Seconde C · Leçon 7
Calculs dans ℝ
Ce que dit le programme officiel (18 points)
- Propriétés des opérations dans ℝ
- Définir la commutativité, l’associativité et la distributivité
- Utiliser ces propriétés dans les calculs dans ℝ
- Valeur absolue d’un réel, mesure algébrique, distance sur la droite réelle
- Définir la notion de valeur absolue
- Utiliser les propriétés de la valeur absolue
- Exprimer la distance de deux points de la droite réelle à l’aide de la valeur absolue
- Définir la mesure algébrique de deux points
- Établir le lien entre la mesure algébrique et la distance de deux points de la droite réelle
- Interpréter l’intervalle de centre a et de rayon r en terme de distance, en terme de valeur absolue
- Déterminer l’intersection et la réunion d’intervalles en liaison avec la valeur absolue
- Majorant, minorant, maximum, minimum d’un sous-ensemble de ℝ
- Donner la définition de majorant et de minorant d’un sous-ensemble de ℝ
- Donner des exemples de majorants et de minorants d’un sous-ensemble de ℝ
- Donner la définition du maximum et du minimum d’un sous-ensemble de ℝ
- Déterminer s’il existe le maximum, le minimum d’un sous-ensemble de ℝ
- Calcul approché : approximation décimale d’ordre n, encadrement d’un nombre réel
- Déterminer l’arrondi d’ordre n d’un réel
Source : Programme de mathématiques, classe de Seconde C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Ensembles de nombres et règles de calcul
Ce chapitre consolide les acquis du post-primaire. L'objectif n'est pas la virtuosité technique, mais la maîtrise sûre des mécanismes élémentaires, toujours reliée à la résolution de problèmes concrets — on évitera les exemples artificiels ou trop techniques.
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) : entiers naturels, entiers relatifs, décimaux (écriture décimale finie), rationnels (quotients d'entiers), réels. Chaque ensemble est inclus dans le suivant.
Priorité des opérations : parenthèses d'abord, puis multiplication/division, puis addition/soustraction. Associativité de l'addition et de la multiplication : l'ordre de regroupement ne change pas le résultat. Distributivité : \(a(b+c) = ab+ac\).
Puissances entières : \(a^n = a\times a\times\cdots\times a\) (\(n\) facteurs), \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\) pour \(a\ne0\). Racine carrée d'un réel positif \(x\) : l'unique réel positif \(\sqrt x\) tel que \((\sqrt x)^2=x\).
Facile. \(3+4\times2 = 3+8=11\) (pas \(14\) : la multiplication est prioritaire).
Fractions. \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\) (mise au même dénominateur).
Équation du premier degré. Résoudre \(3x-7=2x+5\) : on regroupe les termes en \(x\) d'un côté, \(3x-2x=5+7\), donc \(x=12\).
Intervalles, valeur absolue et distance
La valeur absolue permet de mesurer un écart entre deux nombres sans se soucier de l'ordre dans lequel ils sont pris : c'est l'outil naturel pour parler de distance sur la droite numérique.
Pour \(x \in \mathbb{R}\), la valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), vaut \(x\) si \(x \ge 0\) et \(-x\) si \(x < 0\). Pour deux réels \(a\) et \(b\), la distance entre \(a\) et \(b\) sur la droite numérique est \(|b - a|\).
Pour \(a \in \mathbb{R}\) et \(r > 0\), l'inégalité \(|x - a| < r\) est équivalente à \(a - r < x < a + r\), c'est-à-dire \(x \in\ ]a-r\,;\,a+r[\) : l'ensemble des réels situés à une distance de \(a\) strictement inférieure à \(r\) est exactement l'intervalle centré en \(a\) de rayon \(r\).
Valeur absolue d'un produit et d'un quotient : \(|xy| = |x|\cdot|y|\) et, pour \(y \ne 0\), \(\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}\).
Inégalité triangulaire : pour tous réels \(x\) et \(y\),
\[ |x + y| \le |x| + |y|. \]Facile. La distance entre \(-3\) et \(5\) est \(|5-(-3)| = |8| = 8\).
Intermédiaire. Traduire par un intervalle l'ensemble des solutions de \(|x - 2| < 3\). D'après la propriété, cela équivaut à \(2 - 3 < x < 2+3\), soit \(x \in\ ]-1\,;\,5[\).
