Seconde C · Leçon 6
Transformations du plan
Ce que dit le programme officiel (11 points)
- Homothétie : définition, propriétés, images de figures usuelles
- Définir une homothétie
- Construire les images de figures simples par une homothétie
- Composée d’homothéties et de translations
- Déterminer la composée d’une homothétie et d’une translation
- Propriété caractéristique des homothéties-translations
- Utiliser la propriété caractéristique des homothéties-translations
- Rotation : définition, propriétés, images de figures usuelles
- Définir une rotation
- Construire les images de figures simples par une rotation d’angle et de centre donnés
- Utiliser les transformations (symétries orthogonale et centrale, translation, homothétie, rotation) dans des activités géométriques (constructions, démonstrations)
Source : Programme de mathématiques, classe de Seconde C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Homothétie : définition et propriétés
Quand on agrandit une photo, quand on projette une diapositive sur un mur ou quand on dessine un plan à l'échelle, la figure change de taille mais garde exactement sa forme : les angles ne bougent pas, toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre. L'homothétie est la transformation du plan qui décrit ces agrandissements et ces réductions à partir d'un point fixe, le centre. C'est aussi un outil de démonstration : reconnaître une homothétie dans une figure donne d'un seul coup des droites parallèles, des points alignés et des rapports de longueurs.
L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) (\(k\in\mathbb{R}^*\)) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\). Elle correspond exactement à la multiplication par le scalaire \(k\) en écriture vectorielle depuis le centre \(O\) — c'est le même \(k\) que celui du théorème de Thalès.
Conserve l'alignement, le parallélisme, les barycentres. Multiplie les distances par \(|k|\) et les aires par \(k^2\). Si \(k=1\) : identité. Si \(k=-1\) : symétrie centrale de centre \(O\). Une droite est envoyée sur une droite parallèle ; un cercle de rayon \(r\) sur un cercle de rayon \(|k|r\).
Facile. \(O(0;0)\), \(k=2\), \(A(3;1)\). L'image \(A'\) vérifie \(\overrightarrow{OA'}=2\overrightarrow{OA}\), donc \(A'(6;2)\).
Rapport négatif. \(O(1;1)\), \(k=-\tfrac12\), \(B(5;3)\). \(\overrightarrow{OB}(4;2)\), donc \(\overrightarrow{OB'}=-\tfrac12(4;2)=(-2;-1)\), soit \(B'(-1;0)\) : \(B'\) est de l'autre côté de \(O\) par rapport à \(B\).
Figure interactive — Homothétie de centre O
Le triangle bleu est l'image du triangle gris par l'homothétie de centre O et de rapport k.
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) (avec \(k\ne 0\)), et \(M\) un point distinct de \(O\), d'image \(M'=h(M)\). L'égalité \(\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}\) dit où se trouve \(M'\) :
- \(M'\) est toujours sur la droite \((OM)\), à la distance \(OM'=|k|\times OM\) du centre ;
- si \(k\gt 0\), \(M\) et \(M'\) sont du même côté de \(O\) ; si \(k\lt 0\), ils sont de part et d'autre de \(O\) ;
- si \(|k|\gt 1\), l'homothétie est un agrandissement : \(M'\) est plus loin de \(O\) que \(M\) ; si \(|k|\lt 1\), c'est une réduction : \(M'\) est plus près de \(O\).
Par exemple, pour \(k=\dfrac{1}{2}\), \(M'\) est le milieu de \([OM]\) ; pour \(k=-2\), \(O\) est entre \(M\) et \(M'\) et \(OM'=2\,OM\).
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
- Point invariant. Le centre est sa propre image : \(h(O)=O\). Si \(k\ne 1\), c'est le seul point invariant. En effet, si \(M'=M\), alors \(\overrightarrow{OM}=k\,\overrightarrow{OM}\), donc \((1-k)\,\overrightarrow{OM}=\vec{0}\), ce qui impose \(M=O\).
- Alignement. Un point, son image et le centre sont toujours alignés, car les vecteurs \(\overrightarrow{OM}\) et \(\overrightarrow{OM'}\) sont colinéaires.
- Homothétie réciproque. Si \(M'=h(M)\), alors \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{k}\,\overrightarrow{OM'}\) : on revient de \(M'\) à \(M\) par l'homothétie de même centre \(O\) et de rapport \(\dfrac{1}{k}\).
Conséquence pratique : si deux points \(A\) et \(B\) ont pour images \(A'\) et \(B'\), le centre est à la fois sur \((AA')\) et sur \((BB')\).
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\). Si \(A'=h(A)\) et \(B'=h(B)\), alors
\[\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}.\]Démonstration. Avec la relation de Chasles, \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{A'O}+\overrightarrow{OB'}=-k\,\overrightarrow{OA}+k\,\overrightarrow{OB}=k\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right)=k\,\overrightarrow{AB}\).
Ce que l'on en tire.
- \(A'B'=|k|\times AB\) : toutes les longueurs sont multipliées par \(|k|\).
- Les droites \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles : l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
- Si \(k\gt 0\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{A'B'}\) ont le même sens ; si \(k\lt 0\), ils sont de sens contraires.
Caractérisation. Réciproquement, si une transformation vérifie \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) pour tous les points \(A\) et \(B\), avec \(k\) différent de 0 et de 1, alors c'est une homothétie de rapport \(k\).
