Seconde C · Leçon 4

Produit scalaire

Ce que dit le programme officiel (15 points)

Notion de produit scalaire : définitions
Définir le produit scalaire
Utiliser les définitions du produit scalaire
Propriétés : symétrie, produit scalaire nul, carré scalaire, bilinéarité
Retrouver ces propriétés du produit scalaire et les utiliser dans des calculs simples
Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
Retrouver l’expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
Applications du produit scalaire : relations métriques dans un triangle (relations métriques dans un triangle rectangle, théorème d’Al Kashi, théorème de la médiane)
Reconnaître et utiliser les relations métriques dans un triangle
Équations normales d’une droite
Équations cartésiennes d’un cercle
Équations de la tangente en un point d’un cercle
Déterminer une équation normale d’une droite, une équation cartésienne d’un cercle, une équation de la tangente en un point d’un cercle
Limite : les deux définitions retenues sont celle par le projeté orthogonal (C’ projeté orthogonal de C sur la droite (AB)) et celle par les normes et le cosinus de l’angle formé par les deux vecteurs
Limite : relations métriques étudiées dans un triangle ABC rectangle en A, avec H pied de la hauteur issue de A : BA² = BH × BC et AH² = – HB × HC ; dans un triangle quelconque : théorème d’Al Kashi et théorème de la médiane (A’ milieu de [BC])

Source : Programme de mathématiques, classe de Seconde C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)

Produit scalaire dans le plan : définitions et propriétés

Définition — Produit scalaire (par projection)

Soit \(\vec u=\overrightarrow{OA}\) et \(\vec v=\overrightarrow{OB}\), et \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Le produit scalaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) est le réel :

\[ \vec u \cdot \vec v = \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}. \]

(produit des mesures algébriques si \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OH}\) sont colinéaires — positif si de même sens, négatif sinon).

Formule avec l'angle, caractérisation de l'orthogonalité \[ \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\theta, \qquad \theta = (\widehat{\vec u,\vec v}). \]

En particulier, \(\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \vec u \perp \vec v\) (ou l'un des deux vecteurs est nul) : c'est la caractérisation de l'orthogonalité la plus utilisée en pratique.

Propriétés — Symétrie, linéarité

\(\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u\) (symétrie). Pour tous réels \(a,b\) : \((a\vec u)\cdot\vec v = a(\vec u\cdot\vec v)\) et \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\) (linéarité). Enfin \(\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2\) (noté aussi \(\vec u^{\,2}\)).

Produit scalaire en repère orthonormé

Formules analytiques

Dans un repère orthonormé, si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\) :

\[ \vec u \cdot \vec v = xx' + yy', \qquad \|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}. \]

Pour deux points \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\), la distance \(AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).

Exemples gradués

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Relations métriques et résolution de triangles

Relation métrique dans un triangle (loi des cosinus)

Dans un triangle \(ABC\), en notant \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) :

\[ a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\widehat A. \]

Retrouvée en développant \(BC^2=\overrightarrow{BC}\,^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2\) via la linéarité du produit scalaire. Cas particulier : si \(\widehat A=90°\), on retrouve exactement le théorème de Pythagore.

Méthode — Déterminer un ensemble de points M

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Figure interactive — Cercle de diamètre [AB]

Déplacez M sur le cercle : l'angle en M reste toujours droit — vérification visuelle de \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\).

Droites : représentation paramétrique, équation cartésienne, parallélisme, orthogonalité

Définitions — Vecteur directeur, représentation paramétrique

Un vecteur directeur d'une droite \(d\) est un vecteur non nul colinéaire à \(d\). Si \(A(x_A;y_A)\in d\) et \(\vec u(a;b)\) est un vecteur directeur, un point \(M(x;y)\) appartient à \(d\) si et seulement s'il existe \(t\in\mathbb{R}\) tel que :

\[ \begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \end{cases} \]

C'est une représentation paramétrique de \(d\).

Équation cartésienne, coefficient directeur

En éliminant \(t\), on obtient une équation cartésienne de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\), avec \(\vec u(-\beta;\alpha)\) vecteur directeur. Si \(\beta\ne0\), on peut écrire \(y=mx+p\) avec \(m=-\alpha/\beta\) le coefficient directeur : \(\vec u(1;m)\) est alors un vecteur directeur.

Méthode — Parallélisme et orthogonalité

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Équation cartésienne d'un cercle

Le cercle de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(r\) a pour équation, en repère orthonormé :

\[ (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2. \]

Pour trouver l'intersection d'une droite et d'un cercle, on substitue l'équation (ou la représentation paramétrique) de la droite dans celle du cercle : on obtient une équation du second degré en \(x\) (ou en \(t\)), dont le discriminant indique 0, 1 (tangente) ou 2 points d'intersection.

Exemple

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Angles orientés — hors exigibilité

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