Majoration simple. Sachant \(|x| \le 2\) et \(|y| \le 5\), majorer \(|3x - y|\). Par l'inégalité triangulaire (avec le facteur \(3\) devant \(x\)) : \(|3x - y| \le |3x| + |{-y}| = 3|x| + |y| \le 3\times 2 + 5 = 11\).
Figure interactive — Intervalle centré \(]a-r\,;\,a+r[\)
Déplacez \(x\) : le point devient vert si \(|x-a|<r\) (donc \(x\) dans l'intervalle), rouge sinon.
Majorants, minorants, maximum et minimum d'une partie de ℝ
Soit \(E\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\). Un réel \(M\) est un majorant de \(E\) si tout élément \(x\) de \(E\) vérifie \(x \le M\). Un réel \(m\) est un minorant de \(E\) si tout élément \(x\) de \(E\) vérifie \(x \ge m\).
Si un majorant de \(E\) appartient à \(E\), c'est le plus grand élément (ou maximum, noté \(\max E\)) de \(E\). De même pour le minorant appartenant à \(E\) : c'est le plus petit élément (minimum, \(\min E\)).
Au programme de Seconde, on ne cherche pas systématiquement tous les majorants ou minorants d'un ensemble : on sait vérifier qu'un réel donné en est un. La démarche : prendre un élément quelconque \(x\) de \(E\) et montrer l'inégalité voulue par le calcul.
Exemple. Soit \(E = \{x \in \mathbb{R}\ /\ 1 \le x \le 4\}\). Le réel \(10\) est-il un majorant de \(E\) ? Oui : tout \(x \in E\) vérifie \(x \le 4 \le 10\). Le réel \(3\) est-il un majorant de \(E\) ? Non : \(x = 3{,}5\) appartient à \(E\) et \(3{,}5 > 3\), donc \(3\) ne majore pas \(E\).
Ici, \(4\) est un majorant de \(E\) et \(4 \in E\) : c'est donc le maximum de \(E\), \(\max E = 4\). De même \(\min E = 1\).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Facile. \(E = \{2, 5, -1, 8\}\) : \(8\) est un majorant (et le maximum, car \(8 \in E\)) ; \(-1\) est un minorant (et le minimum).
Intermédiaire. \(E = \,]0\,;\,3[\) : \(3\) est un majorant de \(E\), mais \(3 \notin E\), donc \(E\) n'a pas de maximum. De même \(0\) est un minorant sans être le minimum.
Encadrements et valeurs approchées
En pratique, un résultat exact est rarement utile tel quel : on travaille avec une valeur approchée, à une précision donnée. Le programme se limite volontairement à des encadrements simples — pas de recherche systématique de tous les majorants et minorants possibles.
Une valeur approchée d'un réel \(x\) à \(10^{-n}\) près est un réel \(a\) tel que \(|x - a| \le 10^{-n}\). L'approximation décimale d'ordre \(n\) par défaut de \(x\) est le plus grand décimal à \(n\) chiffres après la virgule inférieur ou égal à \(x\) ; par excès, le plus petit supérieur ou égal à \(x\). L'arrondi d'ordre \(n\) est la valeur approchée décimale à \(n\) chiffres la plus proche de \(x\).
Le programme se limite à l'encadrement d'une somme, d'une différence, d'un produit et d'un quotient de deux réels strictement positifs.
Somme et différence. Si \(3{,}1 \le x \le 3{,}2\) et \(1{,}4 \le y \le 1{,}5\), alors \(4{,}5 \le x+y \le 4{,}7\) (on additionne les bornes de même sens) et \(1{,}6 \le x - y \le 1{,}8\) (on soustrait les bornes opposées : minorant de \(x\) moins majorant de \(y\), et inversement).
Produit. Si \(2 \le x \le 2{,}1\) et \(5 \le y \le 5{,}2\) (deux réels strictement positifs), alors \(10 \le xy \le 10{,}92\) (produit des bornes inférieures d'un côté, des bornes supérieures de l'autre).
Quotient. Avec les mêmes encadrements, \(\dfrac{2}{5{,}2} \le \dfrac{x}{y} \le \dfrac{2{,}1}{5}\), c'est-à-dire \(0{,}384\ldots \le \dfrac{x}{y} \le 0{,}42\) (on divise par les bornes en croisant : borne inférieure de \(x\) sur borne supérieure de \(y\), et inversement).
Facile. \(\pi \approx 3{,}14\) est une valeur approchée de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près par défaut ; \(3{,}15\) en est une par excès.
