Seconde C · Leçon 6
Transformations du plan
Exercices corrigés
QCM — Homothétie et rotation
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-2$ transforme un cercle de rayon $3$ en un cercle de rayon :
a) $6$ b) $-6$ c) $1{,}5$ d) $9$
2) Une homothétie de rapport $k=1$ est :
a) l'identité b) une symétrie centrale c) une rotation d) une translation
3) Une rotation d'angle $180°$ coïncide avec :
a) une symétrie centrale de même centre b) une symétrie orthogonale c) une translation d) l'identité
4) L'image du point $A(2;5)$ par l'homothétie de centre $O(0;0)$ et de rapport $k=3$ est :
a) $(6;15)$ b) $(5;8)$ c) $\left(\dfrac23;\dfrac53\right)$ d) $(-6;-15)$
Voir le corrigé
- Réponse : a. Le rayon est multiplié par $|k|=2$ : $3\times2=6$.
- Réponse : a. $k=1$ laisse tout point invariant : c'est l'identité.
- Réponse : a. Propriété admise du cours.
- Réponse : a. $\overrightarrow{OA'}=3\overrightarrow{OA}=3(2;5)=(6;15)$.
Situation d'intégration — Fresque murale
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un artisan sculpteur agrandit un motif décoratif pour une fresque murale, à partir d'un motif original centré en $O(0;0)$ possédant un point caractéristique $A(3;2)$. Il applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k=4$.
Consigne : 1) Calculer les coordonnées du point $A'$, image de $A$. 2) Le motif original tient dans un cercle de rayon $1{,}5$ m centré en $O$ ; quel est le rayon du cercle contenant le motif agrandi ? 3) L'aire du motif original est de $0{,}8$ m² ; quelle est l'aire du motif agrandi (rappel : l'homothétie multiplie les aires par $k^2$) ?
Voir le corrigé
- $A'=4\times(3;2)=(12;8)$.
- Rayon $'=|4|\times1{,}5=6$ m.
- Aire $'=0{,}8\times4^2=0{,}8\times16=12{,}8$ m².
Exercice supplémentaire — Agrandissement
Exercice supplémentaire. Un sculpteur agrandit un motif : le point $A(2;3)$ est l'image du point $A'(1\,;1{,}5)$ par une homothétie de centre $O(0;0)$.
1) Déterminer le rapport $k$ de cette homothétie.
2) Le point $B'(3;-2)$ a pour image $B$ par cette même homothétie : calculer les coordonnées de $B$.
3) Si l'aire du motif initial est $5$ cm², quelle est l'aire du motif agrandi ?
Problème — Homothétie, rotation et comparaison
Problème.
Partie A. Soit $O(1;1)$ et l'homothétie de centre $O$, de rapport $k=-\dfrac12$.
1) Calculer l'image $B'$ du point $B(5;3)$.
Partie B. Soit la rotation de centre $O(0;0)$ et d'angle $90°$ (sens direct). On admet que l'image d'un point $M(x;y)$ par cette rotation a pour coordonnées $(-y;x)$.
2) Calculer l'image $C'$ de $C(3;-4)$ par cette rotation.
3) Vérifier que $OC=OC'$ (conservation des distances).
Partie C.
4) Le point $C'$ obtenu en B.2 est-il aussi l'image de $C$ par la symétrie centrale de centre $O$ (qui envoie $M$ sur $-M$) ? Justifier.