Seconde C · Leçon 1
Positions de droites et plan de l’espace
Exercices corrigés
Positions relatives dans un cube
\(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et les arêtes verticales sont \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\). Pour chaque question, donne la position relative demandée et justifie ta réponse.
1) Les droites \((AD)\) et \((FG)\).
2) Les droites \((AB)\) et \((CG)\).
3) La droite \((EF)\) et le plan \((ABC)\).
4) Les plans \((ADE)\) et \((BCF)\).
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1) Dans le carré \(ABCD\), \((AD)\) est parallèle à \((BC)\). Dans le carré \(BCGF\), \((BC)\) est parallèle à \((FG)\). Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles : \((AD)\) et \((FG)\) sont parallèles.
2) La droite \((CG)\) coupe le plan \((ABC)\) au seul point \(C\), et \(C\) n'est pas sur \((AB)\) : les deux droites n'ont pas de point commun. Elles ne sont pas parallèles, car \((CG)\) est parallèle à \((BF)\), qui coupe \((AB)\) en \(B\). Les droites \((AB)\) et \((CG)\) ne sont donc pas coplanaires.
3) Dans le carré \(ABFE\), \((EF)\) est parallèle à \((AB)\), qui est une droite du plan \((ABC)\). Une droite parallèle à une droite d'un plan est parallèle à ce plan. Comme \(E\) n'est pas dans le plan \((ABC)\), la droite \((EF)\) est strictement parallèle au plan \((ABC)\).
4) Les plans \((ADE)\) et \((BCF)\) contiennent les faces opposées \(ADHE\) et \(BCGF\). Les droites \((AD)\) et \((AE)\), sécantes dans le premier plan, sont parallèles à \((BC)\) et \((BF)\), donc parallèles au second plan. Deux droites sécantes d'un plan parallèles à un autre plan : les deux plans sont parallèles. Ils sont strictement parallèles car \(A\) n'est pas dans \((BCF)\).
Réponse : \((AD)\) et \((FG)\) sont parallèles ; \((AB)\) et \((CG)\) ne sont pas coplanaires ; \((EF)\) est strictement parallèle au plan \((ABC)\) ; les plans \((ADE)\) et \((BCF)\) sont strictement parallèles.
Milieux dans un tétraèdre
\(ABCD\) est un tétraèdre. On note \(I\), \(J\) et \(K\) les milieux respectifs des arêtes \([AB]\), \([AC]\) et \([AD]\).
1) Démontre que la droite \((IJ)\) est parallèle à la droite \((BC)\). Dans quel plan travailles-tu ?
2) Déduis-en que la droite \((IJ)\) est parallèle au plan \((BCD)\).
3) Démontre que les plans \((IJK)\) et \((BCD)\) sont parallèles.
Voir le corrigé
1) On travaille dans le plan \((ABC)\), où les résultats de géométrie plane s'appliquent. Dans le triangle \(ABC\), \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([AC]\). D'après le théorème de la droite des milieux, \((IJ)\) est parallèle à \((BC)\) (et \(IJ=\dfrac{1}{2}BC\)).
2) La droite \((BC)\) est contenue dans le plan \((BCD)\). La droite \((IJ)\) est parallèle à \((BC)\), donc elle est parallèle à une droite du plan \((BCD)\). Par conséquent \((IJ)\) est parallèle au plan \((BCD)\).
3) Le même raisonnement dans le triangle \(ABD\), avec les milieux \(I\) et \(K\), montre que \((IK)\) est parallèle à \((BD)\), donc au plan \((BCD)\). Les droites \((IJ)\) et \((IK)\) sont sécantes en \(I\), contenues dans le plan \((IJK)\), et toutes deux parallèles au plan \((BCD)\). Donc les plans \((IJK)\) et \((BCD)\) sont parallèles.
Réponse : \((IJ)\parallel(BC)\) par la droite des milieux dans le plan \((ABC)\) ; \((IJ)\) est parallèle au plan \((BCD)\) ; les plans \((IJK)\) et \((BCD)\) sont parallèles car \((IJ)\) et \((IK)\), sécantes, sont parallèles à \((BCD)\).
Intersections de plans dans une pyramide
\(SABCD\) est une pyramide de sommet \(S\). Sa base \(ABCD\) est un trapèze : les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles et \(AB\gt CD\). \(M\) est un point du segment \([SA]\), distinct de \(S\) et de \(A\).
1) Justifie que les droites \((AD)\) et \((BC)\) sont sécantes. On note \(O\) leur point d'intersection.
2) Détermine l'intersection des plans \((SAD)\) et \((SBC)\).
3) Détermine l'intersection des plans \((SAB)\) et \((SCD)\).
4) Le plan \((MCD)\) coupe la droite \((SB)\) en un point \(N\). Démontre que \((MN)\) est parallèle à \((AB)\), puis explique comment construire \(N\).
Orthogonalité et calculs dans un cube
\(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et les arêtes verticales sont \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\). L'arête du cube mesure 4 cm.
1) Démontre que la droite \((BF)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\).
2) Déduis-en la nature du triangle \(FBD\), puis calcule les valeurs exactes de \(BD\) et de \(FD\).
3) Calcule l'aire du triangle \(FBD\).
4) Démontre que la droite \((AC)\) est perpendiculaire au plan \((BDF)\).
5) Que peux-tu en déduire pour les droites \((AC)\) et \((DF)\) ? Sont-elles sécantes ? Justifie.