Intermédiaire. On donne \(1{,}41 \le \sqrt{2} \le 1{,}42\) et \(1{,}73 \le \sqrt{3} \le 1{,}74\). Encadrer \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) : \(3{,}14 \le \sqrt{2}+\sqrt{3} \le 3{,}16\).
Ordre de grandeur. Estimer \(\dfrac{4\,987 \times 0{,}0203}{9{,}8}\) sans calculatrice : on remplace par des valeurs proches simples, \(\dfrac{5\,000 \times 0{,}02}{10} = \dfrac{100}{10} = 10\). L'ordre de grandeur du résultat est \(10\).
Figure interactive — Encadrement d'une somme
Les deux intervalles bleus représentent \(x\) et \(y\) ; l'intervalle vert en dessous représente l'encadrement obtenu pour \(x + y\), largeur cumulée des deux.
Résumé
L'ordre se conserve par addition et par multiplication par un positif ; il s'inverse par multiplication par un négatif, par passage à l'inverse (positifs). Ne jamais multiplier une inégalité par un signe inconnu.
\(|b-a|\) = distance entre \(a\) et \(b\). \(|x-a|<r \iff x\in\,]a-r;a+r[\). Inégalité triangulaire : \(|x+y|\le|x|+|y|\).
On sait vérifier qu'un réel donné majore/minore un ensemble. Un majorant qui appartient à l'ensemble en est le maximum.
Somme : additionner les bornes de même sens. Différence : soustraire en croisant. Produit et quotient de réels strictement positifs uniquement.
Sujet type devoir
On donne les encadrements \(1{,}41 \le \sqrt{2} \le 1{,}43\) et \(2{,}23 \le \sqrt{5} \le 2{,}25\). Les questions suivantes sont progressives.
Question 1. Encadrer \(\sqrt{2}+\sqrt{5}\), puis \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\).
Somme : on additionne les bornes de même sens : \(1{,}41+2{,}23 \le \sqrt{2}+\sqrt{5} \le 1{,}43+2{,}25\), soit \(3{,}64 \le \sqrt{2}+\sqrt{5} \le 3{,}68\).
Différence : on soustrait en croisant les bornes (minorant de \(\sqrt5\) moins majorant de \(\sqrt2\), puis majorant de \(\sqrt5\) moins minorant de \(\sqrt2\)) : \(2{,}23 - 1{,}43 \le \sqrt5-\sqrt2 \le 2{,}25-1{,}41\), soit \(0{,}80 \le \sqrt5-\sqrt2 \le 0{,}84\).
Question 2. En déduire un encadrement de \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}\) à l'aide des mêmes données.
\(\sqrt2\) et \(\sqrt5\) sont strictement positifs, on peut donc encadrer leur produit en multipliant les bornes de même sens :
\[ 1{,}41 \times 2{,}23 \le \sqrt2\times\sqrt5 \le 1{,}43\times 2{,}25 \]soit \(3{,}1443 \le \sqrt{10} \le 3{,}2175\) (on a utilisé \(\sqrt2\times\sqrt5=\sqrt{10}\), résultat cohérent puisque \(\sqrt{10}\approx 3{,}162\)).
Question 3. Soit \(E = \left\{\dfrac{1}{n}\ /\ n \in \mathbb{N}^*\right\}\). Le réel \(1\) est-il un majorant de \(E\) ? Le réel \(0\) est-il un minorant de \(E\) ? \(E\) admet-il un maximum ?
Pour tout \(n \ge 1\), \(\dfrac1n \le 1\) (avec égalité pour \(n=1\)) : \(1\) est un majorant de \(E\), et comme \(1 \in E\) (pour \(n=1\)), c'est le maximum : \(\max E = 1\).
Pour tout \(n \ge 1\), \(\dfrac1n > 0\) : \(0\) est bien un minorant de \(E\). Mais \(0\) n'appartient jamais à \(E\) (aucun \(n\) ne donne \(\frac1n=0\)), donc \(E\) n'a pas de minimum.
Question 4. Sachant \(|x-3| \le 0{,}2\), majorer \(|x^2-9|\).
On factorise : \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), donc \(|x^2-9|=|x-3|\times|x+3|\).
De \(|x-3|\le 0{,}2\), on tire \(2{,}8 \le x \le 3{,}2\), donc \(5{,}8 \le x+3 \le 6{,}2\), soit \(|x+3|\le 6{,}2\).
Donc \(|x^2-9| = |x-3|\times|x+3| \le 0{,}2\times 6{,}2 = \mathbf{1{,}24}\).