Par une homothétie de rapport \(k\) :
- l'image d'un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de longueur \(|k|\times AB\) ; l'image du milieu de \([AB]\) est le milieu de \([A'B']\) ;
- l'image d'une droite est une droite parallèle ; une droite qui passe par le centre est sa propre image ;
- l'image d'une demi-droite d'origine \(A\) est une demi-droite d'origine \(A'\) ;
- l'image du cercle de centre \(I\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(I'=h(I)\) et de rayon \(|k|\times r\) ;
- l'image d'un triangle est un triangle qui a les mêmes angles : deux droites perpendiculaires ont des images perpendiculaires, deux droites parallèles ont des images parallèles.
Aires. Les longueurs sont multipliées par \(|k|\), donc les aires sont multipliées par \(k^2\). Pour un rectangle de côtés \(a\) et \(b\), l'image a pour côtés \(|k|a\) et \(|k|b\), donc pour aire \(k^2\times ab\).
Image d'un point \(M\) par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
- Trace la droite \((OM)\).
- Regarde le signe de \(k\) : pour \(k\gt 0\), l'image est sur la demi-droite \([OM)\) ; pour \(k\lt 0\), elle est sur la demi-droite opposée.
- Reporte la distance \(OM'=|k|\times OM\) à partir de \(O\).
Image d'une figure. On ne construit ainsi qu'un seul point. Pour les suivants, on utilise le parallélisme : si \(A'\) est connu, l'image \(B'\) de \(B\) est le point d'intersection de la droite \((OB)\) et de la parallèle à \((AB)\) passant par \(A'\). C'est plus rapide et plus précis que de mesurer à chaque fois.
Image d'un cercle. Il suffit de construire l'image \(I'\) du centre, puis de tracer le cercle de centre \(I'\) et de rayon \(|k|\times r\).
On connaît deux points \(A\), \(B\) et leurs images \(A'\), \(B'\).
- Le rapport. Écris \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\). La valeur absolue de \(k\) est \(\dfrac{A'B'}{AB}\) ; son signe est positif si les deux vecteurs ont le même sens, négatif sinon.
- Le centre. Sur une figure, c'est le point d'intersection des droites \((AA')\) et \((BB')\). Par le calcul, on traduit \(\overrightarrow{OA'}=k\,\overrightarrow{OA}\) en coordonnées et on résout deux équations du premier degré.
- La vérification. Contrôle que l'on a bien aussi \(\overrightarrow{OB'}=k\,\overrightarrow{OB}\).
Pour démontrer avec une homothétie, la rédaction suit toujours le même plan : nommer le centre et le rapport, justifier l'image de chaque point utilisé, puis citer la propriété qui donne la conclusion (parallélisme, longueurs multipliées par \(|k|\), alignement avec le centre).
Énoncé. \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB=4\) cm et \(AC=3\) cm. On note \(A'B'C'\) son image par une homothétie de rapport 3. Calcule les côtés, le périmètre et l'aire de \(A'B'C'\).
Solution. D'après le théorème de Pythagore, \(BC^2=4^2+3^2=25\), donc \(BC=5\) cm. Une homothétie de rapport 3 multiplie les longueurs par 3 : \(A'B'=12\) cm, \(A'C'=9\) cm et \(B'C'=15\) cm.
Les droites perpendiculaires \((AB)\) et \((AC)\) ont des images perpendiculaires : le triangle \(A'B'C'\) est rectangle en \(A'\). On le contrôle : \(12^2+9^2=144+81=225=15^2\).
Le périmètre passe de \(4+3+5=12\) cm à \(12+9+15=36\) cm : il est multiplié par 3, comme toute longueur. L'aire de \(ABC\) vaut \(\dfrac{4\times 3}{2}=6\) cm² ; celle de \(A'B'C'\) vaut \(\dfrac{12\times 9}{2}=54\) cm², soit \(9\times 6\) : elle est multipliée par \(k^2=9\), et non par 3.
Remarque : le résultat ne dépend pas de la position du centre. Le centre fixe l'endroit où se trouve l'image, pas sa taille.
Énoncé. \(ABCD\) est un trapèze tel que \(\overrightarrow{DC}=\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}\), avec \(AB=6\) cm. Ses diagonales \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en \(I\). Démontre que \(IA=3\,IC\), puis calcule \(IA\) et \(IC\) sachant que \(AC=8\) cm.
Solution. Les points \(I\), \(A\) et \(C\) sont alignés et \(I\) est distinct de \(A\) : il existe une homothétie \(h\) de centre \(I\) qui envoie \(A\) sur \(C\). Notons \(k\) son rapport.
L'image de la droite \((AB)\) est la droite parallèle à \((AB)\) passant par \(C\), c'est-à-dire \((CD)\). L'image de \(B\) est donc sur \((CD)\). Elle est aussi sur la droite \((IB)\), qui est la droite \((BD)\). Le seul point commun à ces deux droites est \(D\) : \(h(B)=D\).
D'après la propriété fondamentale, \(\overrightarrow{CD}=k\,\overrightarrow{AB}\). Or \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}\), donc \(k=-\dfrac{1}{3}\). Ainsi \(\overrightarrow{IC}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{IA}\), d'où \(IC=\dfrac{1}{3}\,IA\), c'est-à-dire \(IA=3\,IC\).
