Seconde C · Leçon 1
Positions de droites et plan de l’espace
Ce que dit le programme officiel (10 points)
- Positions relatives de deux droites dans l’espace
- Génération d’un plan
- Reconnaître la position relative de deux droites
- Déterminer un plan
- Positions relatives d’une droite et d’un plan, de deux plans
- Droites et plans perpendiculaires, parallèles, sécants
- Deux plans perpendiculaires, parallèles, sécants
- Déterminer l’intersection de deux plans, d’une droite et d’un plan
- Propriétés conservées ou non par une représentation en perspective cavalière : parallélisme, perpendicularité
- Représenter en perspective cavalière un solide de l’espace
Source : Programme de mathématiques, classe de Seconde C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Droites et plans de l'espace : représentations, positions relatives, intersections
Regarde la salle de classe : le sol et le plafond ne se rencontrent jamais, un mur coupe le sol le long d'une ligne droite, et l'arête entre deux murs perce le sol en un seul point. Tu viens de décrire des positions de droites et de plans dans l'espace. Dans le plan, deux droites qui ne se coupent pas sont parallèles. Dans l'espace, ce n'est plus vrai : il faut apprendre à raisonner avec des règles précises, parce que le dessin sur la feuille peut tromper. Cette leçon donne ces règles, en s'appuyant sur les solides que tu connais déjà : le cube, le pavé droit, la pyramide, le tétraèdre.
Règle 1. Par deux points distincts \(A\) et \(B\) de l'espace, il passe une seule droite, notée \((AB)\).
Règle 2. Par trois points \(A\), \(B\), \(C\) non alignés, il passe un seul plan, noté \((ABC)\).
Règle 3. Si deux points distincts \(A\) et \(B\) appartiennent à un plan, alors toute la droite \((AB)\) est contenue dans ce plan.
Conséquence. Un plan est déterminé, c'est-à-dire connu sans ambiguïté, par l'une des données suivantes :
- trois points non alignés ;
- une droite et un point qui n'est pas sur cette droite ;
- deux droites sécantes ;
- deux droites strictement parallèles.
Règle 4. Dans chaque plan de l'espace, tous les résultats de géométrie plane restent vrais : théorème de Pythagore, théorème de Thalès, droite des milieux, propriétés des quadrilatères. Pour les utiliser, il faut d'abord nommer le plan dans lequel on travaille.
Deux droites de l'espace sont coplanaires lorsqu'il existe un plan qui les contient toutes les deux. Il y a deux situations.
Droites coplanaires. Comme dans le plan, elles sont soit sécantes (un seul point commun), soit parallèles (strictement parallèles, sans point commun, ou confondues).
Droites non coplanaires. Aucun plan ne les contient toutes les deux. Elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles.
Sur un cube. \(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et les arêtes verticales sont \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\). Les droites \((AB)\) et \((HG)\) sont parallèles. Les droites \((AB)\) et \((BF)\) sont sécantes en \(B\). Les droites \((AB)\) et \((FG)\) ne sont pas coplanaires : elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles.
À retenir. Dans l'espace, « pas de point commun » ne suffit pas pour conclure « parallèles ». Deux droites sont parallèles lorsqu'elles sont coplanaires et sans point commun (ou confondues).
Figure — Trois positions de deux droites sur un cube
Le cube est dessiné en perspective, les arêtes cachées en pointillés. En vert, \((AB)\) et \((HG)\) sont parallèles. En bleu, \((BF)\) coupe \((AB)\) au point \(B\). En or, \((FG)\) ne coupe pas \((AB)\) et ne lui est pas parallèle : ces deux droites ne sont pas coplanaires.
Une droite \(d\) et un plan \(P\). Trois cas, et trois seulement :
- \(d\) est contenue dans \(P\) : tous ses points sont dans \(P\) ;
- \(d\) est sécante à \(P\) : un seul point commun (on dit que \(d\) perce \(P\)) ;
- \(d\) est strictement parallèle à \(P\) : aucun point commun.
On dit que \(d\) est parallèle à \(P\) dans le premier et le troisième cas.
Deux plans \(P\) et \(Q\). Deux cas :
- \(P\) et \(Q\) sont sécants : leur intersection est une droite ;
- \(P\) et \(Q\) sont parallèles : strictement parallèles (aucun point commun) ou confondus.
