Produit scalaire

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(3;-4)$ et $\vec v(2;5)$. $\vec u\cdot\vec v$ vaut :
a) $-14$   b) $6$   c) $26$   d) $-6$

2) $\|\vec u\|$ pour $\vec u(3;-4)$ vaut :
a) $5$   b) $7$   c) $1$   d) $25$

3) Deux vecteurs $\vec u,\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si :
a) $\vec u\cdot\vec v=0$   b) $\det(\vec u,\vec v)=0$   c) $\|\vec u\|=\|\vec v\|$   d) $\vec u=-\vec v$

4) Pour $A(2;1)$, $B(6;4)$, la distance $AB$ vaut :
a) $5$   b) $4$   c) $3$   d) $7$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une équation cartésienne de la droite passant par $A(1;2)$ de vecteur directeur $\vec u(3;-1)$ est :
a) $x+3y-7=0$   b) $x+3y=0$   c) $3x+y-5=0$   d) $x-3y+5=0$

2) Deux droites de vecteurs directeurs $\vec u(2;5)$ et $\vec v(4;10)$ sont :
a) parallèles   b) orthogonales   c) sécantes non perpendiculaires   d) nécessairement confondues

3) Le cercle d'équation $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ a pour centre et rayon :
a) $\Omega(-2;3)$, $r=4$   b) $\Omega(2;-3)$, $r=4$   c) $\Omega(-2;3)$, $r=16$   d) $\Omega(2;3)$, $r=4$

4) $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(B,3)$. On a alors :
a) $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec0$   b) $2\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{GB}$   c) $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}$   d) $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec0$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un architecte vérifie que l'angle d'un mur de fondation est bien droit avant la pose des fondations. Les trois coins du mur sont repérés, dans un repère où les distances sont en mètres, par $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(8;6)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$. 2) Calculer $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ et en déduire si l'angle en $B$ est droit. 3) Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$, et vérifier la cohérence avec le théorème de Pythagore.

Exercice supplémentaire. Un topographe mesure un triangle $ABC$ avec $AB=6$, $AC=8$ et l'angle $\widehat{BAC}=60°$.

1) Calculer le produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$.
2) Ce triangle est-il rectangle en $A$ ?
3) Calculer $BC$ à l'aide de $BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos(\widehat{BAC})$.

Problème.

Partie A.
1) Déterminer les coordonnées des points d'intersection du cercle d'équation $x^2+y^2=25$ et de la droite d'équation $y=x-1$.

Partie B. On note $A$ et $B$ les deux points trouvés (avec $A$ d'abscisse positive).
2) Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ de $(A,3)$ et $(B,1)$.
3) Vérifier que $G$ appartient à la droite $(AB)$.