Le rapport est négatif : \(I\) est entre \(A\) et \(C\), donc \(AC=IA+IC=4\,IC\). Avec \(AC=8\) cm, on obtient \(IC=2\) cm et \(IA=6\) cm. De même \(IB=3\,ID\).
Énoncé. Dans un repère, une homothétie \(h\) envoie \(A(2;1)\) sur \(A'(4;5)\) et \(B(3;0)\) sur \(B'(7;2)\). Détermine son rapport et son centre, puis l'image du point \(C(0;2)\).
Rapport. \(\overrightarrow{AB}(1;-1)\) et \(\overrightarrow{A'B'}(3;-3)\), donc \(\overrightarrow{A'B'}=3\,\overrightarrow{AB}\) : le rapport est \(k=3\).
Centre. Soit \(O(x;y)\) le centre. L'égalité \(\overrightarrow{OA'}=3\,\overrightarrow{OA}\) s'écrit \(4-x=3(2-x)\) et \(5-y=3(1-y)\). La première équation donne \(2x=2\), soit \(x=1\) ; la seconde donne \(2y=-2\), soit \(y=-1\). Le centre est \(O(1;-1)\).
Vérification avec \(B\). \(\overrightarrow{OB}(2;1)\) et \(\overrightarrow{OB'}(6;3)\) : on a bien \(\overrightarrow{OB'}=3\,\overrightarrow{OB}\).
Image de \(C\). \(\overrightarrow{OC}(-1;3)\), donc \(\overrightarrow{OC'}=3\,\overrightarrow{OC}\) a pour coordonnées \((-3;9)\), et \(C'\) a pour coordonnées \((1-3;-1+9)\), soit \(C'(-2;8)\).
Premier piège : le signe. L'égalité \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) porte sur des vecteurs. Pour les longueurs, c'est \(A'B'=|k|\times AB\) : une longueur n'est jamais négative. Avec \(k=-\dfrac{1}{2}\) et \(AB=4\) cm, on trouve \(A'B'=2\) cm, et non \(-2\) cm.
Deuxième piège : les aires. Les aires sont multipliées par \(k^2\), pas par \(k\). Avec \(k=-\dfrac{1}{2}\), un triangle d'aire 6 cm² a une image d'aire \(\dfrac{1}{4}\times 6=1{,}5\) cm². Une aire doublée ne correspond donc pas à des longueurs doublées.
Troisième piège : le centre. Le centre \(O\) n'est le milieu de \([MM']\) que pour \(k=-1\). Dans tous les autres cas, on sait seulement que \(O\), \(M\) et \(M'\) sont alignés.
Quatrième piège : l'ordre des points. Dire que \(h\) envoie \(A\) sur \(A'\) avec le rapport \(k\) s'écrit \(\overrightarrow{OA'}=k\,\overrightarrow{OA}\). Écrire \(\overrightarrow{OA}=k\,\overrightarrow{OA'}\) revient à prendre l'homothétie réciproque, de rapport \(\dfrac{1}{k}\).
Homothéties et translations : caractérisation, réciproque, composition, expression analytique
Une translation déplace une figure sans la tourner ni changer sa taille ; une homothétie l'agrandit ou la réduit. Que se passe-t-il lorsqu'on applique l'une puis l'autre, ou deux homothéties à la suite ? Une seule égalité vectorielle permet de répondre : elle caractérise à la fois les translations et les homothéties, et rend le calcul des composées presque immédiat.
Soit \(f\) une transformation du plan et \(k\) un réel non nul. Les deux affirmations suivantes sont équivalentes.
- Pour tous points \(M\) et \(N\), d'images \(M'\) et \(N'\) par \(f\), on a \(\overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}\).
- \(f\) est une translation (lorsque \(k=1\)) ou une homothétie de rapport \(k\) (lorsque \(k\neq 1\)).
Pourquoi une translation ou une homothétie vérifie l'égalité. Si \(f\) est la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\), alors \(\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{NN'}=\overrightarrow{u}\), donc \(MNN'M'\) est un parallélogramme et \(\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{MN}\). Si \(f\) est l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\), alors \(\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{M'\Omega}+\overrightarrow{\Omega N'}=-k\,\overrightarrow{\Omega M}+k\,\overrightarrow{\Omega N}=k\,\overrightarrow{MN}\).
Ce que l'égalité apporte. Elle dit que toute droite a pour image une droite parallèle et que les longueurs sont multipliées par \(|k|\). La réciproque est admise : une transformation qui vérifie cette égalité ne peut être qu'une translation ou une homothétie.
Figure — L'égalité caractéristique pour une homothétie de rapport 2
Le point Ω est le centre de l'homothétie. Les points M et N (en bleu marine) ont pour images M′ et N′ (en or). Le segment [M′N′] est parallèle au segment [MN] et deux fois plus long : c'est l'égalité vectorielle du théorème, avec k = 2.
Composer deux transformations, c'est les appliquer l'une après l'autre. On note \(g\circ f\) la transformation « \(f\) puis \(g\) » : celle de droite agit en premier. Si \(f\) multiplie les vecteurs par \(k\) et \(g\) par \(k'\), alors \(g\circ f\) les multiplie par \(kk'\). La propriété caractéristique donne donc la nature de la composée.
- Deux translations. La composée des translations de vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) est la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\). L'ordre n'a pas d'importance.
