Seconde C · Leçon 2
Section d’un solide de l’espace (cube, pyramide, tétraèdre, cône) par un plan
Ce que dit le programme officiel (7 points)
- Section d’un solide par un plan
- Tronc de cône, de pyramide
- Calculs de volumes, d’aires
- Faire apparaître sur la représentation d’une pyramide ou d’un cône la section de cette pyramide ou de ce cône par un plan parallèle au plan de la base
- Reconnaître un tronc de cône ou de pyramide parmi un certain nombre de solides donnés
- Calculer l’aire, le volume d’un tronc de cône ou d’un tronc de pyramide
- Utiliser les propriétés d’incidence et de parallélisme pour résoudre des problèmes de construction (section…)
Source : Programme de mathématiques, classe de Seconde C, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Sections planes de solides et de polyèdres
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Un seau, un abat-jour, un gobelet, le socle d'un monument : ces objets ont la forme d'un cône ou d'une pyramide dont on aurait retiré la pointe. On obtient ces solides, appelés troncs, en coupant une pyramide ou un cône par un plan parallèle à sa base.
On coupe une pyramide de sommet \(S\) et de hauteur \(SO=H\) par un plan parallèle à sa base, qui rencontre la hauteur en \(O'\). On pose \(k=\dfrac{SO'}{SO}\), avec \(0\lt k\lt 1\).
- La section est un polygone de même nature que la base, dont les côtés sont parallèles à ceux de la base : c'est une réduction de la base de rapport \(k\).
- La partie située entre le sommet et le plan est une pyramide, réduction de rapport \(k\) de la pyramide de départ.
Pour un cône de révolution de sommet \(S\), la section est un disque dont le centre est sur l'axe et dont le rayon est \(r=kR\) ; le petit cône est une réduction de rapport \(k\) du grand.
Rappel. Dans une réduction de rapport \(k\), les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\). Les côtés de la section mesurent donc \(k\) fois ceux de la base, son aire vaut \(k^2\) fois celle de la base, et le volume de la petite pyramide (ou du petit cône) vaut \(k^3\) fois le volume de départ.
Le tronc de pyramide est la partie de la pyramide comprise entre la base et le plan de section. Il possède deux bases parallèles, la grande et la petite, qui sont deux polygones de même forme, et des faces latérales qui sont des trapèzes. Sa hauteur \(h\) est la distance entre les plans des deux bases : \(h=OO'=H(1-k)\).
Le tronc de cône est la partie d'un cône de révolution comprise entre la base et le plan de section. Ses deux bases sont deux disques parallèles, de rayons \(R\) et \(r\), dont les centres sont sur l'axe.
Reconnaître un tronc. Un solide est un tronc de pyramide lorsque : ses deux bases sont parallèles ; la petite est une réduction de la grande ; et les droites qui portent les arêtes latérales se coupent toutes en un même point (le sommet de la pyramide que l'on a coupée). Un prisme ou un cylindre n'est pas un tronc : ses deux bases ont la même taille et ses arêtes latérales sont parallèles.
Figure — Une pyramide coupée par un plan parallèle à sa base
La pyramide \(SABCD\) est coupée par un plan parallèle à la base, ici à mi-hauteur (\(k=\frac12\)). En or, la section \(A'B'C'D'\) : ses côtés sont parallèles à ceux de la base et deux fois plus courts. Sous la section, le tronc de pyramide, dont les faces latérales sont des trapèzes ; au-dessus, la petite pyramide \(SA'B'C'D'\), réduction de la grande.
Volume par différence. Le volume d'un tronc est le volume du grand solide diminué de celui du petit. Si \(V\) est le volume de la pyramide (ou du cône) de départ :
\[V_{\text{tronc}}=V-k^3V=V(1-k^3).\]Formule directe. Si \(B\) et \(B'\) sont les aires des deux bases et \(h\) la hauteur du tronc :
\[V_{\text{tronc}}=\frac h3\left(B+B'+\sqrt{BB'}\right).\]En effet, \(B'=k^2B\) donc \(\sqrt{BB'}=kB\), et \(h=H(1-k)\). Alors \(\dfrac h3(B+B'+\sqrt{BB'})=\dfrac{BH}{3}(1-k)(1+k+k^2)=\dfrac{BH}{3}(1-k^3)\).
Tronc de cône. Avec \(B=\pi R^2\) et \(B'=\pi r^2\) : \(V_{\text{tronc}}=\dfrac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)\).
Aires. L'aire latérale d'un tronc de pyramide est la somme des aires de ses faces, qui sont des trapèzes. L'aire latérale d'un tronc de cône est \(\pi(R+r)\,a\), où \(a\) est la longueur du segment qui joint les deux cercles le long de la surface (la génératrice du tronc) ; on la calcule par le théorème de Pythagore : \(a^2=h^2+(R-r)^2\).
Si l'on connaît le solide de départ (sa hauteur \(H\) et la position du plan) : calculer le rapport \(k=\dfrac{SO'}{SO}\), mesuré à partir du sommet, puis le volume \(V\) du solide entier, et conclure par \(V_{\text{tronc}}=V(1-k^3)\).
Si l'on ne connaît que le tronc (ses deux bases et sa hauteur \(h\)) : appliquer la formule directe \(\dfrac h3(B+B'+\sqrt{BB'})\), ou \(\dfrac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)\) pour un tronc de cône.
Pour retrouver le solide de départ à partir du tronc : le rapport est \(k=\dfrac rR\) (ou le quotient de deux côtés correspondants), et la hauteur totale vérifie \(H(1-k)=h\), donc \(H=\dfrac{h}{1-k}\).
Dans tous les cas, exprimer les longueurs dans la même unité avant de calculer, et se souvenir que \(1\ \text{litre}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3\).
