Terminale C · Leçon 4
Applications affines du plan
Exercices corrigés
Réduction vectorielle simple
Exercice 1 — Réduction vectorielle
Soit $A$ et $B$ deux points, $G$ le barycentre de $(A,3)$ et $(B,1)$. Exprimer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
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- Définition du barycentre
$3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\vec0$. - Relation de Chasles
$\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}$, donc $3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}=\vec0$, soit $4\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{AB}$. - Résultat
$\overrightarrow{AG} = \dfrac14\overrightarrow{AB}$.
Coordonnées d'un barycentre
Exercice 2 — Coordonnées d'un barycentre
Soit $A(1\,;2)$, $B(5\,;-2)$, $C(-2\,;4)$ affectés des coefficients $1$, $2$, $1$. Calculer les coordonnées du barycentre $G$.
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- Abscisse
$$x_G = \frac{1\times1+2\times5+1\times(-2)}{1+2+1} = \frac{9}{4}.$$ - Ordonnée
$$y_G = \frac{1\times2+2\times(-2)+1\times4}{4} = \frac{2}{4} = \frac12.$$ - Résultat
$G\!\left(\dfrac94\,;\dfrac12\right)$.
Produit matriciel
Exercice 1 — Produit matriciel
Calculer $\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}$.
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- Ligne par colonne
Coefficient $(1,1)$ : $2\times1+1\times2=4$. Coefficient $(1,2)$ : $2\times(-1)+1\times0=-2$. - Seconde ligne
Coefficient $(2,1)$ : $0\times1+3\times2=6$. Coefficient $(2,2)$ : $0\times(-1)+3\times0=0$. - Résultat
$$\begin{pmatrix}4&-2\\6&0\end{pmatrix}.$$
Translation — écriture complexe
Exercice 1 — Translation
Soit $f$ la transformation du plan d'écriture complexe $z' = z + 3 - 2i$.
1. Reconnaître la nature précise de $f$.
2. Déterminer l'image du point $A$ d'affixe $1+i$.
3. Déterminer l'antécédent du point $B$ d'affixe $0$.
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- Nature de f
L'écriture est de la forme $z'=z+b$ avec $b=3-2i$ : $f$ est la translation de vecteur d'affixe $3-2i$. - Image de A
$$z_{A'} = (1+i)+3-2i = 4-i.$$ Donc $A'(4-i)$. - Antécédent de B
On résout $z'=0$ : $z+3-2i=0 \Rightarrow z = -3+2i$. L'antécédent est le point $C(-3+2i)$.
Rotation — centre et angle
Exercice 2 — Rotation
Soit $g$ la transformation d'écriture complexe $z' = iz+1$.
1. Montrer que $g$ est une rotation et donner son angle.
2. Déterminer le centre $\Omega$ de cette rotation.
3. Déterminer l'image du point $A$ d'affixe $1$.
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- Nature et angle
On a $a=i$ avec $|a|=1$ et $a\neq 1$ : $g$ est une rotation d'angle $\theta = \arg(i) = \dfrac{\pi}{2}$. - Centre (point fixe)
On résout $z=iz+1 \Leftrightarrow z(1-i)=1 \Leftrightarrow z=\dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1+i}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{1+i}{2}$. Donc $\Omega\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)$. - Image de A
$$z_{A'} = i\times 1+1 = 1+i.$$
QCM — Rotations et symétries orthogonales
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) La réciproque de la rotation de centre $O$ et d'angle $65°$ est :
a) la rotation de centre $O$, angle $65°$ b) la rotation de centre $O$, angle $-65°$ c) la rotation de centre $O$, angle $115°$ d) une translation
2) $r_1$ : rotation de centre $O$, angle $30°$. $r_2$ : rotation de centre $O$, angle $80°$. $r_2\circ r_1$ est :
a) la rotation de centre $O$, angle $50°$ b) la rotation de centre $O$, angle $110°$ c) la rotation de centre $O$, angle $-50°$ d) une homothétie
3) L'expression analytique de la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $(Oy)$ est :
a) $(x;y)\mapsto(x;-y)$ b) $(x;y)\mapsto(-x;y)$ c) $(x;y)\mapsto(-x;-y)$ d) $(x;y)\mapsto(y;x)$
4) Une rotation conserve :
a) uniquement les distances b) uniquement les angles c) les distances et les angles d) rien de particulier
Homothétie — vérification du rapport
Exercice 3 — Homothétie
Soit $h$ la transformation d'écriture complexe $z' = 2z-2+2i$.