- Deux homothéties de même centre. La composée des homothéties de centre \(O\) et de rapports \(k\) et \(k'\) est l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(kk'\). L'ordre n'a pas d'importance.
- Une homothétie de rapport \(k\neq 1\) et une translation. La composée, dans un ordre ou dans l'autre, est une homothétie de rapport \(k\). Son centre n'est pas celui de l'homothétie de départ, et il dépend de l'ordre.
- Deux homothéties de centres différents, de rapports \(k\) et \(k'\). Si \(kk'\neq 1\), la composée est une homothétie de rapport \(kk'\), dont le centre est aligné avec les deux centres. Si \(kk'=1\), la composée est une translation.
Étape 1 : la nature. On multiplie les rapports (une translation compte pour le rapport 1). Si le produit vaut 1, la composée est une translation ; sinon, c'est une homothétie dont le rapport est ce produit.
Étape 2, cas d'une translation : le vecteur. On choisit un point dont l'image est facile à trouver, par exemple le centre \(A\) de la première homothétie, et l'on construit son image \(A'\). Le vecteur de la translation est \(\overrightarrow{AA'}\).
Étape 2, cas d'une homothétie : le centre. Le centre est le seul point invariant, c'est-à-dire le seul point \(\Omega\) confondu avec son image. On écrit donc que l'image de \(\Omega\) est \(\Omega\) et l'on en tire une égalité vectorielle qui place \(\Omega\). Par exemple, pour « l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\), puis la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\) », on obtient \((1-k)\,\overrightarrow{O\Omega}=\overrightarrow{u}\).
Autre façon de trouver le centre. On construit les images \(A'\) et \(B'\) de deux points \(A\) et \(B\) : le centre est le point d'intersection des droites \((AA')\) et \((BB')\), lorsqu'elles sont sécantes.
Énoncé. Dans un repère, \(h\) est l'homothétie de centre \(O(0\,;0)\) et de rapport 2, et \(t\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}(3\,;-1)\). Déterminer la transformation \(f=t\circ h\), puis la transformation \(g=h\circ t\).
Solution : \(h\) multiplie les vecteurs par 2 et \(t\) par 1 : les deux composées les multiplient par 2. Ce sont des homothéties de rapport 2.
Centre de \(f\). Soit \(\Omega\) son centre et \(\Omega_1\) l'image de \(\Omega\) par \(h\) : \(\overrightarrow{O\Omega_1}=2\,\overrightarrow{O\Omega}\). L'image de \(\Omega_1\) par \(t\) doit être \(\Omega\) : \(\overrightarrow{\Omega_1\Omega}=\overrightarrow{u}\). Or \(\overrightarrow{\Omega_1\Omega}=\overrightarrow{O\Omega}-\overrightarrow{O\Omega_1}=-\overrightarrow{O\Omega}\). Donc \(\overrightarrow{O\Omega}=-\overrightarrow{u}\), soit \(\Omega(-3\,;1)\). Vérification : \(h\) envoie \((-3\,;1)\) sur \((-6\,;2)\), puis \(t\) envoie \((-6\,;2)\) sur \((-3\,;1)\).
Centre de \(g\). Soit \(\Omega'\) son centre. La translation l'envoie sur le point \(P\) tel que \(\overrightarrow{\Omega'P}=\overrightarrow{u}\), puis \(h\) doit ramener \(P\) sur \(\Omega'\) : \(\overrightarrow{O\Omega'}=2\,\overrightarrow{OP}=2\,\overrightarrow{O\Omega'}+2\,\overrightarrow{u}\). Donc \(\overrightarrow{O\Omega'}=-2\,\overrightarrow{u}\), soit \(\Omega'(-6\,;2)\).
Les deux composées ont le même rapport mais pas le même centre : \(t\circ h\) et \(h\circ t\) sont deux transformations différentes.
Figure — Le triangle ABC, son image par h, puis par t
Le triangle ABC (en bleu marine) a pour image par l'homothétie h le triangle en pointillés, que la translation t envoie sur le triangle doré A′B′C′. Les droites qui joignent chaque sommet à son image finale passent toutes par le point Ω(−3 ; 1) : c'est le centre de la composée, et ΩA′ = 2 ΩA.
Énoncé. \(A\) et \(B\) sont deux points distincts. On note \(h_1\) l'homothétie de centre \(A\) et de rapport 3, et \(h_2\) l'homothétie de centre \(B\) et de rapport \(\dfrac13\). Déterminer \(h_2\circ h_1\).
Solution : Le produit des rapports est \(3\times\dfrac13=1\) : la composée est une translation. Pour trouver son vecteur, on cherche l'image de \(A\). Par \(h_1\), le point \(A\) est invariant. Par \(h_2\), il a pour image le point \(A'\) tel que \(\overrightarrow{BA'}=\dfrac13\,\overrightarrow{BA}\). Alors \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{AB}-\dfrac13\,\overrightarrow{AB}=\dfrac23\,\overrightarrow{AB}\).
\(h_2\circ h_1\) est la translation de vecteur \(\dfrac23\,\overrightarrow{AB}\). Contrôle dans un repère où \(A(0\,;0)\) et \(B(3\,;0)\) : un point \(M(x\,;y)\) est envoyé par \(h_1\) sur \((3x\,;3y)\), puis par \(h_2\) sur \(\left(3+\dfrac{3x-3}{3}\,;\dfrac{3y}{3}\right)=(x+2\,;y)\). On retrouve le vecteur \((2\,;0)\).
