Seconde C · Leçon 5
Angles orientés – trigonométrie
Ce que dit le programme officiel (18 points)
- Angles orientés : cercles orientés, cercle trigonométrique
- Arcs orientés
- Angle orienté de 2 demi-droites de même origine
- Angle orienté de 2 vecteurs
- Définir un cercle orienté
- Définir le cercle trigonométrique
- Définir un arc orienté
- Déterminer une mesure d’un arc orienté
- Définir l’angle orienté de 2 demi-droites de même origine
- Définir l’angle orienté de 2 vecteurs
- Déterminer une mesure d’un angle orienté de 2 vecteurs
- Déterminer la mesure principale d’un angle orienté de 2 vecteurs
- Lignes trigonométriques d’un angle orienté
- Lignes trigonométriques d’angles associés (angles opposés, angles complémentaires, angles supplémentaires…)
- Définir les lignes trigonométriques d’un angle orienté
- Retrouver le cosinus, le sinus et la tangente d’angles particuliers
- Utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer les lignes trigonométriques des angles associés
- Limite : l’angle orienté de 2 vecteurs est défini à partir de celui de 2 demi-droites de même origine
Source : Programme de mathématiques, classe de Seconde C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Cercle orienté, arcs orientés et angle orienté de deux demi-droites
Un angle géométrique dit de combien on tourne, mais pas dans quel sens. Or une aiguille, une roue ou une porte ne tournent pas de la même façon dans un sens et dans l'autre. Pour en tenir compte, on commence par choisir un sens de parcours sur les cercles : on obtient des arcs, puis des angles, munis d'un signe.
Sur un cercle, il y a deux sens de parcours. Orienter le cercle, c'est choisir l'un des deux comme sens positif. Par convention, le sens direct (ou positif) est le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre ; l'autre est le sens indirect (ou négatif).
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, orienté dans le sens direct, sur lequel on a choisi un point origine \(I\).
Le radian. Sur un cercle de rayon 1, un arc de longueur 1 intercepte un angle au centre de 1 radian. Le cercle entier a pour longueur \(2\pi\) : un tour complet mesure \(2\pi\) radians, un demi-tour \(\pi\) radians. D'où la correspondance \(180^\circ=\pi\ \text{rad}\), et le tableau :
| Degrés | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 180 | 360 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\frac{2\pi}{3}\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
Sur un cercle de rayon \(r\), un angle au centre de \(\alpha\) radians intercepte un arc de longueur \(r\alpha\).
Soit \(A\) et \(B\) deux points d'un cercle orienté de rayon 1. L'arc orienté d'origine \(A\) et d'extrémité \(B\) est le couple \((A\,;B)\) : on part de \(A\), on arrive en \(B\), et l'ordre compte.
Pour aller de \(A\) à \(B\) sur le cercle, on peut tourner dans le sens direct ou dans le sens indirect, et faire en plus autant de tours complets que l'on veut. À chaque trajet, on associe un nombre : la longueur parcourue, comptée positivement dans le sens direct et négativement dans le sens indirect. Chacun de ces nombres est une mesure, en radians, de l'arc orienté.
Propriété. Si \(\alpha\) est une mesure de l'arc orienté \((A\,;B)\), toutes ses mesures sont les nombres \(\alpha+2k\pi\), où \(k\) est un entier relatif. Un arc orienté a donc une infinité de mesures, qui diffèrent d'un nombre entier de tours.
Mesure principale. Parmi ces mesures, une seule appartient à l'intervalle \(]-\pi\,;\pi]\) : c'est la mesure principale. Elle correspond au plus court trajet de \(A\) à \(B\).
Figure — Deux trajets de A à B sur le cercle trigonométrique
Le point \(A\) est l'origine \(I\) du cercle et le point \(B\) est tel que l'arc direct de \(A\) à \(B\) mesure \(\frac{2\pi}{3}\). En or, ce trajet dans le sens direct : mesure \(\frac{2\pi}{3}\). En bleu, le trajet dans le sens indirect : mesure \(\frac{2\pi}{3}-2\pi=-\frac{4\pi}{3}\). Les deux nombres sont des mesures du même arc orienté ; la mesure principale est \(\frac{2\pi}{3}\).
Soit \(A\), \(B\), \(C\) trois points d'un cercle orienté de rayon 1. Les égalités suivantes sont vraies « à un nombre entier de tours près », c'est-à-dire à \(2k\pi\) près.
- Arc nul. L'arc orienté \((A\,;A)\) a pour mesure 0.
- Changement de sens. Si \(\alpha\) est une mesure de \((A\,;B)\), alors \(-\alpha\) est une mesure de \((B\,;A)\).
- Relation de Chasles. Si \(\alpha\) est une mesure de \((A\,;B)\) et \(\beta\) une mesure de \((B\,;C)\), alors \(\alpha+\beta\) est une mesure de \((A\,;C)\).
