Seconde C · Leçon 9
Fonctions numériques d’une variable réelle
Ce que dit le programme officiel (20 points)
- Étude de fonctions usuelles
- Fonctions affines par intervalles, valeur absolue, etc.
- Fonctions : x ↦ x² ; x ↦ √x ; x ↦ 1/x ; x ↦ x³
- Fonctions polynômes du second degré : zéros, factorisation, forme canonique et signe
- Fonctions rationnelles : zéros, signe
- Définir une fonction affine par intervalles
- Représenter point par point les fonctions usuelles
- Exploiter les représentations graphiques de ces fonctions pour dégager certaines de leurs propriétés (domaine de définition, sens de variation, parité, extremums)
- Déterminer la forme canonique, la factorisation, le signe d’une fonction polynôme du second degré
- Déterminer le domaine de définition, les zéros et le signe d’une fonction homographique
- Limite : pour les fonctions rationnelles, on se limite au cas des fonctions homographiques
- Propriétés des fonctions numériques : parité
- Maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle
- Fonctions croissantes, décroissantes, constantes sur un intervalle
- Opérations sur les fonctions
- Étudier la parité d’une fonction
- Déterminer si possible le maximum, le minimum d’une fonction sur un intervalle
- Déterminer le sens de variation d’une fonction sur un intervalle
- Déterminer la somme, la différence, le produit, le quotient et la composée de deux fonctions
- Limite : pour la parité, les extrema et le sens de variation, on se limite aux fonctions usuelles, aux fonctions polynômes du second degré et aux fonctions homographiques
Source : Programme de mathématiques, classe de Seconde C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Fonctions de référence : carré, cube, racine carrée, inverse
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Voir les offresCourbe : une droite. Si \(a>0\), la fonction est croissante sur \(\mathbb{R}\) ; si \(a<0\), décroissante ; si \(a=0\), constante. Ni paire ni impaire en général (impaire si \(b=0\) : \(x\mapsto ax\)).
Courbe : une parabole de sommet \(O\). Décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\), minimum \(0\) atteint en \(x=0\). Fonction paire.
Croissante sur \(\mathbb{R}\) tout entier. Fonction impaire (symétrie par rapport à l'origine). Quand \(x\) devient très grand, \(x^3\) grandit beaucoup plus vite que \(x^2\) ; quand \(x\) devient très négatif, \(x^3\) devient très négatif aussi (contrairement à \(x^2\), toujours positif).
Définie sur \([0;+\infty[\) uniquement. Croissante sur tout son ensemble de définition. Ni paire ni impaire (son ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à \(0\)).
Définie sur \(\mathbb{R}^*\) (tout réel sauf \(0\)). Décroissante sur \(]-\infty;0[\) et décroissante sur \(]0;+\infty[\) (attention : ce sont deux intervalles séparés, on ne peut pas dire que la fonction est « décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) » globalement, puisque par exemple \(f(-1)=-1 < f(1)=1\) alors que \(-1<1\)). Fonction impaire. Quand \(x\) s'approche de \(0\) par valeurs positives, \(1/x\) devient très grand ; quand \(x\) devient très grand, \(1/x\) devient très petit et proche de \(0\).
Figure interactive — Comparer les fonctions de référence
Cochez ou décochez pour comparer l'allure des courbes.
Intervalles, valeur absolue et distance
La valeur absolue permet de mesurer un écart entre deux nombres sans se soucier de l'ordre dans lequel ils sont pris : c'est l'outil naturel pour parler de distance sur la droite numérique.
Pour \(x \in \mathbb{R}\), la valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), vaut \(x\) si \(x \ge 0\) et \(-x\) si \(x < 0\). Pour deux réels \(a\) et \(b\), la distance entre \(a\) et \(b\) sur la droite numérique est \(|b - a|\).
Pour \(a \in \mathbb{R}\) et \(r > 0\), l'inégalité \(|x - a| < r\) est équivalente à \(a - r < x < a + r\), c'est-à-dire \(x \in\ ]a-r\,;\,a+r[\) : l'ensemble des réels situés à une distance de \(a\) strictement inférieure à \(r\) est exactement l'intervalle centré en \(a\) de rayon \(r\).
Valeur absolue d'un produit et d'un quotient : \(|xy| = |x|\cdot|y|\) et, pour \(y \ne 0\), \(\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}\).
Inégalité triangulaire : pour tous réels \(x\) et \(y\),
\[ |x + y| \le |x| + |y|. \]Facile. La distance entre \(-3\) et \(5\) est \(|5-(-3)| = |8| = 8\).
Intermédiaire. Traduire par un intervalle l'ensemble des solutions de \(|x - 2| < 3\). D'après la propriété, cela équivaut à \(2 - 3 < x < 2+3\), soit \(x \in\ ]-1\,;\,5[\).
Majoration simple. Sachant \(|x| \le 2\) et \(|y| \le 5\), majorer \(|3x - y|\). Par l'inégalité triangulaire (avec le facteur \(3\) devant \(x\)) : \(|3x - y| \le |3x| + |{-y}| = 3|x| + |y| \le 3\times 2 + 5 = 11\).
Figure interactive — Intervalle centré \(]a-r\,;\,a+r[\)
Déplacez \(x\) : le point devient vert si \(|x-a|<r\) (donc \(x\) dans l'intervalle), rouge sinon.