Énoncé. \(A\) et \(B\) sont deux points distincts, \(h\) est l'homothétie de centre \(A\) et de rapport 2, et \(s\) la symétrie de centre \(B\). Déterminer \(s\circ h\).
Solution : Une symétrie centrale est une homothétie de rapport \(-1\). Le produit des rapports est \(2\times(-1)=-2\) : la composée est une homothétie de rapport \(-2\).
Soit \(\Omega\) son centre et \(\Omega_1\) l'image de \(\Omega\) par \(h\) : \(\overrightarrow{A\Omega_1}=2\,\overrightarrow{A\Omega}\). La symétrie \(s\) doit ramener \(\Omega_1\) sur \(\Omega\) : \(B\) est le milieu de \([\Omega\Omega_1]\), donc \(\overrightarrow{A\Omega}+\overrightarrow{A\Omega_1}=2\,\overrightarrow{AB}\). On en tire \(3\,\overrightarrow{A\Omega}=2\,\overrightarrow{AB}\), soit \(\overrightarrow{A\Omega}=\dfrac23\,\overrightarrow{AB}\).
\(s\circ h\) est l'homothétie de rapport \(-2\) dont le centre \(\Omega\) est le point du segment \([AB]\) situé aux deux tiers à partir de \(A\). Ce centre est bien aligné avec \(A\) et \(B\).
Croire que l'ordre ne compte pas. Pour une homothétie et une translation, ou pour deux homothéties de centres différents, \(g\circ f\) et \(f\circ g\) ont le même rapport mais pas le même centre (exemple 1). L'ordre n'est indifférent que pour deux translations ou deux homothéties de même centre.
Lire la composée dans le mauvais sens. Dans \(t\circ h\), on applique d'abord \(h\), puis \(t\).
Garder l'ancien centre. La composée d'une homothétie de centre \(O\) et d'une translation n'a pas pour centre \(O\) : le point \(O\) est déplacé par la translation, il n'est donc pas invariant.
Oublier le cas du produit égal à 1. Deux homothéties de rapports inverses l'un de l'autre et de centres différents donnent une translation, qui n'a aucun centre.
Rotation : définition, réciproque, composée
Une porte qui pivote sur ses gonds, l'aiguille d'une montre, une roue de vélo : dans tous ces mouvements, un point reste fixe et tout le reste tourne autour de lui du même angle. La rotation est la transformation du plan qui décrit ce mouvement. Elle sert à construire des figures (polygones réguliers, rosaces, pavages), et surtout à démontrer : dès que l'on reconnaît une rotation dans une figure, on obtient sans calcul des égalités de longueurs, des égalités d'angles, des droites perpendiculaires ou parallèles.
La rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\) envoie \(M\) (\(M\ne O\)) sur \(M'\) tel que \(OM'=OM\) et l'angle \(\widehat{MOM'}=\theta\) (dans le sens choisi). En Seconde, il s'agit uniquement d'une initiation : les propriétés ci-dessous s'observent par la manipulation et sont admises, sans démonstration exigible.
Conserve les distances (donc les longueurs et les aires), l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, les barycentres. Une rotation d'angle \(180°\) coïncide avec la symétrie centrale de même centre.
Figure interactive — Rotation de centre O
Le triangle vert tourne autour de O selon l'angle choisi ; les longueurs restent inchangées.
Pour définir une rotation, il faut trois informations : son centre \(O\), son angle \(\theta\) et le sens dans lequel on tourne.
- Le sens direct est le sens contraire à celui des aiguilles d'une montre. Le sens indirect est celui des aiguilles d'une montre.
- On note souvent \(r\) la rotation. L'image d'un point \(M\) se note \(M'=r(M)\).
- Pour \(M\ne O\), dire que \(M'=r(M)\) signifie deux choses à la fois : \(OM'=OM\) (le point \(M'\) est sur le cercle de centre \(O\) passant par \(M\)) et \(\widehat{MOM'}=\theta\) en tournant de \(M\) vers \(M'\) dans le sens indiqué.
Quand le sens n'est pas précisé, c'est le sens direct. Un « quart de tour » est une rotation d'angle \(90°\), un « demi-tour » une rotation d'angle \(180°\).
Soit \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\).
- Point invariant. Le centre est sa propre image : \(r(O)=O\). Si \(\theta\) n'est pas nul, c'est le seul point invariant : tout autre point \(M\) vérifie \(\widehat{MOM'}=\theta\ne 0°\), donc \(M'\ne M\).
- Angle nul. Si \(\theta=0°\), chaque point est sa propre image : la rotation est l'identité.
- Demi-tour. Si \(\theta=180°\), le point \(O\) est le milieu de \([MM']\) : la rotation est la symétrie centrale de centre \(O\).
- Retour au point de départ. Si \(M'=r(M)\), alors \(M\) est l'image de \(M'\) par la rotation de même centre \(O\), de même angle \(\theta\), mais de sens contraire. Cette rotation s'appelle la rotation réciproque de \(r\).