Énoncé. Une pyramide régulière \(SABCD\) a pour base un carré de côté 6 cm et pour hauteur \(SO=9\) cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, situé à 6 cm de la base. a) Quelle est la nature de la section ? Calculer son côté et son aire. b) Calculer le volume du tronc de deux façons. c) Calculer l'aire latérale du tronc.
Solution : a) Le plan coupe la hauteur en \(O'\) avec \(SO'=9-6=3\) cm, donc \(k=\dfrac39=\dfrac13\). La section est un carré, réduction de la base : son côté mesure \(6\times\dfrac13=2\) cm et son aire \(36\times\dfrac19=4\ \text{cm}^2\).
b) Volume de la pyramide : \(V=\dfrac13\times 36\times 9=108\ \text{cm}^3\). Petite pyramide : \(108\times\left(\dfrac13\right)^3=4\ \text{cm}^3\). Tronc : \(108-4=104\ \text{cm}^3\). Par la formule directe, avec \(h=6\) : \(\dfrac63\left(36+4+\sqrt{36\times 4}\right)=2\times 52=104\ \text{cm}^3\). Les deux méthodes concordent.
c) Chaque face latérale de la pyramide est un triangle isocèle dont la hauteur issue de \(S\) mesure \(\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\) cm (théorème de Pythagore, la distance de \(O\) à un côté de la base étant 3 cm). La face du tronc est un trapèze de bases 6 cm et 2 cm, de hauteur \(3\sqrt{10}\times\left(1-\dfrac13\right)=2\sqrt{10}\) cm, soit une aire de \(\dfrac{6+2}{2}\times 2\sqrt{10}=8\sqrt{10}\ \text{cm}^2\). Aire latérale du tronc : \(4\times 8\sqrt{10}=32\sqrt{10}\approx 101{,}2\ \text{cm}^2\).
Énoncé. Un seau a la forme d'un tronc de cône : le fond est un disque de rayon 10 cm, l'ouverture un disque de rayon 15 cm, et la hauteur est 12 cm. a) Calculer sa contenance en litres. b) Calculer l'aire de tôle nécessaire pour le fabriquer (fond et paroi). c) Quelle était la hauteur du cône dont ce seau est un tronc ?
Solution : a) \(V=\dfrac{\pi\times 12}{3}\left(15^2+15\times 10+10^2\right)=4\pi\times 475=1900\pi\approx 5969\ \text{cm}^3\), soit environ \(5{,}97\) litres.
b) Génératrice du tronc : \(a^2=12^2+(15-10)^2=169\), donc \(a=13\) cm. Aire de la paroi : \(\pi(15+10)\times 13=325\pi\ \text{cm}^2\). Aire du fond : \(\pi\times 10^2=100\pi\ \text{cm}^2\). Au total \(425\pi\approx 1335\ \text{cm}^2\).
c) Le rapport de réduction est \(k=\dfrac{10}{15}=\dfrac23\). La hauteur \(H\) du cône entier vérifie \(H\left(1-\dfrac23\right)=12\), donc \(H=36\) cm. Vérification : le cône entier a pour volume \(\dfrac13\pi\times 15^2\times 36=2700\pi\), le petit cône \(2700\pi\times\dfrac{8}{27}=800\pi\), et la différence est bien \(1900\pi\).
Figure — Le seau et le cône dont il est le tronc
En trait plein, le seau de l'exemple 2 dessiné pointe en bas : ouverture de rayon 15 cm, fond de rayon 10 cm, hauteur 12 cm. En pointillés, le petit cône retiré, de hauteur 24 cm : le cône entier a pour hauteur 36 cm. En or, la génératrice du tronc, de longueur 13 cm, hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 12 cm et 5 cm.
Le rapport se mesure à partir du sommet. Dans l'exemple 1, le plan est à 6 cm de la base, mais \(k=\dfrac{SO'}{SO}=\dfrac39\), et non \(\dfrac69\).
Les volumes sont multipliés par \(k^3\), pas par \(k\). Avec \(k=\dfrac13\), la petite pyramide n'occupe qu'un vingt-septième du volume, alors qu'elle occupe le tiers de la hauteur.
Le volume d'un tronc n'est pas « moyenne des bases fois hauteur ». Dans l'exemple 1, ce calcul donnerait \(\dfrac{36+4}{2}\times 6=120\ \text{cm}^3\) au lieu de 104. Il faut le terme \(\sqrt{BB'}\) et le facteur \(\dfrac13\).
Espace : incidence, parallélisme et orthogonalité (géométrie de position)
Deux droites de l'espace peuvent être coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires (ce qui n'existe pas dans le plan). Une droite et un plan sont soit sécants (en un point), soit parallèles, soit la droite est contenue dans le plan. Deux plans sont sécants (leur intersection est une droite) ou parallèles.
Règle clé : pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan, il suffit de montrer qu'elle est parallèle à une droite contenue dans ce plan.
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan (elle l'est alors à toute droite du plan). Le plan médiateur d'un segment \([AB]\) est le plan orthogonal à \((AB)\) passant par son milieu ; il contient exactement les points équidistants de \(A\) et \(B\) (généralisation dans l'espace de la médiatrice du plan).
Résumé
C'est une réduction de la base, de rapport \(k=\dfrac{SO'}{SO}\) mesuré depuis le sommet.
Longueurs multipliées par \(k\), aires par \(k^2\), volumes par \(k^3\).
\(V(1-k^3)\), ou \(\dfrac h3\left(B+B'+\sqrt{BB'}\right)\) avec les aires des deux bases.
Volume \(\dfrac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)\) ; aire latérale \(\pi(R+r)a\) avec \(a^2=h^2+(R-r)^2\).
Deux bases parallèles de même forme, de tailles différentes ; arêtes latérales concourantes.
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