^{x^2-2x+3}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(1)=5$.
Double intégration par parties
Exercice 4 — Double intégration par parties
Calculer $\displaystyle\int_0^1 x^2e^x\,dx$ à l'aide de deux intégrations par parties successives.
Aire entre deux paraboles
Exercice 5 — Aire entre deux courbes
Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes $y=4-x^2$ et $y=x^2$.
Volume d'un solide de révolution
Exercice 6 — Volume de révolution
Calculer le volume du solide engendré par la rotation autour de $(Ox)$ de la courbe $y=e^{-x}$ sur $[0\,;1]$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.