Soit \(r\) une rotation d'angle \(\theta\), et \(A\), \(B\) deux points distincts d'images \(A'=r(A)\) et \(B'=r(B)\). Alors :
- \(A'B'=AB\) : une rotation conserve les distances ;
- l'angle orienté du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) vers le vecteur \(\overrightarrow{A'B'}\) mesure \(\theta\) : le segment image a tourné du même angle que chaque point.
Conséquences à retenir. L'image d'une droite \((d)\) est une droite \((d')\), et l'angle entre \((d)\) et \((d')\) est \(\theta\). En particulier, par un quart de tour, une droite et son image sont perpendiculaires ; par un demi-tour, une droite et son image sont parallèles.
Remarque : cette propriété est vraie pour tous les points \(A\) et \(B\), même s'ils sont loin du centre. Il n'est pas nécessaire que le centre soit sur la figure.
Par une rotation \(r\) :
- l'image du segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de même longueur ;
- l'image de la droite \((AB)\) est la droite \((A'B')\) ; l'image de la demi-droite \([AB)\) est la demi-droite \([A'B')\) ;
- l'image du cercle de centre \(I\) et de rayon \(R\) est le cercle de centre \(I'=r(I)\) et de même rayon \(R\) ;
- l'image d'un triangle est un triangle de mêmes dimensions (mêmes côtés, mêmes angles, même aire).
Une rotation conserve donc : l'alignement (trois points alignés ont des images alignées), le milieu (l'image du milieu de \([AB]\) est le milieu de \([A'B']\)), le parallélisme, l'orthogonalité et les angles.
Pour construire l'image d'une figure, il suffit donc de construire l'image de quelques points : deux points pour une droite ou un segment, le centre pour un cercle, les sommets pour un polygone.
Pour construire l'image \(M'\) d'un point \(M\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\) :
- trace le segment \([OM]\) ;
- place le centre du rapporteur en \(O\) et trace la demi-droite \([Ox)\) telle que \(\widehat{MOx}=\theta\), en tournant dans le sens demandé (sens direct si rien n'est dit) ;
- ouvre le compas à la longueur \(OM\), pique en \(O\) et marque le point \(M'\) sur la demi-droite \([Ox)\) ;
- contrôle : \(OM'=OM\) et l'angle \(\widehat{MOM'}\) mesure bien \(\theta\).
Cas rapides : pour \(\theta=60°\), le triangle \(OMM'\) est équilatéral, deux arcs de compas de rayon \(OM\) suffisent. Pour \(\theta=90°\), l'équerre remplace le rapporteur. Pour \(\theta=180°\), \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à \(O\).
Pour démontrer une égalité de longueurs, une égalité d'angles, une perpendicularité ou un parallélisme à l'aide d'une rotation :
- repère dans la figure un point fixe \(O\) et deux longueurs égales issues de \(O\) (carré, triangle équilatéral, triangle isocèle, cercle) : c'est le signe d'une rotation de centre \(O\) ;
- précise la rotation : centre, angle, sens ;
- justifie l'image de chaque point utile en vérifiant les deux conditions de la définition (même distance au centre, bon angle dans le bon sens) ;
- conclus avec la propriété adaptée : conservation des distances pour des longueurs, propriété fondamentale pour l'angle entre deux droites, conservation du milieu, de l'alignement ou des angles.
La rédaction type est : « \(r\) est la rotation de centre … et d'angle … ; \(r(A)=A'\) car … ; \(r(B)=B'\) car … ; donc \(A'B'=AB\) et les droites \((AB)\) et \((A'B')\) forment un angle de … ».
\(ABCD\) est un carré de sens direct, de centre \(O\) et de côté \(6\) cm. On note \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([BC]\). Soit \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(90°\) (sens direct). Détermine les images de \(A\) et de \(B\), puis celle de \(I\). Déduis-en la nature du triangle \(OIJ\) et la longueur \(IJ\).
Solution : les diagonales d'un carré ont la même longueur, se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Donc \(OA=OB=OC\) et \(\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=90°\). Le carré étant de sens direct, on tourne de \(A\) vers \(B\), puis de \(B\) vers \(C\), dans le sens direct. Les deux conditions de la définition sont vérifiées : \(r(A)=B\) et \(r(B)=C\).
L'image du segment \([AB]\) est donc le segment \([BC]\). Une rotation conserve le milieu : l'image du milieu \(I\) de \([AB]\) est le milieu de \([BC]\), c'est-à-dire \(r(I)=J\).
Par définition de la rotation, \(OJ=OI\) et \(\widehat{IOJ}=90°\) : le triangle \(OIJ\) est rectangle et isocèle en \(O\). Comme \(O\) est le centre du carré, \(OI\) est la moitié du côté : \(OI=3\) cm. D'après le théorème de Pythagore, \(IJ^2=3^2+3^2=18\), donc \(IJ=3\sqrt{2}\) cm, soit environ \(4{,}24\) cm.
\(ABC\) est un triangle de sens direct. On construit, à l'extérieur de ce triangle, les triangles équilatéraux \(ABD\) et \(ACE\). Démontre que \(DC=BE\), puis donne l'angle formé par les droites \((DC)\) et \((BE)\).
Solution : on repère le point \(A\), d'où partent deux paires de longueurs égales : \(AD=AB\) et \(AC=AE\), car les triangles \(ABD\) et \(ACE\) sont équilatéraux. On considère donc la rotation \(r\) de centre \(A\) et d'angle \(60°\) (sens direct).
