Terminale C · Leçon 1
Arithmétique
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Systèmes 2×2
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Division euclidienne d'un entier négatif
Exercice 1 — Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne de $-52$ par $7$.
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- Recherche du quotient
On cherche $q$ tel que $7q$ soit juste en-dessous de $-52$ : $7\times(-8) = -56$. - Calcul du reste
$r = -52-(-56) = 4$, et bien $0\le4<7$. - Résultat
$-52 = 7\times(-8)+4$ : quotient $q=-8$, reste $r=4$.
Reste d'une puissance par congruence
Exercice 2 — Reste d'une puissance
Déterminer le reste de la division de $2^{20}$ par $7$.
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- Repérer un cycle
$2^3 = 8 \equiv 1\ [7]$. - Décomposition de l'exposant
$2^{20} = 2^{18}\times2^2 = (2^3)^6\times4 \equiv 1^6\times4\ [7]$. - Résultat
$2^{20} \equiv 4\ [7]$ : le reste est $4$.
QCM — Résolution de systèmes
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Le système $\begin{cases}y=3x-2\\2x+y=8\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;4)$ b) $(4;2)$ c) $(2;-4)$ d) $(-2;4)$
2) Le système $\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(6;4)$ b) $(4;6)$ c) $(8;2)$ d) $(5;5)$
3) Le système $\begin{cases}2x+4y=8\\x+2y=4\end{cases}$ admet :
a) une infinité de solutions b) aucune solution c) l'unique solution $(0;2)$ d) l'unique solution $(4;0)$
4) Le système $\begin{cases}x-y=3\\x-y=5\end{cases}$ admet :
a) aucune solution b) une infinité de solutions c) une solution unique d) la solution $(4;1)$
PGCD par l'algorithme d'Euclide et PPCM
Exercice 3 — PGCD et PPCM
Déterminer $\text{pgcd}(391,299)$ par l'algorithme d'Euclide, puis en déduire $\text{ppcm}(391,299)$.
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- Algorithme d'Euclide
$$391 = 299\times1+92 \qquad 299 = 92\times3+23 \qquad 92 = 23\times4+0.$$ - PGCD
Le dernier reste non nul est $23$ : $\text{pgcd}(391,299)=23$. - PPCM
$$\text{ppcm}(391,299) = \frac{391\times299}{23} = 17\times299 = 5083.$$
Identité de Bézout sur un exemple
Exercice 4 — Identité de Bézout
En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer un couple d'entiers $(u,v)$ tel que $253u+161v=\text{pgcd}(253,161)$.
Équation diophantienne (théorème de Gauss)
Exercice 5 — Équation diophantienne
Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $7x-4y=3$.
Divisibilité par congruence
Exercice 6 — Divisibilité par congruence
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n+1}+2^{n+2}$ est divisible par $7$.
Reconnaître des sous-groupes de ℤ
On rappelle qu'une partie \(H\) de \(\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{Z},+)\) si elle contient 0, si la somme de deux éléments de \(H\) est dans \(H\) et si l'opposé d'un élément de \(H\) est dans \(H\).
1) Pour chacune des parties suivantes, dis si c'est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\), en justifiant : \(5\mathbb{Z}\) ; \(\mathbb{N}\) ; \(\{-1\,;0\,;1\}\).
2) Détermine \(6\mathbb{Z}\cap 9\mathbb{Z}\).
3) A-t-on \(15\mathbb{Z}\subset 5\mathbb{Z}\) ? A-t-on \(5\mathbb{Z}\subset 15\mathbb{Z}\) ? Justifie.
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1) \(5\mathbb{Z}\) est l'ensemble des multiples de 5. Il contient \(0=5\times 0\) ; la somme \(5k+5k'=5(k+k')\) de deux multiples de 5 est un multiple de 5 ; l'opposé \(-5k=5(-k)\) aussi : c'est un sous-groupe. \(\mathbb{N}\) contient 0 et il est stable par addition, mais l'opposé de 1, qui est \(-1\), n'est pas dans \(\mathbb{N}\) : ce n'est pas un sous-groupe. \(\{-1\,;0\,;1\}\) contient 0 et les opposés de ses éléments, mais \(1+1=2\) n'en fait pas partie : ce n'est pas un sous-groupe.
2) Un entier appartient à \(6\mathbb{Z}\cap 9\mathbb{Z}\) s'il est à la fois multiple de 6 et multiple de 9, c'est-à-dire multiple commun de 6 et 9. Les multiples communs de deux entiers sont les multiples de leur plus petit commun multiple, qui est ici 18. Donc \(6\mathbb{Z}\cap 9\mathbb{Z}=18\mathbb{Z}\). (Ce n'est pas \(54\mathbb{Z}\) : 18 est multiple de 6 et de 9 sans être multiple de 54.)
3) Tout multiple de 15 s'écrit \(15k=5\times(3k)\) : c'est un multiple de 5. Donc \(15\mathbb{Z}\subset 5\mathbb{Z}\). En revanche 5 est dans \(5\mathbb{Z}\) mais n'est pas un multiple de 15 : \(5\mathbb{Z}\) n'est pas inclus dans \(15\mathbb{Z}\). Plus l'entier \(n\) est grand, plus \(n\mathbb{Z}\) est petit : \(m\mathbb{Z}\subset n\mathbb{Z}\) signifie que \(n\) divise \(m\).
Réponse : 1) \(5\mathbb{Z}\) est un sous-groupe ; \(\mathbb{N}\) n'en est pas un (pas d'opposés) ; \(\{-1\,;0\,;1\}\) non plus (\(1+1=2\)). 2) \(6\mathbb{Z}\cap 9\mathbb{Z}=18\mathbb{Z}\). 3) \(15\mathbb{Z}\subset 5\mathbb{Z}\) est vrai, \(5\mathbb{Z}\subset 15\mathbb{Z}\) est faux.