1. Reconnaître la nature de $h$.
2. Déterminer son centre $\Omega$.
3. Déterminer l'image $A'$ du point $A$ d'affixe $3$, puis vérifier que $\Omega A' = 2\,\Omega A$.
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- Nature de h
$a=2$ est un réel strictement positif différent de $1$ : $h$ est l'homothétie de rapport $k=2$. - Centre
On résout $z=2z-2+2i \Leftrightarrow -z=-2+2i \Leftrightarrow z=2-2i$. Donc $\Omega(2-2i)$. - Image et vérification
$z_{A'} = 2\times3-2+2i = 4+2i$. On calcule $\Omega A = |z_A-z_\Omega| = |3-(2-2i)| = |1+2i| = \sqrt{5}$ et $\Omega A' = |z_{A'}-z_\Omega| = |4+2i-(2-2i)| = |2+4i| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. On a bien $\Omega A' = 2\sqrt{5} = 2\times\sqrt{5} = 2\,\Omega A$, conforme à la propriété de l'homothétie de rapport $2$.
Situation d'intégration — Motif décoratif en fer forgé
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un artisan conçoit un motif décoratif circulaire pour une porte en fer forgé, en répétant un même triangle par rotations successives de même centre $O$ (centre du motif). Le premier triangle a un sommet en $P(6;0)$. L'artisan veut répartir $3$ copies du triangle (dont l'original) régulièrement sur le cercle complet.
Consigne : Déterminer l'angle de chaque rotation successive pour obtenir une répartition régulière en $3$ copies, puis calculer les coordonnées du sommet $P$ après la première rotation (donner les valeurs exactes, ainsi qu'un arrondi à $0{,}01$ près). Justifier enfin que la composée des $3$ rotations successives ramène le point $P$ exactement à sa position initiale.
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- Angle de rotation. Pour répartir $3$ copies régulièrement sur un tour complet ($360°$) : $\dfrac{360°}3=120°$ entre chaque copie.
- Image de $P$. Pour une rotation de centre $O$ et d'angle $120°$, $P'=(6\cos120°\,;\,6\sin120°)=\left(6\times\left(-\dfrac12\right)\,;\,6\times\dfrac{\sqrt3}2\right)=(-3\,;\,3\sqrt3)\approx(-3\,;\,5{,}20)$.
- Composée des 3 rotations. La composée de rotations de même centre additionne les angles : $120°+120°+120°=360°$, ce qui correspond à un tour complet, donc à l'identité. Le point $P$ revient exactement à sa position de départ après les $3$ rotations successives — cohérent avec la répartition régulière recherchée par l'artisan.
Non-commutativité du produit matriciel
Exercice 5 — Non-commutativité
Soit $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Montrer que $AB \neq BA$.
Similitude directe — caractérisation complète
Exercice 4 — Caractériser une similitude directe
Soit $s$ la transformation d'écriture complexe $z' = (1-i)z+4$.
1. Donner le rapport $k$ et l'angle $\theta$ de $s$.
2. Déterminer le centre $\Omega$ de $s$.
3. Vérifier que $\Omega$ est bien invariant par $s$.
4. Déterminer l'image du point $A$ d'affixe $2i$.
Similitude déterminée par un bipoint
Exercice 5 — Détermination par l'image d'un bipoint
On considère les points $A(1)$, $B(3)$, $A'(2)$ et $B'(2+4i)$. Il existe une unique similitude directe $s$, d'écriture complexe $z'=az+b$, telle que $s(A)=A'$ et $s(B)=B'$.
1. Calculer $a$ puis $b$.
2. En déduire le rapport $k$ et l'angle $\theta$ de $s$.
3. Vérifier que $s(A)=A'$ et $s(B)=B'$.
4. Déterminer le centre de $s$.
Image d'un cercle par une similitude directe
Exercice 6 — Image d'un cercle
Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $A$ d'affixe $2i$ et de rayon $r=3$. Soit $s$ la similitude directe d'écriture complexe $z'=(1+i)z-1$.
1. Rappeler la propriété donnant l'image d'un cercle par une similitude directe.
2. Calculer le rapport $k$ de $s$ et l'image du centre $A$.
3. En déduire le cercle image de $\mathcal{C}$ par $s$.
Problème — Composée d'une rotation et d'une symétrie orthogonale
Problème — Dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$, soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$, et $s$ la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $(Ox)$.
Partie A. 1) On admettra que $r$ a pour expression analytique $(x;y)\mapsto(-y;x)$. Vérifier la cohérence de cette expression sur le point $(1;0)$ (l'image doit être un point à distance $1$ de $O$, obtenu par une rotation d'un quart de tour). 2) Donner l'expression analytique de $s$.
Partie B. Soit $M(3;-2)$. 1) Calculer les coordonnées de $r(M)$. 2) Calculer les coordonnées de $s\bigl(r(M)\bigr)$ (composée $s\circ r$ appliquée à $M$). 3) Calculer les coordonnées de $r\bigl(s(M)\bigr)$ (composée $r\circ s$). Les deux composées donnent-elles le même résultat ?
Partie C. Sachant que $r$ et $s$ sont toutes deux des isométries fixant $O$, que peut-on dire des distances $OM$ et $O\bigl[s\circ r(M)\bigr]$ ? Vérifier ce résultat par le calcul.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.