Trinôme du second degré : forme canonique
Un polynôme du second degré s'écrit \(P(x) = ax^2+bx+c\) avec \(a, b, c \in \mathbb{R}\) et \(a \ne 0\). Sa forme canonique est :
\[ P(x) = a\left(x-\alpha\right)^2 + \beta, \qquad \alpha = -\dfrac{b}{2a},\quad \beta = P(\alpha). \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresÉquation du second degré : discriminant et racines
Pour \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne 0\)), on pose \(\Delta = b^2-4ac\).
Si \(\Delta > 0\) : deux solutions distinctes,
\[ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. \]Si \(\Delta = 0\) : une unique solution (racine double), \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\).
Si \(\Delta < 0\) : aucune solution réelle.
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Voir les offresSigne du trinôme et inéquations du second degré
Si \(\Delta > 0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe de \(-a\) entre les racines.
Si \(\Delta = 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) partout, sauf en \(x_0\) où il s'annule.
Si \(\Delta < 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) pour tout réel \(x\) (jamais nul).
Règle mnémotechnique du Bac : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».
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Voir les offresFigure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)
Observez comment le signe du discriminant détermine le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses.
Fractions rationnelles : décomposition, simplification
Une fraction rationnelle est une expression de la forme « polynôme sur polynôme ». Tu en rencontres dès qu’une inconnue apparaît au dénominateur, par exemple dans des calculs algébriques, des études de signe ou des fonctions homographiques. Savoir la simplifier et la décomposer permet de mieux voir son domaine de définition, ses zéros, son signe et, plus tard, d’étudier plus facilement la fonction qu’elle définit.
Soient deux polynômes A et B, avec B non nul. On appelle fraction rationnelle toute expression de la forme \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\). Elle définit une fonction pour toutes les valeurs de \(x\) qui ne rendent pas le dénominateur nul.
Le domaine de définition est donc l’ensemble des réels \(x\) tels que \(B(x)\neq 0\). On le note souvent \(D\) ou \(D_f\). Trouver ce domaine est la première chose à faire, car une valeur qui annule le dénominateur est interdite.
Simplifier une fraction rationnelle, c’est factoriser le numérateur et le dénominateur, puis supprimer un facteur commun non nul. Par exemple, si \(A(x)=C(x)D(x)\) et \(B(x)=C(x)E(x)\), alors, pour les valeurs de \(x\) telles que \(C(x)\neq 0\), on a \(\dfrac{A(x)}{B(x)}=\dfrac{D(x)}{E(x)}\). Il faut donc toujours garder en mémoire les valeurs interdites de l’expression de départ.
Décomposer une fraction rationnelle, c’est la réécrire sous une forme plus simple à utiliser. Selon les cas, on peut la décomposer en une somme, en une différence, ou en une partie entière plus une fraction plus simple. Par exemple, \(\dfrac{x+3}{x-1}=1+\dfrac{4}{x-1}\), car \(x+3=(x-1)+4\). Cette nouvelle écriture donne la même valeur que l’ancienne pour tout \(x\neq 1\), mais elle est souvent plus pratique pour calculer, comparer ou étudier le signe.
1) Condition de définition. Pour une fraction rationnelle \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\), seules les valeurs qui vérifient \(B(x)\neq 0\) sont autorisées. Si le dénominateur se factorise, les valeurs interdites se lisent directement sur les facteurs. Par exemple, pour \(\dfrac{2x+1}{(x-3)(x+2)}\), on doit avoir \(x\neq 3\) et \(x\neq -2\).
2) Simplification par facteur commun. On peut simplifier seulement des facteurs, jamais des termes d’une somme. Ainsi, \(\dfrac{(x-2)(x+5)}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{x+5}{x+1}\) pour \(x\neq 2\) et \(x\neq -1\). En revanche, \(\dfrac{x+2}{x}\) ne se simplifie pas, car \(x+2\) n’est pas un facteur de \(x\).
3) Décomposition en une partie simple. Quand le numérateur ressemble au dénominateur, on peut écrire le numérateur comme « dénominateur + reste ». Par exemple, \(2x+3=2(x-1)+5\), donc \(\dfrac{2x+3}{x-1}=2+\dfrac{5}{x-1}\), pour \(x\neq 1\). Cette écriture est très utile pour des calculs mentaux et pour reconnaître une fonction homographique.
Pour simplifier une fraction rationnelle :
- Détermine d’abord les valeurs interdites en résolvant \(B(x)=0\).
- Factorise complètement le numérateur et le dénominateur dès que c’est possible : identité remarquable, mise en facteur, trinôme, etc.
- Repère les facteurs communs et simplifie seulement ces facteurs.
- Réécris le résultat sous forme simple, mais conserve les valeurs interdites de l’expression de départ.
Pour décomposer une fraction rationnelle simple :
- Si le numérateur peut s’écrire « multiple du dénominateur + reste », fais-le. Exemple : \(3x+7=3(x-2)+13\).
- Sépare ensuite la fraction en deux : \(\dfrac{3x+7}{x-2}=\dfrac{3(x-2)}{x-2}+\dfrac{13}{x-2}=3+\dfrac{13}{x-2}\), pour \(x\neq 2\).
- Vérifie en remettant au même dénominateur : \(3(x-2)+13=3x+7\).
Dans tous les cas, commence toujours par le domaine de définition : c’est une habitude indispensable.
Énoncé : Simplifie \(\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}\) et précise les valeurs interdites.
Solution : On commence par le domaine de définition. Le dénominateur vaut \(x^2-3x+2\). On le factorise :
\[x^2-3x+2=(x-1)(x-2).\]
Donc l’expression n’est définie que pour \(x\neq 1\) et \(x\neq 2\).
