Seconde C · Leçon 8
Équations et inéquations dans ℝ, systèmes linéaires et de contraintes
Ce que dit le programme officiel (12 points)
- Équations et inéquations du premier et du second degré
- Résoudre des équations et inéquations du premier degré comportant un paramètre
- Utiliser le discriminant pour résoudre une équation ou une inéquation du second degré
- Limite : dans le cadre des équations du second degré, on ne parle pas de somme et de produit de racines
- Limite : les équations et inéquations du second degré avec paramètre sont hors programme
- Systèmes d’équations affines dans ℝ², dans ℝ³
- Utiliser le déterminant pour résoudre les systèmes d’équations affines de ℝ²
- Résoudre des systèmes d’équations affines de ℝ³
- Limite : le déterminant d’ordre 3 n’est pas au programme
- Systèmes d’inéquations affines dans ℝ²
- Utiliser le régionnement du plan pour résoudre un système d’inéquations affines de ℝ²
- Limite : on n’envisage que des régions de frontières rectilignes
Source : Programme de mathématiques, classe de Seconde C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Équations et inéquations du premier degré
L'ordre est conservé par addition d'un même réel, et par multiplication par un réel strictement positif. Il est inversé par multiplication par un réel strictement négatif. Toute virtuosité technique au-delà de ces règles élémentaires est exclue du programme.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Résoudre \(-2x+5 \le 11\).
\(-2x \le 6\), puis on divise par \(-2\) (négatif : l'inégalité s'inverse) : \(x \ge -3\). Solution : \(x \in [-3\,;+\infty[\).
Facile. \(3x-1 > 8 \iff 3x > 9 \iff x > 3\), soit \(x \in\ ]3\,;+\infty[\).
Intervalle. \(x \in [-2\,;5[\) signifie \(-2 \le x < 5\) : borne de gauche incluse, borne de droite exclue.
Figure interactive — Fonction de proportionnalité
La droite \(y=ax\) passe toujours par l'origine, quel que soit \(a\).
Équation du second degré : discriminant et racines
Pour \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne 0\)), on pose \(\Delta = b^2-4ac\).
Si \(\Delta > 0\) : deux solutions distinctes,
\[ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. \]Si \(\Delta = 0\) : une unique solution (racine double), \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\).
Si \(\Delta < 0\) : aucune solution réelle.
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Voir les offresSigne du trinôme et inéquations du second degré
Si \(\Delta > 0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe de \(-a\) entre les racines.
Si \(\Delta = 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) partout, sauf en \(x_0\) où il s'annule.
Si \(\Delta < 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) pour tout réel \(x\) (jamais nul).
Règle mnémotechnique du Bac : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».
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Voir les offresFigure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)
Observez comment le signe du discriminant détermine le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses.
Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues
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Voir les offresUn système de deux équations linéaires à deux inconnues \(x, y\) s'écrit :
\[ \begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases} \]Résoudre le système, c'est trouver tous les couples \((x,y)\) qui vérifient simultanément les deux équations.
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Voir les offresSystèmes linéaires à trois inconnues : pivot de Gauss
Un système linéaire à trois inconnues permet de chercher en même temps trois nombres liés par plusieurs conditions. Ce type de problème apparaît dès qu’on veut déterminer trois quantités inconnues à partir de trois relations. La méthode du pivot de Gauss est une méthode organisée d’élimination : elle transforme progressivement le système pour le rendre plus simple à résoudre, sans changer ses solutions.
Un système linéaire à trois inconnues est un ensemble de trois équations du premier degré portant sur trois inconnues, souvent notées \(x\), \(y\) et \(z\). Il s’écrit en général sous la forme :
\[\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}\]
où \(a_1,b_1,c_1,d_1,a_2,b_2,c_2,d_2,a_3,b_3,c_3,d_3\) sont des réels. Dire qu’il est linéaire signifie que les inconnues n’apparaissent qu’à la puissance 1, sans produit du type \(xy\), sans carré comme \(x^2\), et sans dénominateur contenant une inconnue.
Une solution du système est un triplet \((x;y;z)\) qui vérifie simultanément les trois équations. Il ne suffit donc pas de vérifier une seule ligne : les trois doivent être vraies avec les mêmes valeurs de \(x\), \(y\) et \(z\).