Image de \(D\) : \(AD=AB\) et \(\widehat{DAB}=60°\). Comme \(D\) est à l'extérieur du triangle \(ABC\), qui est de sens direct, on tourne de \(D\) vers \(B\) dans le sens direct. Donc \(r(D)=B\).
Image de \(C\) : \(AC=AE\) et \(\widehat{CAE}=60°\). Comme \(E\) est à l'extérieur du triangle, on tourne de \(C\) vers \(E\) dans le sens direct. Donc \(r(C)=E\).
L'image du segment \([DC]\) par \(r\) est donc le segment \([BE]\). Une rotation conserve les distances : \(DC=BE\). D'après la propriété fondamentale, l'angle orienté de \(\overrightarrow{DC}\) vers \(\overrightarrow{BE}\) est égal à l'angle de la rotation : les droites \((DC)\) et \((BE)\) forment un angle de \(60°\).
Remarque : aucune longueur n'a été calculée. Le résultat est vrai quelle que soit la forme du triangle \(ABC\).
Premier piège : le sens. Deux rotations de même centre et de même angle, mais de sens contraires, ne donnent pas la même image. Dans un carré \(ABCD\) de sens direct et de centre \(O\), le quart de tour direct de centre \(O\) envoie \(A\) sur \(B\), alors que le quart de tour indirect envoie \(A\) sur \(D\). Avant de construire ou de rédiger, écris toujours le sens.
Deuxième piège : l'alignement. Les points \(M\), \(O\) et \(M'\) ne sont alignés que pour un demi-tour. Pour tout autre angle, \(O\) n'est pas le milieu de \([MM']\) : il est seulement à égale distance de \(M\) et de \(M'\), donc sur la médiatrice de \([MM']\).
Troisième piège : la rédaction. Écrire « \(r(A)=B\) » sans justification ne suffit pas. Il faut citer les deux conditions : \(OA=OB\) et l'angle \(\widehat{AOB}\) égal à l'angle de la rotation, dans le bon sens.
Translation, symétrie centrale et symétrie orthogonale
Une translation, une symétrie centrale ou une symétrie orthogonale déplace une figure sans la déformer. Cette idée simple devient un outil de démonstration : pour prouver que deux segments ont la même longueur, que deux droites sont parallèles ou qu'un point est le milieu d'un segment, il suffit souvent de trouver la transformation qui envoie une partie de la figure sur l'autre. Dans un repère, ces transformations se traduisent aussi par des formules très simples sur les coordonnées.
- La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). Si \(\vec u(a\,;b)\) et \(M(x\,;y)\), alors \(M'(x+a\,;y+b)\).
- La symétrie centrale de centre \(\Omega\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\Omega\) soit le milieu de \([MM']\). Si \(\Omega(a\,;b)\), alors \(M'(2a-x\,;2b-y)\).
- La symétrie orthogonale d'axe \(\Delta\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\Delta\) soit la médiatrice de \([MM']\) (et \(M'=M\) si \(M\in\Delta\)). Axe \((Ox)\) : \(M'(x\,;-y)\) ; axe \((Oy)\) : \(M'(-x\,;y)\) ; droite d'équation \(y=x\) : \(M'(y\,;x)\).
Ces trois transformations conservent les distances, l'alignement, les milieux, le parallélisme, l'orthogonalité et les angles géométriques. En conséquence :
- l'image d'un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de même longueur ;
- l'image d'une droite est une droite ; pour une translation ou une symétrie centrale, cette droite image est parallèle à la droite de départ ;
- l'image d'un cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(C'\) et de même rayon \(r\) ;
- une droite qui passe par le centre d'une symétrie centrale est sa propre image (droite globalement invariante).
- Repère deux parties de la figure qui « se correspondent » (même forme, même taille).
- Cherche la transformation qui envoie l'une sur l'autre : un milieu commun suggère une symétrie centrale, deux vecteurs égaux une translation, une médiatrice une symétrie orthogonale.
- Justifie l'image de chaque point utile à partir de la définition (milieu, vecteur, médiatrice).
- Conclus avec une propriété de conservation : longueurs égales, droites parallèles, milieu conservé.
Dans un repère, remplace les étapes 2 et 3 par un calcul de coordonnées avec les formules de la définition.
Énoncé : Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\) et \(\vec u(-2\,;1)\). Détermine l'image de \(A\) et de \(B\) par la translation de vecteur \(\vec u\), l'image de \(A\) par la symétrie de centre \(\Omega(2\,;0)\), puis l'image de \(B\) par la symétrie d'axe \((Ox)\).
Solution : Par la translation : \(A'(1-2\,;2+1)=(-1\,;3)\) et \(B'(4-2\,;3+1)=(2\,;4)\). On contrôle : \(\overrightarrow{AB}(3\,;1)\) et \(\overrightarrow{A'B'}(3\,;1)\) sont égaux, donc \(A'B'=AB\) et \((A'B')\parallel(AB)\).
Par la symétrie de centre \(\Omega(2\,;0)\) : \(A_1(2\times2-1\,;2\times0-2)=(3\,;-2)\). Contrôle : le milieu de \([AA_1]\) est \(\left(\dfrac{1+3}2\,;\dfrac{2-2}2\right)=(2\,;0)=\Omega\).
