Seconde C · Leçon 3
Vecteurs du plan
Exercices corrigés
QCM — Colinéarité, coordonnées, milieu
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $\vec u(4;6)$ et $\vec v(2;3)$. $\vec u$ et $\vec v$ sont :
a) colinéaires b) orthogonaux c) ni l'un ni l'autre d) égaux
2) $A(1;2)$, $B(5;8)$. Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont :
a) $(4;6)$ b) $(6;10)$ c) $(4;10)$ d) $(-4;-6)$
3) Soit $A(2;-1)$, $B(6;3)$. Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées :
a) $(4;1)$ b) $(8;2)$ c) $(2;2)$ d) $(4;2)$
4) Trois points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si :
a) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0$ b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ c) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ d) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=1$
Voir le corrigé
- Réponse : a. $\det(\vec u,\vec v)=4\times3-2\times6=0$ : colinéaires ($\vec v=\tfrac12\vec u$).
- Réponse : a. $\overrightarrow{AB}=(5-1;8-2)=(4;6)$.
- Réponse : a. $I=\left(\dfrac{2+6}2;\dfrac{-1+3}2\right)=(4;1)$.
- Réponse : a. Définition du critère d'alignement par le déterminant.
Situation d'intégration — Bornage d'un terrain
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un géomètre vérifie l'alignement de trois bornes délimitant un terrain agricole avant la construction d'une clôture rectiligne. Dans un repère où les distances sont en mètres : $A(2;3)$, $B(14;11)$, $C(20;15)$.
Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. 2) Les trois bornes sont-elles alignées ? Justifier par le calcul du déterminant. 3) Une quatrième borne $D$ doit être placée telle que $\overrightarrow{BD}=\dfrac32\overrightarrow{BA}$. Calculer les coordonnées de $D$.
Exercice supplémentaire — Piquets
Exercice supplémentaire. Un géomètre place trois piquets $A(1;2)$, $B(4;6)$, $C(-2;3)$ dans un repère.
1) Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ et sa norme.
2) Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $\vec{AB}=\vec{CD}$ (parallélogramme $ABDC$).
3) Vérifier, par la relation de Chasles, que $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}$.
Situation d'intégration — Stockage mutualisé au marchéProblème — Intersection cercle-droite et barycentreExercice supplémentaire — Entrepôt commun
Exercice 2 — Situation d'intégration
Trois commerçants d'un marché mutualisent un espace de stockage. Le lieu idéal $G$ est le barycentre de leurs trois boutiques pondérées par leur volume de marchandises (en tonnes) : $A(0;0)$ de poids $2$, $B(12;0)$ de poids $1$, $C(6;9)$ de poids $3$.
Consigne : 1) Calculer les coordonnées de $G$. 2) Le commerçant $A$ trouve $G$ trop éloigné de sa boutique : calculer la distance $AG$ (arrondir au centième). 3) Si les trois poids étaient égaux (isobarycentre), quelles seraient les nouvelles coordonnées $G'$ ? Comparer brièvement à $G$.
Voir le corrigé
- $x_G=\dfrac{2\times0+1\times12+3\times6}{2+1+3}=\dfrac{30}6=5$. $y_G=\dfrac{2\times0+1\times0+3\times9}6=\dfrac{27}6=4{,}5$. $G(5;4{,}5)$.
- $AG=\sqrt{5^2+4{,}5^2}=\sqrt{25+20{,}25}=\sqrt{45{,}25}\approx6{,}73$.
- $G'=\left(\dfrac{0+12+6}3;\dfrac{0+0+9}3\right)=(6;3)$. $G'$ est plus proche de $B$ et $C$ que $G$ ($y_{G'}=3<y_G=4{,}5$) : sans le poids fort de $C$, le point d'équilibre redescend et se décale légèrement vers la droite.
- Substitution : $x^2+(x-1)^2=25 \Rightarrow 2x^2-2x-24=0 \Rightarrow x^2-x-12=0$. $\Delta=1+48=49$. $x=\dfrac{1\pm7}2$, soit $x=4$ ou $x=-3$. Points $A(4;3)$ et $B(-3;-4)$.
- $x_G=\dfrac{3\times4+1\times(-3)}4=\dfrac94=2{,}25$. $y_G=\dfrac{3\times3+1\times(-4)}4=\dfrac54=1{,}25$. $G(2{,}25;1{,}25)$.
- La droite $(AB)$ est justement $y=x-1$ (les deux points en sont issus). On vérifie $y_G=x_G-1$ : $2{,}25-1=1{,}25=y_G$ : confirmé, $G$ est bien sur $(AB)$ — cohérent avec le fait que le barycentre de deux points est toujours situé sur la droite qui les joint.
- $G=\left(\dfrac{1\times0+1\times6+2\times0}{1+1+2}\,;\,\dfrac{1\times0+1\times0+2\times8}{1+1+2}\right)=\left(\dfrac{6}{4}\,;\,\dfrac{16}{4}\right)=(1{,}5\,;4)$.
- $GC=\sqrt{(1{,}5-0)^2+(4-8)^2}=\sqrt{2{,}25+16}=\sqrt{18{,}25}\approx4{,}27$.
- Le cercle de centre $C$ et de rayon $3$ contient les points à distance exactement $3$ de $C$. Or $GC\approx4{,}27>3$ : $G$ n'appartient pas à ce cercle.
Exercice supplémentaire — Entrepôt commun
Exercice supplémentaire. Trois coopératives agricoles, situées en $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(0;8)$, installent un entrepôt commun au barycentre $G$ de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,2)$ (la plus grande coopérative, en $C$, pèse double).
1) Calculer les coordonnées de $G$.
2) Calculer la distance $GC$.
3) $G$ appartient-il au cercle de centre $C$ et de rayon $3$ ?
Problème — Isobarycentre, colinéarité, combinaison linéaire
Problème.
Partie A. Soit $A(-1;2)$, $B(3;4)$, $C(5;-2)$.
1) Calculer les coordonnées de $G$, l'isobarycentre de $A,B,C$ (moyenne des coordonnées).
Partie B. Soit $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$, où $k$ est un réel.
2) Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont-ils colinéaires ?
3) Pour cette valeur de $k$, exprimer $\vec v$ en fonction de $\vec u$.
Partie C. On reprend $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$ avec $k$ quelconque (pas la valeur trouvée en B).
4) Exprimer les coordonnées de $\vec w=2\vec u-3\vec v$ en fonction de $k$.