On factorise ensuite le numérateur :
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\]
La fraction devient alors
\[\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}.\]
On simplifie par le facteur commun \((x-2)\), ce qui est autorisé seulement si \(x\neq 2\), ce qui fait déjà partie des valeurs interdites :
\[\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x-3}{x-1}.\]
Finalement,
\[\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}=\frac{x-3}{x-1}\quad \text{pour } x\neq 1 \text{ et } x\neq 2.\]
Attention : la forme simplifiée ne doit pas faire oublier que \(x=2\) reste interdit. En effet, dans l’expression de départ, si \(x=2\), le dénominateur vaut \(0\), donc la fraction n’existe pas.
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Voir les offresPiège 1 : simplifier des termes au lieu de simplifier des facteurs. Par exemple, certains écrivent à tort \(\dfrac{x+2}{x}=2\). C’est faux. On ne peut pas « barrer » le \(x\) dans une somme. La bonne écriture est \(\dfrac{x+2}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{2}{x}=1+\dfrac{2}{x}\), pour \(x\neq 0\). Vérification avec \(x=2\) : à gauche, \(\dfrac{2+2}{2}=\dfrac{4}{2}=2\), tandis que si on avait simplifié abusivement on obtiendrait toujours \(2\), ce qui ne marche plus pour \(x=4\), car \(\dfrac{4+2}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\neq 2\).
Piège 2 : oublier les valeurs interdites après simplification. On a \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\), mais seulement pour \(x\neq 1\). Il serait faux d’affirmer que la fraction vaut \(2\) pour \(x=1\), car l’expression de départ n’existe pas en \(x=1\). La simplification donne une écriture équivalente sur le domaine initial, elle ne crée pas de nouvelle valeur autorisée.
Pour décomposer une fraction du type \(\dfrac{ax+b}{x-c}\), fais apparaître le dénominateur dans le numérateur : \(ax+b=a(x-c)+(b+ac)\). Par exemple, \(4x+1=4(x-3)+13\), donc \(\dfrac{4x+1}{x-3}=4+\dfrac{13}{x-3}\) pour \(x\neq 3\). Autre bon réflexe : écris dès la première ligne les valeurs interdites. Ainsi, même si tu simplifies ensuite la fraction, tu ne perdras pas les conditions de définition. Ce réflexe évite une grande partie des erreurs dans les exercices de fonctions rationnelles.
Lecture graphique et représentations d'une fonction
Une fonction peut être définie de plusieurs façons : tracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou même touches d'une calculatrice. Savoir passer d'une représentation à l'autre est l'objectif central de ce chapitre.
Une fonction \(f\) associe à chaque réel \(x\) d'un ensemble \(D_f\) (l'ensemble de définition) au plus un réel noté \(f(x)\), l'image de \(x\) par \(f\). Un réel \(x\) tel que \(f(x)=y\) est un antécédent de \(y\).
La courbe représentative de \(f\), notée \(\mathcal{C}_f\), est l'ensemble des points \(M(x\,;\,f(x))\) pour \(x \in D_f\).
Pour lire l'image de \(a\) : tracer la verticale \(x=a\), lire l'ordonnée du point d'intersection avec \(\mathcal{C}_f\). Pour lire les antécédents de \(b\) : tracer l'horizontale \(y=b\), lire les abscisses des points d'intersection — il peut y en avoir zéro, un, ou plusieurs.
L'image d'un intervalle \(I \subset D_f\) est l'ensemble \(f(I) = \{f(x)\ /\ x \in I\}\) : l'ensemble des ordonnées atteintes quand \(x\) parcourt \(I\). L'image réciproque d'un intervalle \(J\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(f(x) \in J\) : l'ensemble des abscisses dont l'image tombe dans \(J\).
Facile. Pour \(f(x)=x^2\), l'image de \(3\) est \(f(3)=9\). Les antécédents de \(9\) sont \(3\) et \(-3\) (deux antécédents).
Intermédiaire. Pour \(f(x)=x^2\) sur \(D_f=\mathbb{R}\), l'image de l'intervalle \(I=[-2;3]\) est \(f(I)=[0;9]\) (le minimum \(0\) est atteint en \(0 \in I\), le maximum \(9\) en \(x=3\), car \(3^2=9 > (-2)^2=4\)).
Image réciproque. Toujours pour \(f(x)=x^2\), l'image réciproque de \(J=[4;9]\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(4 \le x^2 \le 9\), soit \(x \in [-3;-2]\cup[2;3]\).
Sens de variation, maximum et minimum d'une fonction
\(f\) admet un maximum \(M\) sur \(D_f\) s'il existe \(x_0\) tel que \(f(x_0)=M\) et \(f(x)\le M\) pour tout \(x \in D_f\) (de même pour un minimum, avec \(\ge\)).
\(f\) est croissante sur un intervalle \(I\) si, pour tous \(a,b \in I\), \(a \le b \implies f(a) \le f(b)\) (l'ordre est conservé). \(f\) est décroissante sur \(I\) si \(a \le b \implies f(a)\ge f(b)\) (l'ordre est inversé).
Au programme de Seconde, on étudie le sens de variation directement (en comparant \(f(a)\) et \(f(b)\) par le calcul), sans passer par la notion de limite (hors programme à ce niveau).