Deux plans distincts qui ont un point commun sont donc sécants, et ils ont alors toute une droite en commun : deux plans ne se coupent jamais en un seul point.
Sur le cube. La droite \((EF)\) est strictement parallèle au plan \((ABC)\) ; la droite \((CG)\) est sécante au plan \((ABC)\) en \(C\) ; la droite \((AC)\) est contenue dans le plan \((ABC)\). Les plans \((ABC)\) et \((EFG)\) sont parallèles ; les plans \((ABF)\) et \((BCG)\) sont sécants selon la droite \((BF)\).
Ces propriétés sont admises. Elles servent à démontrer et à construire.
P1 — Droite parallèle à un plan. Si une droite \(d\) est parallèle à une droite \(d'\) contenue dans un plan \(P\), alors \(d\) est parallèle à \(P\).
P2 — Plans parallèles. Si deux droites sécantes d'un plan \(P\) sont parallèles à un plan \(Q\), alors \(P\) et \(Q\) sont parallèles.
P3 — Plan coupant deux plans parallèles. Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre, et les deux droites d'intersection sont parallèles.
P4 — Théorème du toit. Soient \(d\) et \(d'\) deux droites parallèles, \(P\) un plan contenant \(d\) et \(Q\) un plan contenant \(d'\). Si \(P\) et \(Q\) sont sécants, alors leur droite d'intersection est parallèle à \(d\) et à \(d'\).
P5. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux.
Attention. Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas forcément parallèles entre elles : dans le cube, \((EF)\) et \((FG)\) sont toutes deux parallèles au plan \((ABC)\), et pourtant elles sont sécantes en \(F\).
Deux plans sécants se coupent selon une droite. Pour la trouver, deux techniques.
Technique 1 : deux points communs.
- Cherche un premier point commun aux deux plans : il est souvent donné (un sommet commun).
- Cherche un second point commun : c'est en général le point d'intersection de deux droites coplanaires, l'une dans le premier plan, l'autre dans le second.
- La droite qui joint ces deux points est l'intersection.
Technique 2 : un point commun et une direction. Si les deux plans contiennent chacun une droite, et si ces deux droites sont parallèles, le théorème du toit s'applique : l'intersection est la droite qui passe par le point commun et qui est parallèle à ces deux droites.
Contrôle. Avant de dire que deux droites se coupent, nomme un plan qui les contient toutes les deux et vérifie qu'elles n'y sont pas parallèles.
On cherche le point où une droite \(d\) perce un plan \(P\).
- Choisis un plan \(Q\) qui contient \(d\) et dont tu connais l'intersection avec \(P\) : une droite \(\Delta\).
- Les droites \(d\) et \(\Delta\) sont toutes deux dans \(Q\) : elles sont coplanaires.
- Si elles sont sécantes, leur point d'intersection \(K\) est le point cherché : \(K\) est sur \(d\), et \(K\) est sur \(\Delta\), donc dans \(P\).
- Si elles sont parallèles, \(d\) est parallèle à \(P\) : il n'y a pas de point d'intersection, ou bien \(d\) est contenue dans \(P\).
Le plan auxiliaire \(Q\) est presque toujours une face du solide ou un plan passant par un sommet.
Énoncé. \(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et les arêtes verticales sont \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\). Donne, en justifiant, la position relative : a) des droites \((AC)\) et \((EG)\) ; b) des droites \((AG)\) et \((BH)\) ; c) des droites \((AB)\) et \((DH)\) ; d) de la droite \((DH)\) et du plan \((ABC)\).
Solution. a) Les arêtes \([AE]\) et \([CG]\) sont parallèles et de même longueur, donc \(ACGE\) est un parallélogramme (c'est même un rectangle). Ses côtés opposés sont parallèles : \((AC)\) et \((EG)\) sont parallèles.
b) Les arêtes \([AB]\) et \([HG]\) sont parallèles et de même longueur, donc \(ABGH\) est un parallélogramme. Ses diagonales \([AG]\) et \([BH]\) se coupent en leur milieu : les droites \((AG)\) et \((BH)\) sont sécantes, au centre du cube.
c) La droite \((DH)\) coupe le plan \((ABC)\) au seul point \(D\), qui n'est pas sur \((AB)\). Les deux droites n'ont donc pas de point commun. Elles ne sont pas parallèles, car \((DH)\) est parallèle à \((AE)\), qui coupe \((AB)\). Les droites \((AB)\) et \((DH)\) ne sont pas coplanaires.
d) Le point \(D\) est commun à la droite \((DH)\) et au plan \((ABC)\), et le point \(H\) n'est pas dans ce plan : la droite n'y est donc pas contenue. Elle est sécante au plan \((ABC)\), au point \(D\).
