Seconde C · Leçon 2
Section d’un solide de l’espace (cube, pyramide, tétraèdre, cône) par un plan
Exercices corrigés
QCM — Incidence, parallélisme et perspective
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Deux droites de l'espace non coplanaires :
a) n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles b) sont toujours parallèles c) sont toujours sécantes d) sont confondues
2) Pour montrer qu'une droite $d$ est parallèle à un plan $\mathcal P$, il suffit de montrer que :
a) $d$ est parallèle à une droite contenue dans $\mathcal P$ b) $d$ est perpendiculaire à $\mathcal P$ c) $d$ ne rencontre aucun point de l'espace d) $d$ est contenue dans un autre plan
3) Le plan médiateur d'un segment $[AB]$ est l'ensemble des points :
a) équidistants de $A$ et de $B$ b) alignés avec $A$ et $B$ c) situés sur la droite $(AB)$ d) situés au milieu de $[AB]$ uniquement
4) Dans la perspective cavalière, les arêtes cachées sont tracées :
a) en pointillés b) en trait plein plus épais c) en couleur d) elles ne sont pas représentées
Voir le corrigé
- Réponse : a. Définition des droites non coplanaires.
- Réponse : a. Règle clé du cours.
- Réponse : a. Généralisation dans l'espace de la médiatrice du plan.
- Réponse : a. Convention standard de la perspective cavalière.
Situation d'intégration — Réservoir d'eau villageois
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une ONG construit un réservoir d'eau en forme de parallélépipède rectangle pour un village. Dimensions intérieures : $4$ m de longueur, $3$ m de largeur, $2{,}5$ m de hauteur.
Consigne : 1) Calculer le volume du réservoir en m³ puis en litres ($1$ m³ $=1000$ L). 2) Une pompe solaire remplit le réservoir à $250$ L/h. Combien de temps (en heures, puis en jours à raison de $10$ h de pompage utile par jour) faut-il pour le remplir ? 3) Un plan horizontal coupe le réservoir parallèlement à la base, à mi-hauteur ($1{,}25$ m). Quelle est la nature de la section, et quelle fraction du volume total se trouve en dessous ?
Exercice supplémentaire — Réservoir cubique
Exercice supplémentaire. Un ingénieur d'un chantier de forage représente un réservoir cubique $ABCDEFGH$ ($ABCD$ face du dessous, $EFGH$ face du dessus juste au-dessus, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$, $H$ au-dessus de $D$).
1) Les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles, sécantes, ou non coplanaires ?
2) Les droites $(AB)$ et $(CG)$ le sont-elles ?
3) Quelle est la position relative du plan $(ABC)$ et de la droite $(EH)$ ?
Problème — Section d'une pyramide
Problème.
Partie A. Une pyramide de base carrée $ABCD$ a un côté de base $8$ m et une hauteur de $12$ m, sommet $S$.
1) Calculer le volume de la pyramide (rappel : $V=\dfrac13\times\text{aire base}\times\text{hauteur}$).
Partie B. On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base, à une distance de $9$ m du sommet $S$.
2) La section est un carré, homothétique de la base par une homothétie de centre $S$. Quel est le rapport $k$ de cette homothétie (distance au sommet de la section / hauteur totale) ?
3) En déduire le côté du carré-section, puis son aire.
4) En déduire le volume de la petite pyramide comprise entre $S$ et le plan de section (rappel : le volume est multiplié par $k^3$).
Tronc d'une pyramide à base carrée
\(SABCD\) est une pyramide régulière dont la base est un carré de côté 12 cm et dont la hauteur est \(SO=18\) cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, situé à 12 cm de la base. Ce plan coupe la hauteur en \(O'\).
1) Calcule le rapport de réduction \(k=\dfrac{SO'}{SO}\), puis donne la nature de la section, la longueur de son côté et son aire.
2) Calcule le volume de la pyramide \(SABCD\), celui de la petite pyramide située au-dessus du plan, puis celui du tronc.
3) Retrouve le volume du tronc par la formule directe \(\dfrac h3\left(B+B'+\sqrt{BB'}\right)\).
Voir le corrigé
1) Le rapport se mesure à partir du sommet. Le plan est à 12 cm de la base, donc \(SO'=18-12=6\) cm et \(k=\dfrac{6}{18}=\dfrac13\). La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction de la base : c'est un carré, de côté \(12\times\dfrac13=4\) cm et d'aire \(4^2=16\) cm² (on retrouve \(144\times k^2=144\times\dfrac19\)).
2) Volume de la pyramide : \(V=\dfrac13\times 12^2\times 18=\dfrac13\times 144\times 18=864\) cm³. La petite pyramide est une réduction de rapport \(\dfrac13\) : son volume est \(864\times\left(\dfrac13\right)^3=\dfrac{864}{27}=32\) cm³. Le tronc est ce qui reste : \(864-32=832\) cm³.
3) Ici \(h=12\), \(B=144\) et \(B'=16\), donc \(\sqrt{BB'}=\sqrt{2304}=48\). Le volume vaut \(\dfrac{12}{3}\times(144+16+48)=4\times 208=832\) cm³. Les deux méthodes donnent le même résultat.
Réponse : \(k=\dfrac13\) ; la section est un carré de côté 4 cm et d'aire 16 cm² ; volumes : 864 cm³ (pyramide), 32 cm³ (petite pyramide), 832 cm³ (tronc), par les deux méthodes.
Un abat-jour en forme de tronc de cône
Un abat-jour a la forme d'un tronc de cône : le grand cercle a pour rayon 21 cm, le petit cercle a pour rayon 9 cm, et la hauteur de l'abat-jour est 16 cm.
1) Calcule la longueur \(a\) de la génératrice du tronc (le segment qui joint les deux cercles le long de la surface).
2) Calcule l'aire de tissu nécessaire pour recouvrir l'abat-jour (son aire latérale). Donne la valeur exacte, puis une valeur arrondie au cm².
3) Cet abat-jour est le tronc d'un cône. Calcule la hauteur du petit cône que l'on a retiré, puis celle du cône entier.
4) Calcule le volume intérieur de l'abat-jour de deux façons. Donne la valeur exacte.
Où couper la pyramide ?
\(SABCD\) est une pyramide régulière de sommet \(S\), dont la base est un carré de côté 8 cm et dont la hauteur mesure 12 cm.
1) Calcule son volume \(V\).
2) On la coupe par un plan parallèle à la base passant par le milieu de la hauteur. Calcule le volume de la petite pyramide et celui du tronc. Combien de fois le tronc est-il plus volumineux que la petite pyramide ?
3) Calcule l'aire latérale de ce tronc (valeur exacte, puis valeur arrondie au dixième de cm²).
4) On veut maintenant couper la pyramide de départ par un plan parallèle à la base de sorte que le tronc ait pour volume 148 cm³. À quelle distance du sommet faut-il placer le plan ?