Exemple. Montrer que \(f(x)=x^2\) est décroissante sur \(]-\infty;0]\). Soit \(a \le b \le 0\). Alors \(f(a)-f(b)=a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Or \(a-b \le 0\) (car \(a \le b\)) et \(a+b \le 0\) (car \(a,b \le 0\)), donc \(f(a)-f(b) = (a-b)(a+b) \ge 0\) (produit de deux négatifs), soit \(f(a) \ge f(b)\) : \(f\) est bien décroissante sur \(]-\infty;0]\).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Parité et périodicité
Soit \(f\) définie sur un ensemble \(D_f\) symétrique par rapport à \(0\) (\(x \in D_f \implies -x \in D_f\)). \(f\) est paire si \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) ; sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. \(f\) est impaire si \(f(-x)=-f(x)\) ; sa courbe est symétrique par rapport à l'origine \(O\).
\(f\) est périodique de période \(T>0\) si \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) : le motif de la courbe se répète tous les \(T\).
On vérifie d'abord que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\), puis on calcule \(f(-x)\) et on compare à \(f(x)\) et \(-f(x)\).
Exemple. \(f(x)=x^2-3\) : \(D_f=\mathbb{R}\) (symétrique). \(f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3=f(x)\) : \(f\) est paire.
\(g(x)=x^3\) : \(g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)\) : \(g\) est impaire.
\(h(x)=x^2+x\) : \(h(-x)=x^2-x\), qui n'est égal ni à \(h(x)\) ni à \(-h(x)\) en général : \(h\) n'est ni paire ni impaire.
Utilité pratique. Si l'on sait qu'une fonction est paire, il suffit d'étudier son comportement sur \([0;+\infty[\), puis de compléter la courbe par symétrie — on divise le travail par deux.
Périodicité. Les fonctions cosinus et sinus (étudiées plus loin dans ce cours) sont périodiques de période \(2\pi\).
Figure interactive — Symétrie paire / impaire
Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; une fonction impaire, symétrique par rapport à l'origine.
Opérations sur les fonctions, composée de fonctions monotones
Une fonction donne une valeur de sortie à partir d’une valeur d’entrée. Très souvent, on ne travaille pas avec une seule fonction isolée : on additionne deux fonctions, on les multiplie, on forme un quotient ou bien on enchaîne deux fonctions l’une après l’autre. Savoir faire ces opérations te permet d’écrire correctement une nouvelle fonction, de trouver son domaine de définition et d’étudier son sens de variation, en particulier dans le cas d’une composée.
Soient deux fonctions numériques f et g, de domaines de définition respectifs \(D_f\) et \(D_g\).
La somme de \(f\) et \(g\), notée \(f+g\), est la fonction définie par \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) pour tout \(x\) appartenant à \(D_f\cap D_g\). La différence \(f-g\) est définie par \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) sur le même domaine. On ne peut additionner ou soustraire les valeurs que lorsque les deux fonctions sont définies au même point.
Le produit de \(f\) et \(g\), noté \(fg\), est la fonction définie par \((fg)(x)=f(x)\times g(x)\) pour tout \(x\in D_f\cap D_g\). Là encore, il faut que les deux valeurs existent.
Le quotient de \(f\) par \(g\), noté \(\dfrac{f}{g}\), est la fonction définie par \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) pour tout \(x\in D_f\cap D_g\) tel que \(g(x)\neq 0\). On enlève donc du domaine tous les nombres pour lesquels le dénominateur s’annule.
La composée de \(g\) par \(f\), notée \(g\circ f\), est la fonction définie par \((g\circ f)(x)=g(f(x))\). Son domaine de définition est l’ensemble des réels \(x\in D_f\) tels que \(f(x)\in D_g\). Cela signifie : on calcule d’abord \(f(x)\), puis on vérifie que ce résultat a bien le droit d’entrer dans \(g\).
Enfin, sur un intervalle \(I\), on dit que \(f\) est croissante si, pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), \(a<b\) entraîne \(f(a)\leq f(b)\). On dit que \(f\) est décroissante si \(a<b\) entraîne \(f(a)\geq f(b)\). Une fonction croissante ou décroissante est dite monotone. Cette idée est essentielle pour étudier une composée sans refaire toute une représentation graphique.
Les opérations sur les fonctions se font point par point. Cela veut dire que, pour calculer \((f+g)(2)\), par exemple, tu calcules d’abord \(f(2)\) et \(g(2)\), puis tu fais la somme. De même pour le produit, la différence et le quotient. L’expression algébrique d’une nouvelle fonction s’obtient donc en remplaçant simplement \(f(x)\) et \(g(x)\) par leurs formules, puis en simplifiant avec soin.
Pour les domaines de définition, il faut retenir les règles suivantes :
- \(D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g\).
- \(D_{\frac{f}{g}}=\{x\in D_f\cap D_g\mid g(x)\neq 0\}\).
- \(D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}\).
Sur le plan des variations, certaines règles sont simples. Si \(f\) et \(g\) sont toutes les deux croissantes sur un même intervalle \(I\), alors \(f+g\) est croissante sur \(I\). En effet, quand \(x\) augmente, chacune des deux valeurs \(f(x)\) et \(g(x)\) ne diminue pas, donc leur somme ne diminue pas non plus. De même, si \(f\) et \(g\) sont toutes les deux décroissantes sur \(I\), alors \(f+g\) est décroissante sur \(I\).
Multiplier une fonction par un nombre réel non nul change aussi le sens de variation de façon prévisible : si \(\lambda>0\), alors \(\lambda f\) a le même sens de variation que \(f\) ; si \(\lambda<0\), alors \(\lambda f\) a le sens contraire. En revanche, pour le produit de deux fonctions, il n’existe pas de règle aussi simple sans information supplémentaire sur les signes : il faut donc rester prudent.
Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(g\) une fonction définie sur un intervalle contenant toutes les valeurs prises par \(f\) sur \(I\). Alors le sens de variation de \(g\circ f\) sur \(I\) se déduit de celui de \(f\) et de celui de \(g\).
| Sens de variation de \(f\) | Sens de variation de \(g\) | Sens de variation de \(g\circ f\) |
|---|---|---|
| croissante | croissante | croissante |
| croissante | décroissante | décroissante |
| décroissante | croissante | décroissante |
| décroissante | décroissante | croissante |
L’idée est la suivante : une fonction croissante conserve l’ordre, tandis qu’une fonction décroissante renverse l’ordre. Si l’ordre est conservé deux fois, ou renversé deux fois, le résultat final est croissant. S’il est conservé une fois et renversé une fois, le résultat final est décroissant.
Attention toutefois : ce théorème ne s’applique que là où la composée existe. Avant d’utiliser le tableau ci-dessus, tu dois donc toujours vérifier le domaine de définition de \(g\circ f\). Par exemple, si \(g(x)=\sqrt{x}\), il faut que \(f(x)\geq 0\). Si \(g(x)=\dfrac{1}{x}\), il faut que \(f(x)\neq 0\).
Pour déterminer une opération entre deux fonctions :
1) Écris clairement les domaines \(D_f\) et \(D_g\).
2) Choisis l’opération demandée : somme, différence, produit, quotient ou composée.
3) Détermine d’abord le domaine de la nouvelle fonction : intersection des domaines pour \(f+g\), \(f-g\) et \(fg\) ; intersection en retirant les zéros du dénominateur pour \(\dfrac{f}{g}\) ; pour \(g\circ f\), garde les \(x\) tels que \(f(x)\) appartienne au domaine de \(g\).
4) Remplace ensuite \(f(x)\) et \(g(x)\) par leurs expressions et simplifie si possible.
5) Si tu simplifies une fraction, n’oublie jamais de conserver les valeurs interdites du domaine.
Pour étudier le sens de variation d’une composée \(g\circ f\) :
1) Repère la fonction intérieure : c’est \(f\), celle qu’on applique en premier.
2) Repère la fonction extérieure : c’est \(g\), celle qu’on applique au résultat de \(f\).
3) Détermine le domaine de \(g\circ f\).
4) Étudie le sens de variation de \(f\) sur l’intervalle considéré.
5) Étudie le sens de variation de \(g\) sur l’ensemble des valeurs prises par \(f\).
6) Combine les deux sens à l’aide du tableau : croissante après croissante donne croissante ; décroissante après décroissante donne croissante ; sinon la composée est décroissante.
Réflexe utile : lis toujours \(g\circ f\) de droite à gauche, car on calcule d’abord \(f\), puis \(g\).
Énoncé : Soient \(f(x)=2x-3\) et \(g(x)=x^2+1\). Détermine \((f+g)(x)\), \((fg)(x)\), \((g\circ f)(x)\) et \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\), avec leur domaine de définition.
Solution : Les fonctions \(f\) et \(g\) sont définies pour tout réel, donc \(D_f=D_g=\mathbb{R}\).
1) Somme :
\[(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-3)+(x^2+1).\]
On regroupe les termes :
\[(f+g)(x)=x^2+2x-2.\]
Le domaine est \(\mathbb{R}\).
2) Produit :
\[(fg)(x)=f(x)g(x)=(2x-3)(x^2+1).\]
On développe :
\[(2x-3)(x^2+1)=2x\cdot x^2+2x\cdot 1-3\cdot x^2-3\cdot 1\]
soit
\[(fg)(x)=2x^3-3x^2+2x-3.\]
Le domaine est encore \(\mathbb{R}\).
3) Composée \(g\circ f\) :
\[(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x-3).\]
Comme \(g(t)=t^2+1\), on remplace \(t\) par \(2x-3\) :
\[(g\circ f)(x)=(2x-3)^2+1.\]
On développe le carré :
\[(2x-3)^2=4x^2-12x+9.\]
Donc
\[(g\circ f)(x)=4x^2-12x+10.\]
Le domaine est \(\mathbb{R}\), car \(f(x)\) est toujours un réel et \(g\) accepte tout réel.
4) Quotient :
\[\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{2x-3}{x^2+1}.\]
Il faut vérifier que le dénominateur n’est jamais nul. Or, pour tout réel \(x\), on a \(x^2\geq 0\), donc \(x^2+1\geq 1\). Ainsi, \(x^2+1\neq 0\).
Le domaine du quotient est donc \(\mathbb{R}\).
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Voir les offresPremier piège : croire que \(g\circ f\) et \(f\circ g\) sont la même fonction. En général, c’est faux. Prends \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=x^2\). Alors
\[(g\circ f)(x)=g(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1\]
tandis que
\[(f\circ g)(x)=f(x^2)=x^2+1.\]
Les deux résultats sont différents, donc l’ordre de composition est essentiel. Dans \(g\circ f\), on applique d’abord \(f\), puis \(g\).
Deuxième piège : simplifier une fraction sans garder les restrictions du domaine. Par exemple,
\[\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\]
est vrai seulement si \(x\neq 1\). La fonction quotient n’est pas définie en \(x=1\), même si l’expression simplifiée \(x+1\) existe en \(1\). Quand tu simplifies, tu simplifies l’expression algébrique, mais tu ne fais pas réapparaître des valeurs qui étaient interdites au départ.
Troisième piège : pour une composée, oublier de vérifier que la sortie de la première fonction entre dans le domaine de la seconde. Avec \(g(x)=\sqrt{x}\) et \(f(x)=x-5\), la composée \(g\circ f\) n’est définie que si \(x-5\geq 0\), donc pour \(x\geq 5\).