Énoncé. \(ABCD\) est un tétraèdre. \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) est le point de \([AC]\) tel que \(AJ=\dfrac{3}{4}AC\). Détermine l'intersection de la droite \((IJ)\) avec le plan \((BCD)\), puis l'intersection des plans \((IJD)\) et \((BCD)\).
Solution. Les points \(I\) et \(J\) sont dans le plan \((ABC)\), donc la droite \((IJ)\) est contenue dans ce plan, comme la droite \((BC)\). Ces deux droites sont coplanaires. Elles ne sont pas parallèles : sinon, d'après le théorème de Thalès dans le triangle \(ABC\), on aurait \(\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AJ}{AC}\), or \(\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{3}{4}\). Elles sont donc sécantes en un point \(K\).
Le point \(K\) est sur \((BC)\), donc dans le plan \((BCD)\), et il est sur \((IJ)\). On a donc trouvé l'intersection de la droite \((IJ)\) et du plan \((BCD)\) : c'est le point \(K\).
Pour les deux plans : \(D\) appartient à \((IJD)\) et à \((BCD)\) ; \(K\) appartient à \((IJ)\), donc à \((IJD)\), et à \((BCD)\). Les deux plans sont distincts et ont deux points communs \(D\) et \(K\) : leur intersection est la droite \((DK)\).
Figure — Le point K et la droite (DK)
En bleu, la droite \((IJ)\), tracée dans le plan \((ABC)\) : elle coupe la droite \((BC)\) au point \(K\), situé hors du segment \([BC]\). En or, la droite \((DK)\) : c'est l'intersection des plans \((IJD)\) et \((BCD)\). L'arête \([DC]\), cachée, est en pointillés.
Énoncé. \(SABCD\) est une pyramide de sommet \(S\) dont la base \(ABCD\) est un parallélogramme. Détermine l'intersection des plans \((SAB)\) et \((SCD)\).
Solution. Le point \(S\) appartient aux deux plans, qui sont distincts : ils sont donc sécants selon une droite \(\Delta\) passant par \(S\). Chercher un second point commun est difficile ici, car \((AB)\) et \((CD)\) ne se coupent pas. On utilise la technique 2.
Le plan \((SAB)\) contient la droite \((AB)\), le plan \((SCD)\) contient la droite \((CD)\), et \((AB)\) est parallèle à \((CD)\) puisque \(ABCD\) est un parallélogramme. D'après le théorème du toit, \(\Delta\) est parallèle à \((AB)\) et à \((CD)\).
Conclusion : l'intersection des plans \((SAB)\) et \((SCD)\) est la droite passant par \(S\) et parallèle à \((AB)\).
Figure — Le théorème du toit
En vert, les droites parallèles \((AB)\) et \((CD)\), contenues l'une dans le plan \((SAB)\), l'autre dans le plan \((SCD)\). En or, la droite \(\Delta\), intersection de ces deux plans : elle passe par \(S\) et elle est parallèle à \((AB)\) et à \((CD)\).
« Elles ne se coupent pas, donc elles sont parallèles. » Faux dans l'espace : elles peuvent être non coplanaires, comme \((AB)\) et \((FG)\) dans un cube. Pour conclure au parallélisme, il faut une propriété du cours.
« Elles se croisent sur le dessin, donc elles sont sécantes. » Faux : deux droites non coplanaires peuvent se croiser sur la feuille. Deux droites ne sont sécantes que si elles sont dans un même plan et non parallèles : nomme toujours ce plan.
« Parallèle à un plan, donc parallèle à toutes les droites de ce plan. » Faux : dans le cube, \((EF)\) est parallèle au plan \((ABC)\), mais elle n'est pas parallèle à la droite \((BC)\) de ce plan.
« L'intersection de deux plans est un point. » Jamais : c'est une droite (ou rien, ou un plan entier s'ils sont confondus).