Par la symétrie d'axe \((Ox)\) : \(B_2(4\,;-3)\).
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Voir les offresTranslation d’un triangle de vecteur \(\vec u(3\,;1)\)
Chaque point du triangle \(ABC\) est déplacé du même vecteur \(\vec u\) : les trois flèches sont parallèles, de même sens et de même longueur, et le triangle image \(A'B'C'\) est superposable au triangle de départ.
Une translation et une symétrie centrale envoient toute droite sur une droite parallèle. Ce n'est pas vrai pour une symétrie orthogonale : par la symétrie d'axe \((Ox)\), la droite d'équation \(y=x\) a pour image la droite d'équation \(y=-x\), qui lui est perpendiculaire. N'utilise donc jamais « droite image parallèle » avec une symétrie orthogonale.
Deuxième erreur fréquente : écrire \(M'(x-a\,;y-b)\) pour la translation de vecteur \(\vec u(a\,;b)\). On ajoute les coordonnées du vecteur, car \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\) donne \(x'-x=a\) et \(y'-y=b\).
Après un calcul d'image, vérifie la définition : pour une translation, recalcule \(\overrightarrow{MM'}\) ; pour une symétrie centrale, calcule le milieu de \([MM']\) ; pour une symétrie orthogonale, vérifie que le milieu de \([MM']\) est sur l'axe et que \((MM')\) est perpendiculaire à l'axe. Ce contrôle prend quelques secondes et évite la plupart des erreurs de signe.
La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). La symétrie centrale de centre \(O\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(O\) soit le milieu de \([MM']\). La symétrie orthogonale (ou axiale) d'axe \(d\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(d\) soit la médiatrice de \([MM']\).
Résumé
\(\overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}\) pour tous \(M\), \(N\) : translation si \(k=1\), homothétie de rapport \(k\) sinon.
On multiplie les rapports. Produit égal à 1 : translation. Sinon : homothétie de rapport ce produit.
Pour une translation, on construit l'image \(A'\) d'un point \(A\) : le vecteur est \(\overrightarrow{AA'}\).
Pour une homothétie, le centre est le point invariant : on écrit que son image est lui-même.
\(g\circ f\) signifie « \(f\) puis \(g\) ». Changer l'ordre change en général le centre.
\(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\). Multiplie distances par \(|k|\), aires par \(k^2\). Conserve alignement, parallélisme, barycentres.
Conserve toutes les distances et les aires. Propriétés admises, jamais démontrées à ce niveau — simple initiation.
Homothétie de rapport \(-1\) = symétrie centrale. Rotation de \(180°\) = symétrie centrale de même centre.
Étude systématique des composées de transformations — aucune capacité exigible à ce sujet.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
\(M'=h(M)\) signifie \(\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}\). Même côté de \(O\) si \(k\gt 0\), côtés opposés si \(k\lt 0\).
\(O\) est le seul point invariant si \(k\ne 1\). \(O\), \(M\) et \(M'\) sont alignés. Réciproque : même centre, rapport \(\dfrac{1}{k}\).
\(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) : \((A'B')\) est parallèle à \((AB)\) et \(A'B'=|k|\times AB\).
Droite, segment, cercle : image de même nature. Angles, milieux, parallélisme conservés. Longueurs multipliées par \(|k|\), aires par \(k^2\).
Nommer le centre et le rapport, justifier chaque image, conclure avec le parallélisme, les longueurs ou l'alignement.
\(M'=r(M)\) signifie \(OM'=OM\) et \(\widehat{MOM'}=\theta\) dans le sens indiqué. Sens direct : contraire aux aiguilles d'une montre.
Le centre \(O\) est invariant ; c'est le seul si \(\theta\ne 0°\). Angle \(180°\) : symétrie centrale de centre \(O\).
\(A'B'=AB\) et l'angle de \(\overrightarrow{AB}\) vers \(\overrightarrow{A'B'}\) vaut \(\theta\). Quart de tour : droite et image perpendiculaires.
Distances, alignement, milieux, parallélisme, orthogonalité, angles. Un cercle a pour image un cercle de même rayon.
Repérer un point fixe et deux longueurs égales, préciser centre, angle et sens, justifier chaque image, conclure avec la propriété adaptée.
Sujet type devoir
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O(0;0)\) et de rapport \(k=3\). Soit \(A(2;1)\) et \(B(-1;4)\).
Question 1. Déterminer les images \(A'\) et \(B'\) de \(A\) et \(B\) par \(h\).
\(A'(3\times2;3\times1)=(6;3)\). \(B'(3\times(-1);3\times4)=(-3;12)\).
Question 2. Comparer \(A'B'\) et \(AB\).
\(AB=\sqrt{(-1-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt2\). \(A'B'=\sqrt{(-3-6)^2+(12-3)^2}=\sqrt{81+81}=9\sqrt2\).
On a bien \(A'B' = |k|\times AB = 3\times3\sqrt2=9\sqrt2\), conforme à la propriété : l'homothétie multiplie les distances par \(|k|\).
Question 3. \((AB)\) et \((A'B')\) sont-elles parallèles ? Justifier sans calcul de coordonnées supplémentaire.
Oui : une propriété générale de l'homothétie est que l'image d'une droite est une droite parallèle. Comme \((A'B')\) est l'image de \((AB)\) par \(h\), elles sont nécessairement parallèles.