Quand tu vois une composée, imagine un trajet en deux étapes :
\[x\longrightarrow f(x)\longrightarrow g(f(x)).\]
Cette lecture de droite à gauche évite beaucoup d’erreurs. Pour trouver le domaine de \(g\circ f\), pose-toi toujours la question : « Quelles valeurs de \(x\) donnent une image \(f(x)\) acceptable pour \(g\) ? »
Autre bon réflexe : écris les valeurs interdites dans un coin avant de commencer les simplifications. Par exemple, si tu travailles avec \(\dfrac{x^2-4}{x-2}\), note d’abord \(x\neq 2\), puis simplifie :
\[\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\quad \text{avec } x\neq 2.\]
Ainsi, tu gardes une expression simple sans perdre l’information importante sur le domaine.
Quand tu travailles sur deux fonctions, fais un petit tableau mental en quatre questions :
- Quelles sont les formules de \(f\) et de \(g\) ?
- Quels sont leurs domaines de définition ?
- Pour la composée, quelles valeurs prend d’abord la fonction intérieure ?
- La fonction extérieure est-elle croissante ou décroissante sur ces valeurs ?
Très souvent, un simple schéma avec des flèches aide :
\[x \longmapsto g(x) \longmapsto f(g(x)).\]
Si la première flèche conserve l’ordre et la seconde aussi, la composée est croissante. Si une seule flèche inverse l’ordre, la composée est décroissante. Ce réflexe permet de décider vite et juste, sans te tromper d’ordre dans la composition.
Limites des fonctions de référence en l'infini et en un réel
Quand tu étudies une fonction, tu ne regardes pas seulement sa valeur pour un nombre donné : tu cherches aussi ce qui se passe quand la variable devient très grande, très petite, ou s’approche d’un nombre précis. La notion de limite sert à décrire ce comportement. Avec les fonctions de référence, elle permet de lire plus vite un graphique, de prévoir une variation près d’un point et de comprendre certaines expressions comme \(\dfrac{1}{x}\) près de \(0\).
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble de nombres réels.
On dit que \(f(x)\) a pour limite \(L\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\), et on note \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=L\), lorsque les valeurs de \(f(x)\) se rapprochent de \(L\) quand \(x\) prend des valeurs de plus en plus grandes. De même, \(\lim_{x\to -\infty} f(x)=L\) signifie que les valeurs de \(f(x)\) se rapprochent de \(L\) quand \(x\) devient très négatif.
La limite peut aussi être infinie. Par exemple, écrire \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty\) signifie que \(f(x)\) devient aussi grand que l’on veut lorsque \(x\) devient très grand.
On dit que \(f(x)\) a pour limite \(L\) quand \(x\) tend vers un réel \(a\), et on note \(\lim_{x\to a} f(x)=L\), lorsque les valeurs de \(f(x)\) se rapprochent de \(L\) quand \(x\) se rapproche de \(a\) par des valeurs où la fonction est définie. Ici, \(x\) ne vaut pas forcément \(a\) : on observe seulement ce qui se passe près de \(a\).
Le réel \(a\) peut être un point intérieur du domaine de définition, mais aussi une borne de ce domaine. Par exemple, pour \(\sqrt{x}\), le nombre \(0\) est une borne du domaine \([0,+\infty[\). On peut donc étudier le comportement de \(\sqrt{x}\) quand \(x\to 0\), en s’approchant de \(0\) avec des valeurs autorisées, c’est-à-dire avec \(x\ge 0\).
Il faut parfois distinguer les deux côtés. La notation \(x\to a^-\) signifie que \(x\) s’approche de \(a\) par valeurs inférieures à \(a\), et \(x\to a^+\) signifie que \(x\) s’en approche par valeurs supérieures à \(a\). Cette distinction est indispensable pour la fonction inverse près de \(0\), car le comportement à gauche et à droite n’est pas le même.
Pour les fonctions usuelles étudiées en seconde, on retient les comportements suivants. Ils se lisent sur les tableaux de valeurs, mais aussi sur les représentations graphiques.
| Fonction | Domaine de définition | Limites utiles |
|---|---|---|
| \(f(x)=x\) | \(\mathbb{R}\) | \(\lim_{x\to +\infty}x=+\infty\), \(\lim_{x\to -\infty}x=-\infty\), et pour tout réel \(a\), \(\lim_{x\to a}x=a\) |
| \(f(x)=x^2\) | \(\mathbb{R}\) | \(\lim_{x\to +\infty}x^2=+\infty\), \(\lim_{x\to -\infty}x^2=+\infty\), et \(\lim_{x\to a}x^2=a^2\) |
| \(f(x)=x^3\) | \(\mathbb{R}\) | \(\lim_{x\to +\infty}x^3=+\infty\), \(\lim_{x\to -\infty}x^3=-\infty\), et \(\lim_{x\to a}x^3=a^3\) |
| \(f(x)=\sqrt{x}\) | \([0,+\infty[\) | \(\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty\), et pour tout réel \(a\ge 0\), \(\lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}\). En particulier, \(\lim_{x\to 0}\sqrt{x}=0\). Comme la fonction n’est pas définie pour \(x<0\), il n’y a pas d’approche par la gauche dans \(\mathbb{R}\). |
| \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | \(\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0\), \(\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x}=0\), \(\lim_{x\to a}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{a}\) si \(a\ne 0\), \(\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\), \(\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty\) |
| \(f(x)=ax+b\) | \(\mathbb{R}\) | Si \(a>0\), alors \(ax+b\to +\infty\) quand \(x\to +\infty\) et \(ax+b\to -\infty\) quand \(x\to -\infty\). Si \(a<0\), c’est l’inverse. Si \(a=0\), la fonction est constante égale à \(b\). |
Idée essentielle : pour \(x\), \(x^2\), \(x^3\), \(\sqrt{x}\) et une fonction affine, quand le nombre \(a\) appartient au domaine de définition ou est une borne de ce domaine accessible par des valeurs autorisées, la limite en \(a\) s’obtient en remplaçant simplement \(x\) par \(a\). Pour la fonction inverse, c’est vrai seulement si \(a\ne 0\). Au voisinage de \(0\), la fonction \(\dfrac{1}{x}\) n’a pas le même comportement à gauche et à droite, donc il faut étudier les limites latérales.