« Parallèles au même plan, donc parallèles entre elles. » Faux pour deux droites, comme le montre l'exemple de \((EF)\) et \((FG)\) dans le cube.
Solides usuels et perspective cavalière
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure — Parallélépipède rectangle en perspective cavalière
Les arêtes visibles sont en trait plein, les arêtes cachées en pointillés — la convention standard de la perspective cavalière.
Droites orthogonales. Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires sont deux droites orthogonales et sécantes. Dans un cube \(ABCDEFGH\) (face du bas \(ABCD\), face du haut \(EFGH\), arêtes verticales \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\)), les droites \((AB)\) et \((FG)\) sont orthogonales sans être sécantes : la parallèle à \((FG)\) passant par \(B\) est \((BC)\), qui est perpendiculaire à \((AB)\).
Droite perpendiculaire à un plan. Une droite \(d\) est perpendiculaire à un plan \(P\) lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de \(P\).
Critère (admis). Il suffit que \(d\) soit orthogonale à deux droites sécantes de \(P\) pour être perpendiculaire à \(P\). Elle est alors orthogonale à toutes les droites de \(P\).
Plans perpendiculaires. Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite perpendiculaire à l'autre.
Sur le cube. La droite \((AE)\) est perpendiculaire à \((AB)\) et à \((AD)\), deux droites sécantes du plan \((ABC)\) : elle est donc perpendiculaire au plan \((ABC)\). Le plan \((ABF)\) contient \((AE)\) : il est perpendiculaire au plan \((ABC)\).
Deux propriétés utiles. Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
Figure — Deux droites orthogonales qui ne se coupent pas
En bleu, la droite \((AB)\) ; en or, les droites parallèles \((FG)\) et \((BC)\). La droite \((BC)\) passe par \(B\) et elle est perpendiculaire à \((AB)\) : l'angle droit, marqué en \(B\), n'apparaît pas droit sur le dessin. Les droites \((AB)\) et \((FG)\) sont donc orthogonales, sans avoir de point commun.
Démontrer qu'une droite \(d\) est perpendiculaire à un plan \(P\).
- Repère dans \(P\) deux droites sécantes, par exemple deux côtés d'une face ou les deux diagonales d'un carré.
- Montre que \(d\) est orthogonale à la première, puis à la seconde. Pour chacune, utilise une figure plane connue (carré, rectangle, triangle rectangle) ou une perpendicularité déjà démontrée.
- Conclus avec le critère : \(d\) est perpendiculaire à \(P\).
Démontrer que deux droites \(d\) et \(d'\) sont orthogonales. Cherche un plan \(P\) qui contient \(d'\) et auquel \(d\) est perpendiculaire. Comme \(d\) est alors orthogonale à toutes les droites de \(P\), elle est orthogonale à \(d'\). Cette méthode marche même quand les deux droites ne se coupent pas.
Démontrer que deux plans sont perpendiculaires. Trouve dans l'un des deux plans une droite perpendiculaire à l'autre.
Un solide dessiné sur une feuille est représenté en perspective cavalière. Le dessin respecte certaines propriétés de l'objet réel, mais pas toutes.
Conservé. L'alignement des points ; le parallélisme (deux droites parallèles dans l'espace sont dessinées parallèles) ; les milieux, et plus généralement les rapports de longueurs sur une même droite ou sur des droites parallèles ; la forme exacte de toute figure située dans un plan vu de face.
Non conservé. Les angles, en particulier les angles droits : une face carrée vue de côté est dessinée comme un parallélogramme. Les longueurs sur les fuyantes, qui sont réduites. La perpendicularité en général.
Conséquences pour raisonner. Deux droites qui se croisent sur le dessin ne sont pas forcément sécantes dans l'espace. Deux droites qui paraissent perpendiculaires ne le sont pas forcément, et un angle droit réel n'apparaît pas toujours droit. On ne lit donc jamais une intersection ou un angle sur le dessin : on les justifie avec les règles du cours.
Énoncé. \(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et les arêtes verticales sont \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\). Démontre que la droite \((BD)\) est perpendiculaire au plan \((ACE)\), puis que les droites \((BD)\) et \((EC)\) sont orthogonales.
Solution. On cherche deux droites sécantes du plan \((ACE)\) orthogonales à \((BD)\).