Deux systèmes sont dits équivalents lorsqu’ils ont exactement les mêmes solutions. Le pivot de Gauss consiste justement à remplacer un système par d’autres systèmes équivalents, plus faciles à lire et à résoudre.
On appelle enfin forme triangulaire une écriture du type :
\[\begin{cases}ax+by+cz=d\\a'y+b'z=d'\\a''z=d''\end{cases}\]
Cette forme est pratique, car on peut calculer d’abord \(z\), puis \(y\), puis \(x\). Le but du pivot de Gauss est de se rapprocher de cette situation en supprimant peu à peu certaines inconnues dans certaines lignes.
Le pivot de Gauss repose sur des transformations qui conservent les solutions du système.
- On peut échanger deux équations. Cela ne change pas les solutions, car on ne fait que changer l’ordre des informations.
- On peut multiplier une équation par un réel non nul. On obtient alors une équation équivalente : par exemple, \(x+y=3\) et \(2x+2y=6\) expriment la même condition.
- On peut ajouter à une équation un multiple d’une autre équation. C’est l’opération essentielle d’élimination. Par exemple, si l’on remplace la deuxième ligne par « deuxième ligne moins deux fois la première ligne », on fabrique une nouvelle équation vraie pour exactement les mêmes solutions.
L’idée de la méthode est de choisir une ligne contenant une inconnue avec un coefficient non nul : ce coefficient s’appelle un pivot. Ensuite, on combine les autres lignes avec cette ligne pour faire disparaître cette inconnue ailleurs. On recommence alors avec les lignes restantes.
Après réduction, trois situations peuvent se présenter :
- on obtient une dernière ligne du type \(az=b\) avec \(a\neq 0\) : on peut calculer \(z\), puis remonter ; le système a en général une solution unique ;
- on obtient une ligne du type \(0=k\) avec \(k\neq 0\) : c’est impossible, donc le système n’a aucune solution ;
- on obtient une ligne du type \(0=0\) : cette ligne n’apporte pas d’information nouvelle ; il peut alors rester une inconnue libre, et le système peut avoir une infinité de solutions.
À ce niveau, il faut surtout bien comprendre le sens de ces trois cas et savoir les reconnaître dans les calculs.
Pour résoudre un système linéaire à trois inconnues par pivot de Gauss :
- Écris proprement les trois lignes en alignant les inconnues \(x\), \(y\), \(z\) et les termes constants. Cette disposition limite les erreurs de signe.
- Choisis un premier pivot, si possible simple, dans la première colonne : un coefficient de \(x\) égal à \(1\) ou \(-1\) est souvent pratique. Si nécessaire, échange deux lignes.
- Élimine \(x\) dans les deux autres lignes en faisant des combinaisons du type \(L_2\leftarrow L_2-kL_1\) et \(L_3\leftarrow L_3-k'L_1\). Tu obtiens alors un système où les deux dernières lignes ne contiennent plus \(x\).
- Choisis ensuite un deuxième pivot dans la deuxième ligne, cette fois dans la colonne de \(y\). Si ce coefficient est nul et qu’un autre convient mieux, échange les deux dernières lignes.
- Élimine \(y\) dans la troisième ligne. Tu arrives alors à une ligne très simple portant seulement sur \(z\), ou bien à une ligne du type \(0=0\) ou \(0=k\).
- Interprète la dernière ligne : si elle donne \(z\), continue ; si elle donne une impossibilité, il n’y a pas de solution ; si elle donne \(0=0\), il faudra souvent introduire un paramètre pour décrire toutes les solutions.
- Remonte ensuite les calculs : trouve d’abord \(z\), puis remplace sa valeur dans la ligne précédente pour obtenir \(y\), puis enfin dans la première ligne pour obtenir \(x\). Cette étape s’appelle la remontée.
- Vérifie le résultat en remplaçant les valeurs trouvées dans les équations de départ. Une vérification rapide permet souvent de repérer une erreur de signe.
Le mot important est éliminer : à chaque étape, tu cherches à faire disparaître une inconnue dans certaines lignes pour simplifier progressivement le système.
Énoncé : Résous par pivot de Gauss le système
\[\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}\]
Solution : On choisit la première ligne comme ligne de pivot, car le coefficient de \(x\) vaut \(1\).
On note les lignes \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\).
On élimine \(x\) dans \(L_2\) et \(L_3\).