On utilise aussi ces résultats après une translation. Par exemple, près de \(4\), la fonction \(\dfrac{1}{x-4}\) se comporte comme \(\dfrac{1}{x}\) près de \(0\), car lorsque \(x\to 4\), on a \(x-4\to 0\).
Pour déterminer une limite d’une fonction de référence ou d’une expression très proche :
- Identifier le point étudié. Demande-toi si \(x\) tend vers \(+\infty\), vers \(-\infty\), ou vers un réel \(a\).
- Vérifier le domaine de définition. Par exemple, \(\sqrt{x}\) n’existe que pour \(x\ge 0\), et \(\dfrac{1}{x}\) n’existe pas pour \(x=0\). Cette étape évite beaucoup d’erreurs. Elle permet aussi de savoir si l’on peut s’approcher du point des deux côtés, ou seulement d’un seul côté.
- Reconnaître la forme de référence. Cherche si l’expression ressemble à \(x\), \(x^2\), \(x^3\), \(\sqrt{x}\), \(\dfrac{1}{x}\), ou à une version décalée comme \((x-2)^2\), \(\sqrt{x+5}\), \(\dfrac{1}{x-3}\).
- Quand le point est accessible dans le domaine et qu’il n’y a pas de difficulté particulière, remplace simplement. Ainsi, \(\lim_{x\to 2}(x^2+1)=2^2+1=5\), et \(\lim_{x\to 4}\sqrt{x+5}=\sqrt{9}=3\). De même, comme \(0\) est une borne du domaine de \(\sqrt{x}\), on a \(\lim_{x\to 0}\sqrt{x}=0\).
- Pour une fonction inverse, regarde le signe du dénominateur près du point. Si \(x\to 3^+\), alors \(x-3\) est positif et très petit, donc \(\dfrac{1}{x-3}\to +\infty\). Si \(x\to 3^-\), alors \(x-3\) est négatif et très petit, donc \(\dfrac{1}{x-3}\to -\infty\).
- À l’infini, pense au comportement global. \(x^2\) devient très grand et reste positif ; \(x^3\) garde le signe de \(x\) ; \(\dfrac{1}{x}\) se rapproche de \(0\) ; \(ax+b\) a le même sens général que \(ax\).
- Conclure avec une notation correcte. Il faut écrire clairement la limite trouvée, et préciser si la limite n’existe pas quand les deux limites latérales sont différentes.
Énoncé : Détermine les limites suivantes :
1) \(\lim_{x\to -\infty} x^2\)
2) \(\lim_{x\to 4} \sqrt{x+5}\)
3) \(\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}\)
4) \(\lim_{x\to +\infty} (2x-3)\)
Solution :
1) La fonction étudiée est la fonction carré. Quand \(x\) devient très négatif, \(x^2\) devient très grand et reste positif. Donc
\[\lim_{x\to -\infty} x^2=+\infty.\]
2) La fonction \(x\mapsto \sqrt{x+5}\) est définie dès que \(x+5\ge 0\), donc en particulier près de \(4\). Quand \(x\to 4\), on a \(x+5\to 9\). On peut alors remplacer \(x\) par \(4\) dans l’expression sous la racine :
\[\lim_{x\to 4} \sqrt{x+5}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.\]
3) Ici, on étudie la fonction inverse au voisinage de \(0\), par la droite. Si \(x\to 0^+\), alors \(x\) est positif et très petit. Diviser \(1\) par un nombre positif très petit donne un nombre très grand positif. Donc
\[\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty.\]
4) On considère la fonction affine \(2x-3\). Quand \(x\to +\infty\), le terme \(2x\) devient très grand positif. Soustraire \(3\) ne change pas ce comportement général. Donc
\[\lim_{x\to +\infty}(2x-3)=+\infty.\]
Dans cet exemple, on voit trois situations différentes : une limite à l’infini, une limite en un réel avec remplacement direct, et une limite latérale pour la fonction inverse.
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Voir les offresErreur fréquente 1 : croire que \(\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}=0\) parce que le dénominateur « devient grand dans l’autre sens ». C’est faux. Près de \(0\), le dénominateur devient au contraire très petit, et le quotient devient très grand en valeur absolue. De plus, il faut distinguer les deux côtés :
\[\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty.\]
Comme ces deux limites latérales sont différentes, la limite en \(0\) n’existe pas.
Erreur fréquente 2 : oublier le domaine de définition. Par exemple, pour \(\sqrt{x}\), la fonction n’est définie que pour \(x\ge 0\). On peut écrire
\[\lim_{x\to 0}\sqrt{x}=0,\]
car on s’approche de \(0\) avec des valeurs du domaine de définition, donc ici avec des valeurs positives ou nulles. En revanche, on ne peut pas parler de
\[\lim_{x\to 0^-}\sqrt{x}\]
dans \(\mathbb{R}\), car la fonction n’est pas définie pour \(x<0\).