Première droite : \(ABCD\) est un carré, ses diagonales sont perpendiculaires, donc \((BD)\) est perpendiculaire à \((AC)\).
Seconde droite : \((AE)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\), donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à \((BD)\).
Les droites \((AC)\) et \((AE)\) sont sécantes en \(A\) et contenues dans le plan \((ACE)\). La droite \((BD)\) est orthogonale à ces deux droites : elle est donc perpendiculaire au plan \((ACE)\).
La droite \((EC)\) est contenue dans le plan \((ACE)\). Or une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan. Donc \((BD)\) et \((EC)\) sont orthogonales. Elles ne sont pas sécantes : sur un dessin, rien ne laissait deviner cet angle droit.
Figure — La droite (BD) et le plan (ACE)
En couleur, le plan \((ACE)\), qui contient aussi le point \(G\). En bleu, la droite \((BD)\), perpendiculaire à ce plan. En or, la droite \((EC)\), contenue dans le plan : elle est orthogonale à \((BD)\), et pourtant les deux droites ne se coupent pas.
Énoncé. \(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et les arêtes verticales sont \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\). Le cube est dessiné en perspective cavalière, la face \(ABFE\) étant vue de face. Sur le dessin : a) l'angle \(\widehat{ABC}\) n'apparaît pas droit ; b) le segment \([BC]\) est plus court que le segment \([AB]\) ; c) le milieu de \([BC]\) est placé au milieu du segment dessiné ; d) les droites \((EG)\) et \((BD)\) se croisent. Dis, pour chaque observation, ce qui est vrai dans la réalité.
Solution. a) La face \(ABCD\) est un carré, donc l'angle \(\widehat{ABC}\) est droit dans la réalité. Cette face est vue de côté : elle est dessinée comme un parallélogramme et l'angle droit n'est pas conservé.
b) Toutes les arêtes d'un cube ont la même longueur, donc \(BC=AB\). L'arête \([BC]\) est une fuyante : sa longueur est réduite sur le dessin.
c) C'est exact : les milieux sont conservés, même sur une fuyante. On peut donc placer un milieu directement sur le dessin.
d) Les droites \((EG)\) et \((BD)\) ne sont pas sécantes : \((EG)\) est dans le plan \((EFG)\), \((BD)\) dans le plan \((ABC)\), et ces deux plans sont strictement parallèles, donc n'ont aucun point commun. Elles ne sont pas parallèles non plus, car \((EG)\) est parallèle à \((AC)\), qui coupe \((BD)\). Elles sont non coplanaires. Elles sont même orthogonales, puisque \((AC)\) est perpendiculaire à \((BD)\) (diagonales du carré).
« Orthogonale à une droite du plan, donc perpendiculaire au plan. » Faux : il faut deux droites, et elles doivent être sécantes. Dans le cube, \((BC)\) est orthogonale à \((AB)\) et à \((HG)\), deux droites parallèles du plan \((ABG)\), et pourtant elle n'est pas perpendiculaire à ce plan.
Confondre orthogonales et perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires se coupent. Deux droites orthogonales ne se coupent pas forcément : \((AB)\) et \((FG)\) sont orthogonales et non coplanaires.
Mesurer sur le dessin. On ne mesure ni un angle ni une longueur sur une fuyante. Un angle droit se démontre, il ne se lit pas.
Croire qu'un croisement sur la feuille est un point d'intersection. Vérifie toujours que les deux droites sont dans un même plan.
Résumé
Trois points non alignés ; une droite et un point extérieur ; deux droites sécantes ; deux droites strictement parallèles.
Coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires. Sans point commun ne veut pas dire parallèles.
Droite contenue, sécante (un point) ou strictement parallèle. Deux plans : parallèles, ou sécants selon une droite.
Un plan qui coupe deux plans parallèles donne deux droites parallèles. Théorème du toit : l'intersection est parallèle aux deux droites parallèles.
Leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Elles peuvent ne pas se couper.
Il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes du plan. Elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan.
L'un des deux plans contient une droite perpendiculaire à l'autre plan.
L'alignement, le parallélisme, les milieux, et les figures situées dans un plan vu de face.
Les angles droits, les longueurs sur les fuyantes : on démontre, on ne mesure pas.