Identifier un sous-groupe défini par une combinaison
On considère l'ensemble \(H=\{12x+18y\ ;\ x\in\mathbb{Z},\ y\in\mathbb{Z}\}\).
1) Montre que \(H\) est un sous-groupe de \((\mathbb{Z},+)\).
2) Montre que tout élément de \(H\) est un multiple de 6, puis que 6 appartient à \(H\).
3) Déduis-en l'entier naturel \(n\) tel que \(H=n\mathbb{Z}\). L'entier 30 appartient-il à \(H\) ? Si oui, écris-le sous la forme \(12x+18y\).
4) Par la même méthode, détermine le sous-groupe \(K=\{4x+9y\ ;\ x\in\mathbb{Z},\ y\in\mathbb{Z}\}\).
Un sous-groupe caché et des équations dans l'anneau ℤ
Partie A. On note \(G\) l'ensemble des entiers relatifs \(n\) tels que \(4n\) soit un multiple de 6.
1) Montre que \(G\) est un sous-groupe de \((\mathbb{Z},+)\).
2) Les entiers 1, 2 et 3 appartiennent-ils à \(G\) ? Déduis-en \(G\).
Partie B. On rappelle que l'anneau \(\mathbb{Z}\) est intègre : un produit de deux entiers est nul seulement si l'un des deux est nul.
3) Résous dans \(\mathbb{Z}\) l'équation \(x^2=5x\).
4) Détermine tous les couples \((x\,;y)\) d'entiers relatifs tels que \((x-2)(y+3)=1\).
Passer de la base dix à la base deux, et retour
Dans cet exercice, \(\overline{101}^{\,2}\) désigne l'entier qui s'écrit 101 en base deux.
1) Écris en base deux les entiers 37 et 77.
2) Écris en base dix les entiers \(\overline{101011}^{\,2}\) et \(\overline{1110000}^{\,2}\).
3) Sans les convertir, dis si \(\overline{110101}^{\,2}\) est pair ou impair, et donne la plus grande puissance de 2 qui divise \(\overline{1110000}^{\,2}\).
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1) Pour 37, on effectue les divisions successives par 2 : \(37=2\times 18+1\) ; \(18=2\times 9+0\) ; \(9=2\times 4+1\) ; \(4=2\times 2+0\) ; \(2=2\times 1+0\) ; \(1=2\times 0+1\). On lit les restes du dernier au premier : \(37=\overline{100101}^{\,2}\). Pour 77, on peut retirer des puissances de 2 : \(77=64+13=64+8+4+1=2^6+2^3+2^2+2^0\), donc \(77=\overline{1001101}^{\,2}\) (les puissances \(2^5\), \(2^4\) et \(2^1\) sont absentes : chiffre 0).
2) Chaque chiffre 1 compte pour la puissance de 2 de son rang, en partant de \(2^0\) à droite. \(\overline{101011}^{\,2}=2^5+2^3+2^1+2^0=32+8+2+1=43\). \(\overline{1110000}^{\,2}=2^6+2^5+2^4=64+32+16=112\).
3) L'écriture \(\overline{110101}^{\,2}\) se termine par 1 : cet entier est impair (son chiffre des unités est le reste de sa division par 2). L'écriture \(\overline{1110000}^{\,2}\) se termine par exactement quatre zéros : cet entier est divisible par \(2^4=16\), mais pas par \(2^5=32\). Contrôle avec la question 2 : \(112=16\times 7\) et 7 est impair.
Réponse : \(37=\overline{100101}^{\,2}\) et \(77=\overline{1001101}^{\,2}\) ; \(\overline{101011}^{\,2}=43\) et \(\overline{1110000}^{\,2}=112\) ; \(\overline{110101}^{\,2}\) est impair ; la plus grande puissance de 2 qui divise \(\overline{1110000}^{\,2}\) est \(2^4=16\).
Calculer en base deux
On note \(a=\overline{10111}^{\,2}\) et \(b=\overline{1101}^{\,2}\).
1) Pose l'addition \(a+b\) en base deux, puis contrôle le résultat en base dix.
2) Donne, sans calcul, l'écriture en base deux de \(2a\). Calcule ensuite en base deux le produit \(\overline{101}^{\,2}\times\overline{110}^{\,2}\) et contrôle en base dix.
3) Combien de chiffres l'écriture en base deux de 500 comporte-t-elle ? Donne cette écriture.
4) Quel est le plus grand entier qui s'écrit avec six chiffres en base deux ? Combien de chiffres faut-il pour écrire l'entier suivant ?
Ce que les chiffres révèlent
On rappelle que \(10\equiv 1\;[9]\) et \(10\equiv -1\;[11]\) : un entier est congru modulo 9 à la somme de ses chiffres, et modulo 11 à la somme alternée de ses chiffres prise à partir des unités.
1) Sans effectuer de division, donne le reste de 5283 dans la division par 9, puis dans la division par 11.
2) On note \(n\) l'entier dont l'écriture en base dix est \(\overline{5ab2}\), où \(a\) est le chiffre des centaines et \(b\) celui des dizaines. Exprime, en fonction de \(a\) et \(b\), un entier congru à \(n\) modulo 9 et un entier congru à \(n\) modulo 11.
3) Détermine les chiffres \(a\) et \(b\) pour que \(n\) soit divisible à la fois par 9 et par 11.
4) Justifie que, pour tout entier naturel \(k\), \(2^k\equiv(-1)^k\;[3]\). Déduis-en, sans le convertir en base dix, le reste de \(\overline{110101}^{\,2}\) dans la division par 3, puis contrôle.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.