Sur le cercle trigonométrique, on repère un point \(M\) par une mesure \(x\) de l'arc orienté \((I\,;M)\). Si \(A\) et \(B\) sont repérés par \(a\) et \(b\), la relation de Chasles montre que \(b-a\) est une mesure de l'arc orienté \((A\,;B)\).
Soit \([Ox)\) et \([Oy)\) deux demi-droites de même origine \(O\). On trace le cercle de centre \(O\) et de rayon 1, orienté dans le sens direct ; il coupe \([Ox)\) en \(A\) et \([Oy)\) en \(B\).
L'angle orienté du couple de demi-droites \(([Ox)\,;[Oy))\) a pour mesures celles de l'arc orienté \((A\,;B)\). Il a donc une infinité de mesures, de la forme \(\alpha+2k\pi\), et une seule mesure principale, dans \(]-\pi\,;\pi]\).
Lien avec l'angle géométrique. La valeur absolue de la mesure principale est la mesure, en radians, de l'angle géométrique \(\widehat{xOy}\). Le signe indique le sens dans lequel on tourne pour amener \([Ox)\) sur \([Oy)\) par le plus court chemin : positif dans le sens direct, négatif dans le sens indirect.
L'ordre compte. Les angles orientés \(([Ox)\,;[Oy))\) et \(([Oy)\,;[Ox))\) ont des mesures opposées.
Vers les vecteurs. L'angle orienté de deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\) est celui des demi-droites \([Ox)\) et \([Oy)\) d'origine \(O\) dirigées par \(\vec u\) et par \(\vec v\).
On connaît une mesure \(\alpha\) d'un arc ou d'un angle orienté et l'on cherche celle qui est dans \(]-\pi\,;\pi]\).
1. Écrire \(\alpha\) sous la forme d'une fraction de \(\pi\), par exemple \(\dfrac{17\pi}{4}\).
2. Retirer (si \(\alpha\) est trop grand) ou ajouter (si \(\alpha\) est trop petit) des multiples de \(2\pi\), écrits avec le même dénominateur : ici \(2\pi=\dfrac{8\pi}{4}\).
3. S'arrêter dès que le résultat est dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(\dfrac{17\pi}{4}-2\times\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}\).
Contrôle. La différence entre la mesure de départ et la mesure principale doit être un multiple entier de \(2\pi\).
Énoncé. \(ABCDEF\) est un hexagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique, les sommets étant nommés dans le sens direct, avec \(A=I\). Donner la mesure principale des arcs orientés \((A\,;B)\), \((A\,;C)\), \((A\,;E)\), \((C\,;A)\) et \((E\,;B)\).
Solution : Les six sommets partagent le cercle en six arcs égaux, de longueur \(\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}\). Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) sont donc repérés par \(0\), \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(\pi\), \(\dfrac{4\pi}{3}\), \(\dfrac{5\pi}{3}\).
\((A\,;B)\) : \(\dfrac{\pi}{3}\). \((A\,;C)\) : \(\dfrac{2\pi}{3}\). \((A\,;E)\) : une mesure est \(\dfrac{4\pi}{3}\), qui dépasse \(\pi\) ; la mesure principale est \(\dfrac{4\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{2\pi}{3}\) : il est plus court d'aller de \(A\) à \(E\) dans le sens indirect.
\((C\,;A)\) : c'est l'opposé de \((A\,;C)\), soit \(-\dfrac{2\pi}{3}\). \((E\,;B)\) : une mesure est \(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{4\pi}{3}=-\pi\), qui n'est pas dans \(]-\pi\,;\pi]\) ; la mesure principale est \(-\pi+2\pi=\pi\). Les points \(E\) et \(B\) sont diamétralement opposés.
Énoncé. a) Donner la mesure principale des angles orientés dont une mesure est \(\dfrac{17\pi}{4}\), \(-\dfrac{11\pi}{3}\), \(\dfrac{7\pi}{6}\) et \(-\dfrac{25\pi}{6}\). b) Convertir \(150^\circ\) en radians. c) Sur un cercle de rayon 3 cm, quelle est la longueur d'un arc intercepté par un angle au centre de \(\dfrac{2\pi}{3}\) radians ?
Solution : a) \(\dfrac{17\pi}{4}-4\pi=\dfrac{\pi}{4}\). \(-\dfrac{11\pi}{3}+4\pi=\dfrac{\pi}{3}\). \(\dfrac{7\pi}{6}\) dépasse \(\pi\) : \(\dfrac{7\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{6}\). \(-\dfrac{25\pi}{6}+4\pi=-\dfrac{\pi}{6}\).
b) \(150^\circ=150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\) radians.
c) La longueur est \(r\alpha=3\times\dfrac{2\pi}{3}=2\pi\approx 6{,}28\) cm.
Énoncé. a) \(ABC\) est un triangle équilatéral dont les sommets sont nommés dans le sens direct. Donner la mesure principale des angles orientés \(([AB)\,;[AC))\), \(([AC)\,;[AB))\) et \(([BA)\,;[BC))\). b) \(ABCD\) est un carré de centre \(O\), nommé dans le sens direct. Donner la mesure principale de \(([OA)\,;[OB))\), \(([OB)\,;[OA))\), \(([AB)\,;[AC))\) et \(([AD)\,;[AB))\).