\(L_2\leftarrow L_2-2L_1\) :
\[(2x-y+z)-2(x+y+z)=3-2\times 6\]
\[2x-y+z-2x-2y-2z=3-12\]
\[-3y-z=-9\]
\(L_3\leftarrow L_3-L_1\) :
\[(x+2y-z)-(x+y+z)=2-6\]
\[x+2y-z-x-y-z=-4\]
\[y-2z=-4\]
Le système devient donc :
\[\begin{cases}x+y+z=6\\-3y-z=-9\\y-2z=-4\end{cases}\]
Pour avoir un pivot plus simple sur \(y\), on échange les deux dernières lignes :
\[\begin{cases}x+y+z=6\\y-2z=-4\\-3y-z=-9\end{cases}\]
On élimine maintenant \(y\) dans la troisième ligne :
\(L_3\leftarrow L_3+3L_2\)
\[(-3y-z)+3(y-2z)=-9+3\times(-4)\]
\[-3y-z+3y-6z=-9-12\]
\[-7z=-21\]
Donc \(z=3\).
On remonte dans la deuxième ligne :
\[y-2\times 3=-4\]
\[y-6=-4\]
\[y=2\]
Puis dans la première ligne :
\[x+2+3=6\]
\[x+5=6\]
\[x=1\]
La solution du système est donc :
\[(x;y;z)=(1;2;3)\]
Une vérification rapide confirme : \(1+2+3=6\), \(2\times 1-2+3=3\), \(1+2\times 2-3=2\).
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Voir les offresUne erreur fréquente consiste à mal interpréter les lignes obtenues à la fin des calculs.
- Erreur 1 : croire que \(0=0\) signifie « pas de solution ». C’est faux. La ligne \(0=0\) est toujours vraie ; elle indique seulement qu’une équation était répétée ou déduite des autres. Par exemple, dans le troisième exemple, on obtient \(0=0\), et pourtant il y a une infinité de solutions.
- Erreur 2 : oublier de transformer aussi le second membre. Si tu remplaces \(L_2\) par \(L_2-2L_1\), tu dois faire cette opération sur toute la ligne, y compris sur le nombre à droite du signe égal. Sinon, le nouveau système n’est plus équivalent à l’ancien.
- Erreur 3 : conclure trop vite qu’il y a une solution unique sans regarder la dernière ligne. Si la dernière ligne donne \(0=5\), alors le système n’a aucune solution, même si les premières étapes semblaient correctes.
Contre-exemple utile : les systèmes
\[\begin{cases}x+y+z=2\\2x+2y+2z=4\\x-y+z=0\end{cases}\quad \text{et} \quad \begin{cases}x+y+z=2\\2x+2y+2z=5\\x-y+z=0\end{cases}\]
se ressemblent beaucoup. Dans le premier, la deuxième ligne est le double de la première, donc on obtient une ligne \(0=0\). Dans le second, on obtient \(0=1\), donc aucune solution. Il faut donc lire très attentivement la dernière ligne obtenue.
Systèmes 2×2 : déterminant et interprétation graphique
Chaque équation \(ax+by=e\) (avec \(b\ne0\)) représente une droite. Résoudre le système revient à trouver le(s) point(s) d'intersection des deux droites.
Trois cas : les droites sont sécantes (une unique solution) ; parallèles distinctes (aucune solution) ; ou confondues (une infinité de solutions).
On appelle déterminant du système \(\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}\) le nombre \(D=ad-bc\).
Si \(D \ne 0\), le système admet une unique solution (droites sécantes). Si \(D=0\), les droites sont parallèles : le système n'a aucune solution, ou une infinité si les deux équations sont proportionnelles.
Les formules explicites de Cramer ne sont pas au programme : le déterminant sert uniquement à établir l'existence et l'unicité de la solution avant de résoudre par substitution ou combinaison.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
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Voir les offresFigure interactive — Système 2×2
\(\begin{cases}x+2y=7\\3x-y=7\end{cases}\) : les deux droites se coupent en un unique point, la solution du système.
Inéquations et systèmes d'inéquations linéaires à deux inconnues
Une inéquation \(ax+by \le e\) (avec \(b>0\)) partage le plan en deux demi-plans, séparés par la droite \(ax+by=e\) : les points qui vérifient l'inéquation forment l'un des deux demi-plans (frontière incluse).
Résoudre un système d'inéquations, c'est trouver l'intersection de tous les demi-plans correspondants — une région du plan.
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