Erreur fréquente 3 : penser que « tendre vers \(+\infty\) » signifie « prendre la valeur \(+\infty\) ». Ce n’est pas une valeur de la fonction : c’est une manière de décrire son comportement. Dire que \(x^2\to +\infty\) quand \(x\to +\infty\), c’est dire que \(x^2\) devient aussi grand que l’on veut, pas que la fonction atteint un nombre appelé \(+\infty\).
Un bon réflexe consiste à ramener la situation à une fonction connue. Si tu vois \(x-a\), pense immédiatement : « quand \(x\to a\), alors \(x-a\to 0\) ». Cela permet de reconnaître la fonction inverse ou la fonction carré sous une forme déplacée. Par exemple, pour \(\dfrac{1}{x-5}\), il suffit de connaître le comportement de \(\dfrac{1}{u}\) quand \(u\to 0\), en posant mentalement \(u=x-5\).
Autre réflexe utile : mémorise la forme générale des graphes. Le graphe de \(x^2\) monte des deux côtés, celui de \(x^3\) descend à gauche et monte à droite, celui de \(\sqrt{x}\) commence en \(0\) et n’existe qu’à droite, celui de \(\dfrac{1}{x}\) a deux branches séparées par les axes. Si tu relies toujours les limites à l’allure du graphe, tu risques moins de confondre les signes et les côtés d’approche.
Une erreur très fréquente consiste à croire que la limite en \(a\) est forcément égale à \(f(a)\). C'est faux. Dans l'exemple \(\dfrac{x^2-9}{x-3}\), la fonction n'est pas définie en \(3\), mais la limite vaut pourtant \(6\). La limite parle de ce qui se passe près du point, pas nécessairement au point.
Une autre erreur fréquente est d'écrire trop vite :
\[\lim_{x\to 0} \frac1x=+\infty.\]
C'est faux, car à gauche de \(0\), \(\dfrac1x\) est négatif et tend vers \(-\infty\), tandis qu'à droite de \(0\), \(\dfrac1x\) est positif et tend vers \(+\infty\). On a donc :
\[\lim_{x\to 0^-} \frac1x=-\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x\to 0^+} \frac1x=+\infty.\]
Comme les deux limites latérales sont différentes, la limite en \(0\) n'existe pas. Dès qu'un dénominateur tend vers \(0\), prends l'habitude d'étudier séparément la gauche et la droite.
Un bon réflexe consiste à transformer l'expression pour faire apparaître une fonction connue.
Par exemple, si tu vois \(\dfrac1{x-5}\), pense immédiatement à la fonction inverse \(\dfrac1x\) : c'est la même forme, simplement décalée. Tu sais alors sans calcul compliqué que, près de \(5\), le comportement sera celui de l'inverse près de \(0\), avec une limite \(-\infty\) à gauche et \(+\infty\) à droite.
De même, pour une fonction homographique \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\), cherche une écriture de la forme
\[\frac{ax+b}{cx+d}=m+\frac{k}{cx+d}.\]
Cette écriture permet de séparer un nombre fixe \(m\) et un terme qui tend vers \(0\) à l'infini. Tu lis alors très vite la limite à \(+\infty\) et à \(-\infty\). Enfin, si tu étudies une limite en un réel où le dénominateur s'annule, fais un petit raisonnement sur le signe du dénominateur : cela évite beaucoup d'erreurs de signe.
Résumé
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Voir les offresUn \(x\) a une seule image \(f(x)\) ; un \(y\) peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents. Lecture graphique : verticale pour l'image, horizontale pour les antécédents.
Comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) directement par le calcul, sans notion de limite (hors programme en Seconde).
Paire : \(f(-x)=f(x)\), symétrie / axe des ordonnées. Impaire : \(f(-x)=-f(x)\), symétrie / origine. Un seul contre-exemple suffit à réfuter.
\(f(x+T)=f(x)\) : le motif se répète tous les \(T\). Utile pour les fonctions circulaires (chapitre VI).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
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Voir les offresSujet type devoir
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Voir les offresOn considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x^2-8x+3\).
Question 1. Calculer \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(4)\).
\(f(0)=3\) ; \(f(2)=8-16+3=-5\) ; \(f(4)=32-32+3=3\).
Question 2. \(f\) est-elle paire ? Justifier.
Non : on a trouvé \(f(0)=3\) et \(f(4)=3\), mais \(f(-4)=32+32+3=67 \ne f(4)=3\). Comme \(f(-4)\ne f(4)\), \(f\) n'est pas paire (et le test suffit ici, un seul contre-exemple invalide la parité).
Question 3. Montrer que \(f\) est décroissante sur \([0\,;\,2]\) en comparant \(f(a)\) et \(f(b)\) pour \(0\le a\le b\le2\).
\(f(a)-f(b) = 2a^2-8a-(2b^2-8b) = 2(a^2-b^2) - 8(a-b) = 2(a-b)(a+b) - 8(a-b) = (a-b)\big(2(a+b)-8\big)\).
Pour \(0\le a\le b\le2\) : \(a-b\le0\). Et \(a+b\le4\), donc \(2(a+b)-8\le0\). Un produit de deux facteurs négatifs (ou nuls) est positif : \(f(a)-f(b)\ge0\), soit \(f(a)\ge f(b)\). \(f\) est bien décroissante sur \([0;2]\).
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