Solution : a) Les angles géométriques du triangle mesurent \(\dfrac{\pi}{3}\). Pour amener \([AB)\) sur \([AC)\), on tourne dans le sens direct : \(([AB)\,;[AC))\) mesure \(\dfrac{\pi}{3}\), et \(([AC)\,;[AB))\) mesure \(-\dfrac{\pi}{3}\). En \(B\), pour amener \([BA)\) sur \([BC)\), on tourne dans le sens indirect : \(([BA)\,;[BC))\) mesure \(-\dfrac{\pi}{3}\).
b) Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires et l'on passe de \(A\) à \(B\) dans le sens direct : \(([OA)\,;[OB))\) mesure \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(([OB)\,;[OA))\) mesure \(-\dfrac{\pi}{2}\). La diagonale \([AC)\) partage l'angle droit en \(A\) en deux angles de \(\dfrac{\pi}{4}\), et l'on tourne dans le sens direct de \([AB)\) vers \([AC)\) : \(([AB)\,;[AC))\) mesure \(\dfrac{\pi}{4}\). Enfin, de \([AD)\) vers \([AB)\), on tourne dans le sens indirect : la mesure est \(-\dfrac{\pi}{2}\).
Une mesure n'est pas « la » mesure. Un arc ou un angle orienté a une infinité de mesures : \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{17\pi}{4}\) désignent le même angle orienté. Deux mesures du même angle diffèrent toujours d'un multiple entier de \(2\pi\), jamais de \(\pi\).
L'ordre des demi-droites. Échanger les deux demi-droites change le signe : \(([AB)\,;[AC))\) et \(([AC)\,;[AB))\) sont opposés, alors que l'angle géométrique \(\widehat{BAC}\) est le même.
Les bornes de l'intervalle. La mesure principale est dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(\pi\) est accepté, \(-\pi\) ne l'est pas. Un demi-tour a pour mesure principale \(\pi\).
Cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables
Sur le cercle trigonométrique (centre \(O\), rayon \(1\)), à tout réel \(x\) on associe le point \(M\) obtenu en parcourant une longueur d'arc \(x\) à partir du point \((1;0)\) (sens direct si \(x>0\)). Le cosinus de \(x\) est l'abscisse de \(M\), le sinus de \(x\) est son ordonnée.
Pour les angles remarquables (en radians) :
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \pi/6 & \pi/4 & \pi/3 & \pi/2 \\ \hline \cos x & 1 & \sqrt3/2 & \sqrt2/2 & 1/2 & 0 \\ \sin x & 0 & 1/2 & \sqrt2/2 & \sqrt3/2 & 1 \end{array} \]À partir du cercle trigonométrique, on retrouve directement :
\[ \cos(-x)=\cos x,\quad \sin(-x)=-\sin x,\quad \cos(\pi-x)=-\cos x,\quad \sin(\pi-x)=\sin x, \] \[ \cos(\pi+x)=-\cos x,\quad \sin(\pi+x)=-\sin x,\quad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\quad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure interactive — Cercle trigonométrique
Déplacez le curseur pour voir le point M se déplacer sur le cercle ; ses coordonnées sont \((\cos x\,;\,\sin x)\).
Bases orthonormées directes et angle orienté de deux vecteurs
Le cercle de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(r\) a pour équation, en repère orthonormé :
\[ (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2. \]Pour trouver l'intersection d'une droite et d'un cercle, on substitue l'équation (ou la représentation paramétrique) de la droite dans celle du cercle : on obtient une équation du second degré en \(x\) (ou en \(t\)), dont le discriminant indique 0, 1 (tangente) ou 2 points d'intersection.
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Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFonctions cosinus et sinus
Les fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont définies sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([-1;1]\), et périodiques de période \(2\pi\). La fonction cosinus est paire ; la fonction sinus est impaire.
Sur \([0;\pi]\), le cosinus est décroissant (de \(1\) à \(-1\)). Sur \([-\pi/2;\pi/2]\), le sinus est croissant (de \(-1\) à \(1\)).
Résumé
Sens inverse des aiguilles d'une montre : c'est le sens positif. Le cercle trigonométrique a pour rayon 1.
\(180^\circ=\pi\) radians ; sur un cercle de rayon \(r\), un angle de \(\alpha\) radians intercepte un arc de longueur \(r\alpha\).
Si \(\alpha\) est une mesure, toutes les mesures sont \(\alpha+2k\pi\) avec \(k\) entier relatif.
La seule mesure située dans \(]-\pi\,;\pi]\) ; sa valeur absolue est l'angle géométrique.
Changer l'ordre change le signe ; relation de Chasles : de \(A\) à \(B\) puis de \(B\) à \(C\), les mesures s'ajoutent.
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